Проектная работа по теме "Симметрия"

Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 4»

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА
по теме:

«Симметрия»

Выполнила:

Савичева Надежда, учащаяся 6А класса

Федорова Кира,

учащаяся 6А класса

Руководитель:

Илларионова Е.В.,

учитель информатики

МОУ СОШ № 4

Паспорт проекта

Оглавление

Введение 4

Теоретическая часть 6

Историческая справка 6

Виды симметрии 7

Центральная симметрия 7

Осевая симметрии 8

Плоскостная (зеркальная) симметрии 9

Практическая часть 10

Заключение 14

Список источников информации 15

Введение

«Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия приятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе»

Л.Н. Толстой

С симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке и кленовому листу, симметрию форм автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов.

Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке.

Актуальность темы: Во всероссийских проверочных работах 6 класса по математике одним из видов заданий выступает задание на построение симметричных фигур относительно точки или прямой. А также построение фигуры, повернутый на заданный угол.

Таким образом, заинтересовавшись симметрией, мы поставили перед собой следующие цели и задачи:

Цели: сформировать понятие симметрии и научиться выполнять построение симметричных фигур.

Задачи:

1. определить, что такое симметрия и асимметрия;

2. рассмотреть различные виды симметрии;

3. разобрать основные виды построений симметричных фигур;

4. использовать правила построения на примере заданий формата ВПР.

Объект: симметрия.

Гипотеза: Использование основных методов построение симметричных фигур позволит успешно справиться с заданием ВПР.

Проблема:в школьном курсе очень мало уроков отведено изучению понятия «Симметрия».

Методы исследования заключались:

1. в изучении интернет источников и литературы по данной теме;

2. в самостоятельном построении симметричных фигур;

3. разбор заданий № 12 из ВПР по математике 6 класса.

Теоретическая часть

1. Историческая справка

Окружающий мир наполнен примерами симметрии. С симметрией мы встречаемся в природе, технике, искусстве, науке. Отметим, например, симметрию, свойственную бабочке и кленовому листу, симметрию форм автомобиля и самолета, симметрию в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрию орнаментов и бордюров, симметрию атомной структуры молекул и кристаллов.

Давайте разберемся что же называют симметрией?

Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

Законы природы являются симметричными, но при ближайшем их рассмотрении, в каждом из них можно найти хоть небольшой изъян. Оказывается, что природа не терпит точной симметрии. Природа почти, но не абсолютно симметрична. Примером этому являются догадки Пифагора, который считал, что орбиты, по которым движутся планеты являются совершенными окружностями, на самом же деле это не так. Или если мы посмотрим на человека – внешне он симметричен, но строение органов и их расположение абсолютно ассиметрично.

Впервые понятие симметрия появляется в 6 веке до нашей эры в первой научной школе в истории человечества, у последователей Пифагора Самосского, пытавшихся связать симметрию с числом.

Каждой вещи, учили пифагорейцы, соответствует определенное отношение чисел, которое они называли логосом. Пифагорейцы предпочитали вместо слова «симметрии» пользоваться словом «гармония».

Ученые древности, изучающие симметрию, любили обращаться к правильным многогранникам (грани у которых правильные многоугольники одного вида, а углы между гранями равны). Древние греки установили, что существует всего пять правильных выпуклых многогранников - тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, куб, додекаэдр. Все правильные многогранники обладают зеркальной симметрией.

У древних народов Атлантиды, как стало известно учёным по найденным рукописям термин «симметрия» означал совершенство, а по найденным фигуркам, статуэткам и другим вещам, стало ясно, что в древней Атлантиде было всё строго симметрично.

В широком смысле симметрию можно понимать, как неизменность при каких-либо преобразованиях. Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Отсутствие или нарушение симметрии называется асимметрией.

1. Виды симметрии

Симметрия делится на два типа симметрии. Первый тип – это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией. Второй тип – это та симметрия, которая лежит в законах природы и физических явлениях. Ее можно назвать физической симметрией.

Двусторонняя симметрия означает, что правая и левая сторона относительно какой-либо плоскости выглядят одинаково.

Выделяют следующие виды симметрии:

1. центральная симметрия;

2. осевая симметрия;

3. плоскостная (зеркальная) симметрия.

Стоит отметить, что наряду с тремя перечисленными видами симметрии, выделяют (в архитектуре) переносную и поворотную, которые в геометрии являются композициями нескольких движений.

Разберемся более подробно в каждом из видов симметрии.

1. Центральная симметрия

Центральная симметрия (или симметрия относительно точки) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором единственная точка (точка О – центр симметрии) остаётся на месте, остальные же точки меняют своё положение: вместо точки А получаем точку А₁ такую, что точка О середина отрезка АА₁.

Чтобы построить фигуру Ф₁, симметричную фигуре Ф относительно точки О, нужно через каждую точку фигуры Ф провести луч, проходящий через точку О (центр симметрии), и на этом луче отложить точку, симметричную выбранной относительно точки О. Множество построенных таким образом точек даст фигуру Ф₁.

Большой интерес вызывают фигуры, имеющие центр симметрии: при симметрии относительно точки О любая точка фигур Ф преобразуется опять же в некоторую точку фигуры Ф.

Таких фигур в геометрии встречается много. Например: отрезок (середина отрезка – центр симметрии), прямая (любая её точка – центр её симметрии), окружность (центр окружности – центр симметрии), прямоугольник (точка пересечения его диагоналей – центр симметрии).

Много центрально-симметричных объектов в живой и неживой природе. Часто люди сами создают объекты, имеющие центр симметрии (примеры из рукоделия, машиностроения, архитектуры и много других примеров).

1. Осевая симметрии

Осевая симметрия (или симметрия относительно прямой) – это преобразование плоскости (или пространства), при котором только точки прямой р остаются на месте (эта прямая является осью симметрии), остальные же точки меняют своё положение: вместо точки В получаем такую точку В₁, что прямая р является серединным перпендикуляром к отрезку ВВ₁.

Чтобы построить фигуру Ф₁, симметричную фигуре Ф, относительно прямой р, нужно для каждой точки фигуры Ф построить точку, симметричную ей относительно прямой р. Множество всех этих построенных точек и дают искомую фигуру Ф₁.

Много существует геометрических фигур, имеющих ось симметрии. У прямоугольника их две, у квадрата – четыре, у круга – любая прямая, проходящая через его центр. Если присмотреться к буквам алфавита, то и среди них можно найти, имеющие горизонтальную или вертикальную, а иногда и обе оси симметрии. Объекты, имеющие оси симметрии достаточно часто встречаются в живой и неживой природе. В своей деятельности человек создаёт много объектов (например, орнаменты), имеющих несколько осей симметрии.

1. Плоскостная (зеркальная) симметрии

Плоскостная (зеркальная) симметрия (или симметрия относительно плоскости) – это преобразование пространства, при котором только точки одной плоскости сохраняют своё местоположение (α-плоскость симметрии), остальные точки пространства меняют своё положение: вместо точки С получается такая точка С₁, что плоскость α проходит через середину отрезка СС₁, перпендикулярно к нему.

Чтобы построить фигуру Ф₁, симметричную фигуре Ф относительно плоскости α, нужно для каждой точки фигуры Ф выстроить симметричные относительно α точки, они в своём множестве и образуют фигуру Ф₁.

Чаще всего в окружающем нас мире вещей и объектов нам встречаются объёмные тела. И некоторые из этих тел имеют плоскости симметрии, иногда даже несколько. И сам человек в своей деятельности (строительство, рукоделие и многих других сферах) создает объекты имеющие плоскости симметрии.

Практическая часть

В тексте ВПР по математике 6 класса присутствует задание № 12 на проверку овладение геометрическим языком, развитие навыков изобразительных умений, навыков геометрических построений. Это задание проверяет умение оперировать на базовом уровне понятиями: фигура, точка, отрезок, прямая, луч, ломанная, угол, многоугольник, треугольник и четырехугольник, прямоугольник и квадрат, окружность и круг, прямоугольный параллелепипед, куб, шар. Изображать изучаемые фигуры от руки и с помощью линейки.

Одним из видов задач является построение симметричных фигур относительно точки или прямой. На основе изученного материала, разберемся, как построить фигуру, симметричную данной.

Из теории изученный нами, при построении симметричных фигур используется такое понятие как “перпендикулярная прямая” или “перпендикуляр”. Итак, давайте с вами разберемся что же из себя представляет данное понятие?

Перпендикулярная прямая (“перпендикуляр”) - это прямая, пересекающая данную прямую (отрезок) под прямым углом (равном 90 градусов).

Для правильного построение нам необходимо разобраться как выполнить построение перпендикулярной прямой.

Пример 0. Постройте перпендикулярную прямую относительно заданной прямой, проходящей через заданную точку.

Построение: (с помощью линейки)

1. Выравнивать короткий край линейки по заданной прямой линии.

2. Длинный край линейки совместить с заданной точкой.

3. Провести линию по длинному краю линейки.

Таким образом, мы получили прямую перпендикулярную данной.

После того, как мы разобрались с основами построения, можно приступить к построение симметричных фигур.

Пример 1. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой.

Построение:

1. Проведем из вершин треугольника ABC три прямые, перпендикулярные оси симметрии, выведем эти прямые на другую сторону оси симметрии.

2. Измерим расстояние от вершин треугольника ABC до точек на оси симметрии.

3. С другой стороны прямой отложим такие же расстояния.

4. Соединяем точки отрезками и строим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC.

Пример 2. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки О).

Построение:

1. Соединяем точки ABC c центром и выводим эти прямые на другую сторону оси.

2. Измеряем отрезки AO, BO, CO и откладываем равные им отрезки с другой стороны от центра (точки О).

3. Получившиеся точки соединяем отрезками и получаем треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC, относительно центра.

Пример 3. (задание с сайта Решу ВПР) Выполнить построение симметричной фигуры относительно произвольной наклонной прямой.

Построение:

1. Выполняем построение перпендикуляров к фиолетовой прямой, проходящих через вершины синей фигуры.

2. Измеряем расстояния между вершинами синей фигуры и фиолетовой прямой с помощью линейки.

3. Откладываем такое же расстояние с другой стороны от фиолетовой прямой и отмечаем точки на соответствующих перпендикулярах.

4. Соединяем полученные точки в фигуру (на рис. красного цвета).

К данной задаче разработан видеоролик с пошаговым построением и возможностью комментирования процесса.

Пример 4. (задание с сайта Решу ВПР) Выполнить построение симметричной фигуры относительно произвольной точки О.

Построение:

1. П роводим прямые, проходящие через вершины заданной синей фигуры и точку О.

2. Измеряем расстояния между вершинами синей фигуры и точкой О с помощью линейки.

3. Откладываем такое же расстояние на соответствующих прямых в противоположную сторону от изначальной фигуры.

4. Соединяем полученные точки по линейке и получаем симметричную фигуру (на рис. красного цвета).

К данной задаче разработан видеоролик с пошаговым построением и возможностью комментирования процесса.

Пример 5. (задание с сайта Решу ВПР) Построить фигуру, повернутую на угол в 90 градусов относительно заданной.

Построение(с помощью циркуля):

1. С тавим острие циркуля в точку М, в карандаш на вершину фигуры

2. Поворачиваем циркуль на 90 градусов по часовой стрелке и получаем первую точку фигуры

3. С остальными вершинами поступаем аналогичным способом

4. Соединяем получившиеся точки в фигуру.

Построение (по клеткам):

1. Проведем линию (на рис. фиолетового цвета) и разделим фигуру на 2 части.

2. Проведем линию поворота - нового положения фигуры (на рис. зеленого цвета)

3. Определим расположение точек относительно линий. Так все точки, которые располагались слева от фиолетовой линии, после поворота будут находиться сверху от зелёной линии. Все точки, которые располагались справа от фиолетовой линии, после поворота будут находиться снизу от зелёной линии.

4. Отметим первую точку (на рис. красного цвета) на зеленой линии на таком же расстоянии от точки М, что и по фиолетовой линии.

5. Следующая точка находится 4 клетки вверх и 2 клетки вправо относительно точки М и фиолетовой прямой. Следовательно, она будет располагаться 4 клетки влево и 2 вверх относительно точки М и зеленой прямой.

6. Таким же образом рассчитывается новое местоположение остальных вершин фигуры.

7. Полученные точки соединяем отрезками в фигуру.

К данной задаче разработан видеоролик с пошаговым построением и возможностью комментирования процесса.

Заключение

“Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.”

Аристотель

Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении столетий пытался постичь и создать порядок, красоту, совершенство. Симметрия с давних времён считалась синонимом прекрасного.

Почти все считают, что красоту, воспринимаемую зрением, порождает соразмерность частей друг с другом и прелестью красок, и для всех тех, кто так считает, и вообще всех остальных быть прекрасным – значит быть симметричным.

Симметрия, как объективный признак красоты, проходит через всю историю искусств. Умение построить симметричную фигуру позволяет решить большой круг задач в различных сферах жизнедеятельности человека.

Как мы убедились, работая над проектом, используя правила построения симметричных фигур, мы успешно справимся с решением заданий всероссийских проверочных работ по математике за 6 класс. Выдвинутая гипотеза была доказана, поставленная цель достигнута.

Список источников информации

1. Сайт «Мир симметрии», статья «Виды симметрии» [https://www.sites.google.com/site/mirsimmetrii/simmetria---eto/vidy-simmetrii];

2. Сайт «ВикипедиЯ. Свободная энциклопедия», статья «Центральная симметрия», 27 марта 2022 в 18:21. [https://ru.wikipedia.org/wiki/Центральная_симметрия];

3. Сайт «Skysmart», статья «Осевая и центральная симметрия», 09.12.2020 [https://skysmart.ru/articles/mathematic/osevaya-i-centralnaya-simmetriya];

4. Сайт «Сдам ГИА: Решу ВПР» [https://math6-vpr.sdamgia.ru/?redir=1];

город Луга,
2022 год