Работа на научно-практическую конференцию школьников "Метод Пирсона"

Представление, тема работы

Цель работы: изучить способы решения различных типов «химических» задач рациональными способами, подготовиться к сдаче выпускного экзамена.

Задачи:

1. Рассмотреть различные способы решения задач на проценты, включая

традиционный и нетрадиционные методы;

1. Выделить основные особенности и преимущества каждого из методов;

2. Создать рекомендации по решению задач на смеси, растворы и сплавы.

Гипотеза моей работы:

Задачи на смеси, растворы и сплавы вызывают затруднения, но их решение сводится к определённому алгоритму, который применяется к задачам данного типа.

Если хотите научиться плавать,
то смело входите в воду, а если хотите
научиться решать задачи, то решайте их.
Дьёрдь Пойа

Просматривая КИМы ЕГЭ по математике, я обратила внимание, что в 30% работ в качестве текстовой задачи предлагается задача на смеси, сплавы или растворы. Эти задачи при первом знакомстве с ними вызывают затруднения. Самостоятельно справиться с ними могут немногие. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все. Практика показывает, что очень многие не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины. Поэтому я считаю, что на сегодняшний день тема решений таких задач является актуальной.

Современные психологи утверждают, что решение одной задачи несколькими способами часто бывает более полезным, чем решение одним способом нескольких задач.

Чтобы решить любую задачу, надо создать математическую модель. В

каждом типе задач я использую удобные для меня схемы. Вначале я покажу способы, которыми обычно решаю данного вида задачи, а затем перейду к способу, который нашла в интернете.

Рассматривая способы решения задач на смеси я пришла к выводу, что задачи легко решаются, если применить графическую иллюстрацию. Сначала рассмотрим самый распространенный способ решения задачи, где для успешного решения задачи, условие представляют в виде таблицы.

Рассмотрим решение задачи с помощью такой таблицы, куда мы занесем процентное содержание вещества, массу растворов, массу вещества по условию задачи.

Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве. Составляем уравнение, которое решаем и получаем результат.

Данный способ удобен, так как зрительное восприятие данных, расположенных в определенном задуманном порядке, позволяет компактно представить процессы соединения растворов, упростить составление уравнения, а также, облегчить процесс как решения, так и проверки задачи.

Решим задачу с помощью математической модели. Изобразим каждый из растворов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Для того, чтобы показать, что происходит смешивание веществ, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками, а знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками показывает, что третий раствор получен в результате смешивания первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:

Заполнив прямоугольники данными из условия задачи, решим задачу с помощью такой математической модели.

_{Решение показано на слайде.}

Рассмотрим еще один способ решения данных задач - квадрат Пирсона

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешивания или квадрат Пирсона. В чем она заключается?

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Докажем это. Разберем этот метод на примере решения задачи

Имеются два куска сплава меди с цинком. Известно процентное содержание меди в них. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий заданный процент меди?

Зная, что масса меди в новом сплаве есть сумма масс меди в каждом из взятых кусков, составим уравнение, решив которое, получим ответ.

Итак, для того чтобы решить задачу, используя квадрат Пирсона, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Строится квадрат, и проводятся его диагонали.

2. В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ (А).

3. В левом нижнем углу ставят меньший показатель (В).

4. На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель (С).

5. В правом нижнем углу после вычитания из А С получают У.

6. В правом верхнем углу после вычитания из С В получают Х.

Мы получаем, что нам надо взять Х частей с концентрацией А и У частей с концентрацией В, и мы получим смесь с концентрацией С.

Рассмотрим решение методом квадрата Пирсона следующей задачи,

в которой нужно определить количество получившегося раствора.

Записываем условие задачи в квадрате Пирсона, составляем уравнение, решаем его и получаем результат.

Рассмотрим решение методом квадрата Пирсона еще для двух задач в которых нужно определить концентрацию и массу. Еще задача

Итак, в своей исследовательской работе я рассмотрела методы решений задач на растворы и сплавы. Какие-то из них могут показаться легче, какие-то сложнее, но в целом их принцип очень похож. Все-таки в каждой задаче половину успеха решает правильно составленное условие, которое можно представить совершенно в разных вариациях. Мы видели множество различий между решениями, и я думаю, каждый может выбрать для себя метод, который кажется ему привлекательным. При этом практически было доказано, что прийти к верному ответу задачи можно, используя любой из рассмотренных выше способов решения и рационально распределяя время при решении задачи.

И, если нужен тонкий расчет, даже в самом обычном, бытовом деле как смешивание сахара в чае или получение уксусного раствора нужной концентрации, то решение этого вопроса с помощью задачи – это лучшее решение.

Квадрат Пирсона

для решения

задач на смеси и сплавы

Цель работы :

Изучить способы решения различных типов «химических» задач

рациональными способами, подготовиться к сдаче выпускного экзамена.

.

Задачи:

• Рассмотреть различные способы решения задач на смеси и сплавы, включая

традиционный и нетрадиционные методы;

• Выделить основные особенности и преимущества каждого из методов;
• Создать рекомендации по решению задач на смеси.

Гипотеза : Задачи на смеси, растворы и сплавы вызывают у

учащихся затруднения, но их решение сводится к определённому

алгоритму.

Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться

решать задачи, то решайте их. Дьёрдь Пойа

Современные психологи утверждают, что

решение одной задачи несколькими способами

часто бывает более полезным, чем решение

одним способом нескольких задач.

Решение задач с помощью таблицы

Задача №1 Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит

15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава,

чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов

Первый сплав

% содержание меди (доля содержания вещества)

15% = 0,15

Масса раствора (смеси, сплава)

Второй сплав

Масса вещества

х г

65% = 0,65

Получившийся сплав

30% = 0,3

0,15*х

(200 – х) г

200 г

0,65*(200–х)=130 - 0,65х

200*0,3=60

Сумма масс меди в двух первых сплавах равна массе меди в полученном сплаве:

Решив это уравнение, получаем х = 140 . При этом значении х выражение 200 – х = 60 . Это означает, что первого сплава надо взять 140 г , а второго 60г .

Ответ: 140 г , 60 г .

Решение задач с помощью математической модели

Задача №1. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит

15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава,

чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства)

равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):

х= 140, 200 – х = 60 . Это означает, что первого сплава надо взять140 г , а второго – 60 г .

Ответ: 140г, 60г.

Решение задач с помощью квадрата Пирсона

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают

массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Имеются два куска сплава меди с цинком. Процентное содержание меди в них а 1 % и a 2 % соответственно. В каком отношении нужно взять массы этих сплавов, чтобы, переплавив взятые куски вместе, получить сплав, содержащий а % меди?

Массовая доля меди в сплаве

I сплав

а 1 %

II сплав

Масса каждого сплава

Новый сплав

a 2 %

М 1

Масса меди в каждом сплаве

а %

М 2

М 1 +М 2

+

• Строится квадрат, и проводятся его диагонали.
• В левом верхнем углу ставят больший показатель крепости веществ ( А )
• В левом нижнем углу ставят меньший показатель крепости веществ ( В ).
• На пересечении диагоналей ставят требуемый показатель крепости ( С )
• В правом нижнем углу после вычитания из А С получают У
• В правом верхнем углу после вычитания из С В получают Х

Задача .

Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

36%

97%

(х – 2) л

81%

2 л

45%

16%

Задача .

Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

55%

(10 – х)%

400 г

х %

(55 – х)%

500 г

10%

Ответ : концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30%.

10

Задача . Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка.

20 %

(х+3) к г

40%

30 %

х к г

10 %

10%

Квадрат Пирсона