Руководитель проекта по математике "Математика и искусство"

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Наука и искусство – два основных начала в человеческой культуре, две дополняющие друг друга формы высшей творческой деятельности человека. В истории человечества были времена, когда эти начала дружно уживались, а были времена, когда они противоборствовали.

Но видимо высшая их цель – быть взаимодополняющими гранями человеческой культуры, потому что даже в самой сердцевине науки есть элемент искусства, а всякое искусство несёт в себе частицу научной мудрости.

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающем реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги. Каждая эпоха – будь то времена античной цивилизации, средние века, эпоха Возрождения или ХХ век – оставляет свой след, обогащает культуру новыми знаниями, но всегда животрепещущей, манящей своей глубиной остается проблема единства алгебры и гармонии красоты и пользы, формы и содержания.

На уроках алгебры и геометрии нам не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях. В результате мы часто задаемся вопросом: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?» Поэтому в своей работе я хочу показать тесную связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни.

Все вышеперечисленные факторы и обусловили актуальность моего исследования.

Целью работы является изучение связи между искусством и математическими науками.

В соответствии с поставленной целью решались следующие основные задачи:

- определить связь математических и музыкальных наук;

- определить связь между математикой и живописью;

- определить связь математики и поэзии.

Методы исследования:

- изучить необходимую литературу и интернет – источники для ознакомления с материалом, необходимым для выполнения работы;

- проанализировать источники и сделать вывод, соответствующий цели проекта;

- подготовить презентацию работы.

Объект исследования – тесная связь искусства с математическими науками.

1. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением". О теореме Пифагора слышал каждый школьник, а о "Золотом сечении" - далеко не все.

Золотым сечением (делением) и даже “божественной пропорцией” называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8.

Замечательный пример “золотого сечения” представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый, который называется пентаграммой. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618).

С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Он много путешествовал по Востоку, познакомил Европу с индийскими (арабскими) цифрами. В 1202 г вышел в свет его математический труд «Книга об абаке» (счетной доске), в котором были собраны все известные на то время задачи. Одна из задач гласила «Сколько пар кроликов в один год от одной пары родится». Размышляя на эту тему, Фибоначчи выстроил такой ряд цифр:

Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Ряд Фибоначчи мог бы остаться только математическим казусом, если бы не то обстоятельство, что все исследователи золотого деления в растительном и в животном мире, не говоря уже об искусстве, неизменно приходили к этому ряду как арифметическому выражению закона золотого деления.

Вообще принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании.

В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.

В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи, художник и ученый, видел, что у итальянских художников эмпирический опыт большой, а знаний мало. Поэтому Леонардо да Винчи много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.

2. МАТЕМАТИКА И ЖИВОПИСЬ

Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех свободных искусствах, но прежде всего я желаю, чтобы он узнал математику.

Леон Батиста Альберти

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод. Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эсхера, они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.

2.1. «Ортогональная» живопись Древнего Египта

Ортогональная перспектива свойственна древнеегипетскому искусству. Ортогональные проекции позволяли древнеегипетскому художнику сообщать зрителю объективную информацию об окружающем мире. Метод ортогональных проекций был в совершенстве разработан живописцами Древнего Египта. Поскольку художник не мог дать все три проекции предмета, он делал одну проекцию с наиболее характерной стороны, в наиболее выгодном ракурсе.

Вот почему при изображении животных выбирался вид сбоку, профильное изображение как наиболее информативное. По той же причине человеческая фигура рисовалась в несколько странном ракурсе: голова и ноги давались в профиль. А грудь и плечи рисовались в фас, повернутыми к зрителю. В тоже время убитые враги, лежали на земле, показывались сверху, т.е. также с наиболее информативной точки зрения.

На иллюстрации из «Книги мёртвых» художник показывает бога Осириса в характерном профильном изображении с развёрнутыми к зрителю плечами. В этом рисунке совмещены, по крайней мере, 6 точек зрения, 6 ортогональных проекции.

Но вот чего не было в древнеегипетской живописи, так это глубины пространства. Созданные методом ортогональных проекций образы Древнего Египта были нарочито двумерными, плоскими, и это, казалось, нимало не смущало их авторов. Проблема изображения трёхмерного пространства египтянами не ставилась. Их интересовали выделенные из среды и лишённые индивидуальных черт абстрактные образы-символы, а не то, как они взаимосвязаны между собой. Если же действие и развивалось в древнеегипетской картине, то оно развивалось не в глубину, а параллельно плоскости картины, по строкам. Расположенные друг над другом строки следовало понимать как события, происходящие ближе или дальше от наблюдателя.

И всё-таки, несмотря на хорошо разработанные условные приёмы, проблема изображения глубины пространства неизбежно вырастала в древнеегипетской живописи. В ряде случаев художник заслонял одну фигуру другой, показывая тем самым взаимное расположение этих фигур в третьем измерении. Однако такой приём не всегда давал ожидаемые результаты.

Таким образом, потребность в изображении пространственных отношений между предметами неизбежно приводит к новой геометрической системе в живописи - аксонометрии. Несмотря на то, что отдельные ростки аксонометрии встречались уже в живописи Древнего Египта, своё подлинное развитие эта геометрическая система в живописи получила значительно позже.

1. «Параллельная» живопись средневекового Китая и Японии

В отличие от средневековой Европы искусство Китая не было сковано путами церковных догматов. Здесь мирно сосуществовали и три религиозно - философских учения: конфуцианство, даосизм и буддизм и два направления искусства: религиозное и светское. Согласно этим учениям, путь познания истины проходил через отрешение от мирской суеты, растворение и духовное очищение в природе. Именно в природе китайские художники, многие из которых были монахами, искали и находили умиротворяющую гармонию.

Поистине удивительно, как точно этой философии созерцания была найдена соответствующая геометрия живописи - аксонометрия! Аксонометрия - есть центральная проекция с бесконечно удалённым центром проектирования. Таким образом, именно в этой геометрической системе точка зрения художника отодвигалась в бесконечность, художник растворялся в безграничных пространствах природы и бесстрастно взирал на её мудрое спокойствие. В силу своей геометрии (параллельные линии остаются параллельными) аксонометрия не знает ни угла зрения, ни точек схода, ни линии горизонта. Горизонт как бы всё время ускользает от наблюдателя, поднимаясь вверх и растворяясь там.

Аксонометрия имеет три координаты. Если оси координат выбрать так, чтобы по двум осям иметь фронтальную проекцию (без искажения), то по третьей координате обязательно будут искажения. Это фронтальная косоугольная аксонометрия, в которой, как правило, и творили китайские мастера. Поскольку коэффициент искажения по третьей координате неизвестен (в лучшем случае он был известен только автору!), то судить о протяжённости глубины по первым двум координатам (ширине и высоте) затруднительно, т.е. протяжённость по глубине оказывается неопределённой. Эта неопределённость глубины в аксонометрии усиливается параллельностью «глубинных» линий, которые сближаются по мере удаления от наблюдателя. Таким образом, в «параллельной» живописи возникают два противоположных начала: глубинное и плоское.

Японское искусство впитало в себя сложившиеся в Китае художественные системы и методы. Загороженная от всего мира морями, Япония вплоть до наших дней сохранила свою обособленную и потому своеобычную культуру.

Геометрической основой японской живописи была та же параллельная перспектива. Даже Хокусай, творивший в XIX веке, через 400 лет после Леонардо да Винчи и Дюрера строго следует правилам параллельной перспективы!

1. Линейная перспектива эпохи Возрождения

Перспектива как наука возникла в глубокой древности в связи с необходимостью изображать на плоскости предметы в трехмерном пространстве и развивалась в двух направлениях: в области науки (строительстве, технике) и в живописи. История свидетельствует, что египетские пирамиды и храмы, величайшие сооружения Древней Греции и Рима были построены по изображениям - прототипам современных чертежей. Начала геометрии, и в частности перспективы, можно встретить в трудах древнегреческих и римских ученых. Известный древнегреческий ученый и математик Евклид, живший за 300 лет до нашей эры, в своих сочинениях в разделе "Оптика" сформулировал впервые правила наблюдательной перспективы, а также вывел законы отражения лучей от плоских, вогнутых и выпуклых зеркал.

Закономерностями построения изображений окружающей действительности, близкой к зрительному восприятию, занимались и художники.

Перспектива - лучший приём передачи видимого. Для Возрождения наиболее характерна линейная перспектива. Линия горизонта и главная точка картины стали важнейшими инструментами художника. Главная точка картины заключала в себе смысл картины, становилась смысловым центром картины. В картине Леонардо да Винчи "Тайная вечеря" таким центром является правый глаз Христа. Вся картина  построена на линиях исходящих из этого центра. Картина имеет строгую вертикальную симметрию. Леонардо да Винчи, как и многие художники Возрождения старался не просто показать глубину пространства, но и как бы вычислить эту глубину. «Тайная вечеря» - это наука и искусство, которые для Леонардо да Винчи были слиты в живописи воедино.

Линейная перспектива - вид перспективы, рассчитанный на фиксированную точку зрения и предполагающий единую точку схода на линии горизонта (предметы уменьшаются пропорционально по мере удаления их от переднего плана). Учение о линейной перспективе зародилось в XIII в., и это явилось событием, сыгравшим весьма заметную роль в судьбе европейской культуры. Первым художником, воплотившим в своем творчестве представление о перспективе, создавшим в изображении на плоскости иллюзию трехмерного пространства, был итальянец Джотто (1267-1332). Открытие способа изображения трехмерного пространства на плоскости при помощи линейной (прямой) перспективы знаменует наступление новой эры в европейском искусстве - реализма.

1. Обратная перспектива живописи Древней Руси

Однако существовала ещё одна система перспективы - обратная. Она не была так хорошо научно разработана и не была признана таким количеством художников и учёных как линейная. Но она имеет право на жизнь также как и линейная.

Особый вид перспективы использовали древнерусские живописцы в иконописи, фресках, миниатюре. Они рисовали параллельные линии, уходящие вдаль расходящимися, а не сходящимися, то есть в обратной перспективе. Например, "Троица" Андрея Рублёва - шедевр древнерусской живописи. Непривычно выглядят непараллельные линии, которые не сводились в центр картины, а как бы исходили из точки перед картиной.

Вид перспективы, применяемый в византийской и древнерусской живописи, при которой изображенные предметы представляются увеличивающимися по мере удаления от зрителя, картина имеет несколько горизонтов и точек зрения, и другие особенности.

При изображении в обратной перспективе предметы расширяются при их удалении от зрителя, словно центр схода линий находится не на горизонте, а внутри самого зрителя. Обратная перспектива образует целостное символическое пространство, ориентированное на зрителя и предполагающее его духовную связь с миром символических образов. Следовательно, обратная перспектива отвечает задаче воплощения сверхчувственного сакрального содержания в зримой, но лишенной материальной конкретности форме. Поскольку в обычных условиях человеческий глаз воспринимает изображение в прямой, а не в обратной перспективе.

Обратная перспектива не должна восприниматься как неумение изображать пространство. Древние русские иконописцы не приняли линейной перспективы, когда познакомились с ней. Обратная перспектива сохраняла свой духовный смысл, но была и протестом против соблазнов "плотского зрения".

Нередко использование обратной перспективы давало и преимущества: она, например, позволяла разворачивать строения так, что открывались "заслоненные" ими детали и сцены, что расширяло информативность иконного повествования.

1. МАТЕМАТИКА И МУЗЫКА

Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом.

ЛЕЙБНИЦ

В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем западноевропейской нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени. Частоты звукоряда представляют собой геометрическую прогрессию с коэффициентом 1,059... (корень 12 степени из 2), а временная организация это звуки и паузы, находящиеся в кратных отношениях (чаще всего деноминатором выступает степень 2). Структура музыкального произведения нередко оказывается очень простой, представляя собой чередование некоторых «блоков-модулей» определенной протяженности. Мелодические партии имеют, как правило, деление на мотивы, фразы, предложения и периоды, а аккомпанирующие – явно выраженный периодический характер. И все это еще объединено гармонией – своеобразными матрицами нормативных сочетаний звуков из некоторой сетки частот.

Первым ученым- математиком, отличившемся в музыкальной сфере, стал, несомненно, Пифагор. Он случайно услышал, как удары молотов создают вполне определенное созвучие, и после этого занялся экспериментами, пытаясь найти соотношения между высотой тона и числами. С помощью чаши с водой и струны обнаружил, что половина длины струны поднимают ноту на одну октаву вверх. Восемь звуков- до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до- древнейшая музыкальная гамма.

В наши дни темперированная гамма включает в себя двенадцать нот, включая диезы и бемоли, но в основе ее лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора. Существует предположение, что Пифагоров строй - его гамму - усовершенствовал Архит, но и в античной Греции, и в эпоху Возрождения гамму из восьми звуков называли Пифагоровой диатонической гаммой.

Пифагорова теория музыки достигла даже небес. Пифагор разделял представление о сферичности мироздания и при этом первым назвал Вселенную «космосом». В те времена помимо Земли, Луны и Солнца были известны только Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн. Но еще Пифагор предположил существование «анти- Земли» и при этом выделил 10 небесных тел. Разумеется, это утверждение было тогда чисто теоретическим: число «10» для него символизировало гармонию Вселенной. Позже он увлекся идеей «музыки сфер», стремясь связать консонантные (гармонические) звуки с планетарными сферами.

Он исходил из того, что интервал в пространстве между планетами- тот же, что и шкала высоты музыкального звука. Каждая планета, двигаясь с постоянной скоростью, проходит определенное расстояние, создавая звук. О мере того как расстояние планет от центра увеличивается, а вращение планет ускоряется, звук становится выше. Именно так Пифагор представлял себе музыку, которая звучит по всей Вселенной.

Пифагор рассматривал Вселенную как громаднейший монохорд с одной струной, прикрепленной верхним концом к абсолютному духу, а нижним - к абсолютной материи. Другими словами, струна натянута между небом и землей. О влиянии музыки на человека с древности было хорошо известно многим ученым, однако на связь музыки и чисел первым указал именно Пифагор. Пифагор утверждал, что «музыка очень благотворно действует на здоровье, если заниматься ею подобающим образом». Музыка облагораживает эмоционально; музыка обогащает умственно; музыка способствует росту основных человеческих способностей — способности к логическому мышлению и способности к овладению языком и речью.

Благодаря трудам Пифагора математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки – временную и частотную шкалы. С этого момента музыкальная и математическая науки пошли бок обок друг с другом. Более того, музыка начала развиваться именно благодаря математике.

В становлении музыкальных компьютерных технологий все это уже давно история. Однако она превосходно показывает, как тесно в действительности связаны понятия «математика» и «музыка», которые мы привыкли четко разграничивать между собой, и разрушает миф об абсолютной сепарации точных наук с искусством.

В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например: = + . Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/10=+ + = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 и т.д. И наоборот: 2/4 + 1/8 + 1= + + + = 4/8 +1/8 + 8/8 = 13/8 = + + .

Если все длительности в музыкальном произведении увеличить вдвое, произведение надо исполнять медленнее и наоборот.

Музыка математична, а математика музыкальна. И там и тут господствует идея числа и отношения. Нет такой области музыки, где числа не выступали бы конечным способом описания происходящего: в ладах есть определенное число ступеней, которые характеризуются определенными зависимостями и пропорциональными отношениями; ритм делит время на единицы и устанавливает между ними числовые связи; музыкальная форма основана на идее сходства и различия, тождества и контраста, которые восходят к понятиям множества, симметрии и формируют квазигеометрические музыкальные понятия. К тому же музыка процессуальна, а математика берется описать самые разнообразные процессы в абстрактных категориях — категория производности и непроизводности, на которых построено все музыкальное формообразование, крайне математична. В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же как в музыке.

1. МАТЕМАТИКА И ПОЭЗИЯ

Это наука, требующая наиболее фантазии, нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе.

С.В.Ковалевская

Математика и поэзия. Что роднит их, казалось, на первый взгляд они такие разные…

Уже многие годы произведения А.С. Пушкина анализируются с самых разных точек зрения: литературной, художественной, исторической, лингвистической и так далее.

Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.

Исследователи вычислили, что числа Фибоначчи не только доминируют в размерах А.С. Пушкина, они определяют во многих случаях и внутреннюю композицию стихотворений: число стихов и число строк в них. Так, в стихотворении «Моя родословная» – 8 восьмистиший, в стихотворении «Друзьям» и «Дорожные жалобы» – 8 четверостиший. Преобладание в анализе стихотворений А.С. Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью, игрой слепой вероятности. Наличие этих чисел выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии. Характерно, что нечётные числа этого ряда 3, 13, 15, 21 затрудняют стихосложение, рифмование строк. Но поэт пользуется этими размерами, так как они отвечают требованиям художественной формы, формы новой, необычной, оригинальной и в то же время отвечающей критериям гармонии.

Михаил Юрьевич Лермонтов, будучи большим любителем математических задач и головоломок, всегда возил с собой учебник математики, из которого, очевидно, черпал вдохновения для своих стихов. По крайней мере, сия наука позволяла великому поэту глубже понимать жизнь. Александр Сергеевич Пушкин математику не любил, однако отдавал ей должное: «В математике есть своя красота, как в поэзии», — писал великий поэт.

Известно также, что Лев Николаевич Толстой не так далёк был от этой науки, он даже составлял задачи по арифметике. Известный драматург и писатель Александр Васильевич Сухово-Кобылин был к тому же ещё и математиком. Великий русский писатель Александр Сергеевич Грибоедов окончил физико-математический факультет и многие выдающиеся поэты и писатели, такие как Ада Лавлейс, Александр Исаевич Солженицын и другие отдавали дань своего таланта не только литературе, но и математике. Говорят, если соединяются дух логики и интуиции, мистики и материализма, поэзии и математики, рождается дитя необыкновенной силы, таящее в себе древние знания и молодую науку.

Подведя итог всему вышесказанному, следует заметить, что могущество и красота математической мысли – в предельной чёткости её логики, изяществе её конструкций, искусном построении абстракций. И вместе с тем математические высказывания – определения, теоремы, формулы – сопоставлены с поэзией по силе воздействия на воображение, по целенаправленной плотности языка. Посредством гармонии ритма точных слов, образов и рифмы стихотворения приобретают эмоциональность, звучность, красоту. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике. Именно математика показывает и доказывает неопровержимыми числами, что настоящая поэзия неисчерпаема и неповторима.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.

Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. И проделанная мною работу, ещё раз это доказывает.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.Г.Яблонский «Линейная перспектива на плоскости», Москва, 1966 год

2. М.Н.Макарова «Перспектива», Москва, 1989 год.

3. http://n-t.ru/tp/iz/zs.htm

4. http://matematikaiskusstvo.ru/geometryandart.html

5. http://periodika.websib.ru/node/26749

6. http://stav-rvd.siteedit.su/painting

7. http://www.textfighter.org/raznoe/Sociolog/dobr/pryamaya_perspektivy_v_iskusstve_perspektiva_perspektive.php

8. http://shedevrs.ru/materiali/254-perspektiva.html

9. http://www.ukoha.ru/article/begin/pramaa_i_obratnaa_percpektiva.htm

10

Автор: Кондратенко Антонина Анатольевна

Kondratenko Antonina

Руководитель: Суховольская Ирина Николаевна

[email protected]

Россия, Алтайский край, Благовещенский район,

Р.п.Благовещенка КГБОУ НПО

«Профессиональное училище №54»

улица Мелиоративная, дом 1,

(8- 38564 ) 21-3-50; [email protected]

Алтайский край, Родинский район,

с. Шаталовка, ул. Мамонтова, д. 20

Математика и искусство «Математика и искусство»

Работа посвящена изучению связи между искусством и математическими науками, так как на уроках алгебры и геометрии не хватает времени, чтобы больше узнать о роли математических наук в жизни человека и их связи с различными областями жизнедеятельности, об истории возникновении и развитии этой науки, ученых и их достижениях. В результате часто задаются вопросы: «Зачем мы изучаем математику? Какое место в нашей жизни она занимает?» Поэтому в своей работе я хочу показать тесную связь между жизнью человека и математическими науками, их применении не только для решения задач, но и для использования в повседневной жизни.

В процессе исследования были определены связи:

• математике и живописи;
• математике и музыки;
• математике и поэзии.

р.п. Благовещенка

2013 год

• Введение
• Золотое сечение
• Математика и живопись
• Математика и музыка
• Математика и поэзия
• Заключение
• Использованные источники

Никакой достоверности нет в науках там, где нельзя приложить ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой

Леонардо да Винчи

Далее

Содержание

5

Введение

Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве, в частности при изображении перспективы, подразумевающей реалистичное изображение трехмерной сцены на плоском холсте или листе бумаги.

Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная. Математика не играет очевидной роли в большинстве работ современного искусства, и, фактически, многие художники редко или вообще никогда не используют даже перспективу.

Однако есть много художников, у которых математика находится в центре внимания. Одним из них является Леонардо да Винчи. На искусство он смотрел не только глазами художника-творца, но и инженера, естествоиспытателя, математика, провозглашая, что достоверности нет в науках там, где нельзя приложить, ни одной из математических наук, и в том, что не имеет связи с математикой.

Гравюра А. Дюрера «Святой Иероним»

Далее

Содержание

Назад

6

Золотым сечением (делением) и даже “божественной пропорцией” называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей. Это отношение приближенно равно 0,618 или 5/8

a : b = b : c или с : b = b : а

Замечательный пример “золотого сечения” представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый, который называется пентаграммой. К примеру, в правильной пятиконечной звезде, каждый сегмент делится пересекающим его сегментом в золотом сечении (т. е. отношение синего отрезка к зелёному, красного к синему, зелёного к фиолетовому, равны 1.618).

Джакопо де Барбари

Портрет Луки Пачоли

Далее

Содержание

Назад

6

Цифры, выражающие длины отрезков, оставляют ряд Фибоначчи. Ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и т.д. известен как ряд Фибоначчи. Особенность последовательности чисел состоит в том, что каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д., а отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления.

Фибоначчи

Далее

Содержание

Назад

Математика и живопись

Далее

Содержание

Назад

Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех свободных искусствах, но прежде всего я желаю, чтобы он узнал математику

Леон Батиста Альберти

Далее

Содержание

Назад

Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая логика- привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины - «лед и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга. Это относится в конечном счете также к современным абстрактным геометрическим теориям, которые при всей своей возвышенной отвлеченности вырастают из той же геометрической интуиции.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству.

Далее

Содержание

Назад

Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эсхера, они образует своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту - в чисто геометрических конструкциях и построениях.

Гравюра М. К. Эсхера

Так что же от истинного искусства всегда присутствует в истинной геометрии? Словами выразить это затруднительно. Но вглядитесь внимательно в работы художника, прочтите в них о вышедших в последние годы трудах, где так неожиданно и оригинально использованы геометрические идеи.

Боттичелли "Венера"

Далее

Содержание

Назад

Живопись подразделяется:

1 . «Ортогональная» живопись Древнего Египта

2. «Параллельная» живопись средневекового Китая и Японии

3. Линейная перспектива эпохи Возрождения.

4. Обратная перспектива живописи Древней Руси

Далее

Содержание

Назад

«Ортогональная» живопись

Древнего Египта

Ортогональная перспектива свойственна древнеегипетскому искусству. Только в ортогональной проекции  форма предмета может быть зафиксирована единственным образом. Только ортогональная перспектива передаёт без искажений контуры реального предмета.

Далее

Содержание

Назад

«Ортогональная» живопись

Древнего Египта

Далее

Содержание

Назад

Однако ортогональные проекции никак не передавали глубину реального пространства и уже в искусстве Древнего Египта появились робкие ростки аксонометрии.

Далее

Содержание

Назад

«Параллельная» живопись

средневекового Китая и Японии

Законченное развитие аксонометрия нашла в живописи средневекового Китая и Японии. Китайские художники, многие из которых являлись монахами, находили умиротворяющую гармонию в природе. Там они познавали истину  и применяли полученные ими знания в живописи.

Далее

Содержание

Назад

«Параллельная» живопись

средневекового Китая и Японии

Далее

Содержание

Назад

Линейная перспектива эпохи Возрождения.

Перспектива - лучший приём передачи видимого. Для Возрождения наиболее характерна линейная перспектива. Линия горизонта и главная точка картины стали важнейшими инструментами художника. Главная точка картины заключала в себе смысл картины, становилась смысловым центром картины.

Далее

Содержание

Назад

В картине Леонардо да Винчи "Тайная вечеря" таким центром является правый глаз Христа. Вся картина  построена на линиях исходящих из этого центра. Картина имеет строгую вертикальную симметрию. Леонардо да Винчи, как и многие художники Возрождения старался не просто показать глубину пространства, но и как бы вычислить эту глубину.

Далее

Содержание

Назад

«Тайная вечеря» -это наука и искусство, которые для Леонардо да Винчи были слиты в живописи воедино.

Наука и искусство, словно нити холста, переплетались в полотнах мастеров Возрождения. Живопись переходила в начертательную геометрию, а геометрия – в искусство.

Далее

Содержание

Назад

Леонардо да Винчи «Джоконда»

В живописи Возрождения нашёл отражение пробуждающийся интерес  к науке. Это и принесло линейной перспективе такую популярность и звание единственно правильной и непогрешимой.

Далее

Содержание

Назад

Рафаэль Санти «Афинская школа»

Далее

Содержание

Назад

Рафаэль Санти «Обручение Марии»

Рафаэль обладал удивительным даром композиции. Мастерство с которым он соединял элементы композиции в единое целое, острое чувство симметрии, пропорции, золотого сечения, ритма – все эти качества рафаэлевского гения ярко проявились в полотне «Обручение Марии».

Далее

Содержание

Назад

Обратная перспектива живописи Древней Руси

Однако существовала ещё одна система перспективы - обратная. Она не была так хорошо научно разработана и не была признана таким количеством художников и учёных как линейная. Но она имеет право на жизнь также как и линейная.

Далее

Содержание

Назад

Андрей Рублёв «Троица»

.

" Троица" Андрея Рублёва - шедевр древнерусской живописи. Непривычно выглядят непараллельные линии, которые не сводились в центр картины, а как бы исходили из точки перед картиной. Изучение законов картин древней Руси затруднялось несоблюдением художниками точности построения обратной пропорции.  Такое изучение попытался сделать В.Б.Раушенбах. Он пришел к выводу что перспективной основой древнерусской живописи является аксонометрия.

Далее

Содержание

Назад

Каждый художник выбирает те законы и те методы при создании картины, которые на его взгляд наиболее точно и наиболее красиво передадут его замысел.

Саврасов Волга

Содержание

Далее

Назад

Математика и музыка

Далее

Содержание

Назад

Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом

ЛЕЙБНИЦ

Далее

Содержание

Назад

В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем западноевропейской нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени. Частоты звукоряда представляют собой геометрическую прогрессию с коэффициентом 1,059... (корень 12 степени из 2), а временная организация это звуки и паузы, находящиеся в кратных отношениях (чаще всего деноминатором выступает степень 2). Структура музыкального произведения нередко оказывается очень простой, представляя собой чередование некоторых «блоков-модулей» определенной протяженности. Мелодические партии имеют, как правило, деление на мотивы, фразы, предложения и периоды, а аккомпанирующие – явно выраженный периодический характер. И все это еще объединено гармонией – своеобразными матрицами нормативных сочетаний звуков из некоторой сетки частот.

Далее

Содержание

Назад

Первым ученым- математиком, отличившемся в музыкальной сфере, стал, несомненно, Пифагор. Он случайно услышал, как удары молотов создают вполне определенное созвучие, и после этого занялся экспериментами, пытаясь найти соотношения между высотой тона и числами. С помощью чаши с водой и струны обнаружил, что половина длины струны поднимают ноту на одну октаву вверх. Восемь звуков- до, ре, ми, фа, соль, ля, си, до- древнейшая музыкальная гамма.

Пифагор

В наши дни темперированная гамма включает в себя двенадцать нот, включая диезы и бемоли, но в основе ее лежит изобретение, за которое мы должны благодарить Пифагора. Существует предположение, что Пифагоров строй- его гамму- усовершенствовал Архит, но и в античной Греции, и в эпоху Возрождения гамму из восьми звуков называли Пифагоровой диатонической гаммой.

«В кузнице»

художник Лавр Плахов

Далее

Содержание

Назад

Пифагорова теория музыки достигла даже небес. Пифагор разделял представление о сферичности мироздания и при этом первым назвал Вселенную «космосом». В те времена помимо Земли, Луны и Солнца были известны только Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн. Но еще Пифагор предположил существование «анти- Земли» и при этом выделил 10 небесных тел. Разумеется, это утверждение было тогда чисто теоретическим: число «10» для него символизировало гармонию Вселенной. Позже он увлекся идеей «музыки сфер», стремясь связать консонантные (гармонические) звуки с планетарными сферами.

Далее

Содержание

Назад

Он исходил из того, что интервал в пространстве между планетами- тот же, что и шкала высоты музыкального звука. Каждая планета, двигаясь с постоянной скоростью, проходит определенное расстояние, создавая звук. О мере того как расстояние планет от центра увеличивается, а вращение планет ускоряется, звук становится выше. Именно так Пифагор представлял себе музыку, которая звучит по всей Вселенной.

Пифагор рассматривал Вселенную как громаднейший монохорд с одной струной, прикрепленной верхним концом к абсолютному духу, а нижним - к абсолютной материи. Другими словами, струна натянута между небом и землей.

Далее

Содержание

Назад

О влиянии музыки на человека с древности было хорошо известно многим ученым, однако на связь музыки и чисел первым указал именно Пифагор.

Пифагор утверждал, что «музыка очень благотворно действует на здоровье, если заниматься ею подобающим образом». Музыка облагораживает эмоционально; музыка обогащает умственно; музыка способствует росту основных человеческих способностей — способности к логическому мышлению и способности к овладению языком и речью. Музыка со стороны психологических механизмов, ею управляющих, чрезвычайно близка базовым интеллектуальным навыкам человека, которые во многом сложились благодаря музыке и в недрах музицирования. Музыка способствует развитию социально ценных качеств человека, делая его более либеральным и способным воспринимать «чужое» как «свое».

Мы слушаем музыку для собственного удовольствия, но, оказывается, ее звуки могут помочь людям при лечении различных заболеваний. И заслуга этого открытия принадлежит Пифагору.

Содержание

Далее

Назад

Благодаря трудам Пифагора математики обратили внимание на формальную сторону организации музыки – временную и частотную шкалы. С этого момента музыкальная и математическая науки пошли бок обок друг с другом. Более того, музыка начала развиваться именно благодаря математике.

В становлении музыкальных компьютерных технологий все это уже давно история. Однако она превосходно показывает, как тесно в действительности связаны понятия «математика» и «музыка», которые мы привыкли четко разграничивать между собой, и разрушает миф об абсолютной сепарации точных наук с искусством.

Содержание

Далее

Назад

В музыке мы имеем дело с короткими и длинными длительностями, они составляют основу любого ритма. Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты( ) на равные доли.

Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

= +

Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/10

+ + = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2 и т.д.

И наоборот: 2/4 + 1/8 + 1= + + + = 4/8 +

1/8 + 8/8 = 13/8 = + +

Если все длительности в музыкальном произведении увеличить вдвое, произведение надо исполнять медленнее и наоборот.

Назад

Содержание

Далее

Математика и поэзия

Далее

Содержание

Назад

Это наука, требующая наиболее фантазии, нельзя быть математиком, не будучи в то же время поэтом в душе

С.В.Ковалевская

Далее

Содержание

Назад

Из всех наук математика считается самой абстрактной. Справедливо ли это? Действительно, многие её понятия, методы, кажущиеся какими-то неестественными, придуманными. Именно кажутся. Ведь источники математических выдумок - сама жизнь. Уж, кажется, что может быть дальше от математики, чем поэзия? Но, вглядываясь в некоторые строчки, можно не без удивления обнаружить, что их авторы весьма грамотные математики.

О математика!

В веках овеяна ты славой,

Светило всех земных светил.

Тебя царицей величавой

Недаром Гаусс окрестил.

Строга, логична, величава,

Стройна в полёте ,как стрела.

Твоя немеркнущая слава

В веках бессмертье обрела.

Мы славим разум человека,

Дела его волшебных рук.

Надежду нынешнего века,

Царицу всех земных наук!

Содержание

Далее

Назад

Математика и поэзия. Что роднит их, казалось, на первый взгляд они такие разные…

Уже многие годы произведения А.С. Пушкина анализируются с самых разных точек зрения: литературной, художественной, исторической, лингвистической и так далее.

Многое в структуре произведений поэзии роднит этот вид искусства с музыкой. Чёткий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой – своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.

А.С. Пушкин

Далее

Содержание

Назад

Исследователи вычислили, что числа Фибоначчи не только доминируют в размерах А.С. Пушкина, они определяют во многих случаях и внутреннюю композицию стихотворений: число стихов и число строк в них. Так, в стихотворении «Моя родословная» – 8 восьмистиший, в стихотворении «Друзьям» и «Дорожные жалобы» – 8 четверостиший. Преобладание в анализе стихотворений А.С. Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью, игрой слепой вероятности. Наличие этих чисел выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии. Характерно, что нечётные числа этого ряда 3, 13, 15, 21 затрудняют стихосложение, рифмование строк. Но поэт пользуется этими размерами, так как они отвечают требованиям художественной формы, формы новой, необычной, оригинальной и в то же время отвечающей критериям гармонии.

Далее

Содержание

Назад

Великий астроном и математик, незаурядная личность Омар Хайям, живший в XI—XII вв. в Персии, был одновременно и скандальным поэтом. Хотя можно сказать наоборот: известный поэт Гияс ад-Дин Абу-л-Фатх Омар ибн Ибрахим Хайям Нишапури, проще Омар Хайям, был ещё и математиком,астрономом.

Омар Хайям

Михаил Юрьевич Лермонтов, будучи большим любителем математических задач и головоломок, всегда возил с собой учебник математики, из которого, очевидно, черпал вдохновения для своих стихов. По крайней мере, сия наука позволяла великому поэту глубже понимать жизнь. Александр Сергеевич Пушкин математику не любил, однако отдавал ей должное: «В математике есть своя красота, как в поэзии», — писал великий поэт.

М.Ю. Лермонтов

Далее

Содержание

Назад

Известно также, что Лев Николаевич Толстой не так далёк был от этой науки, он даже составлял задачи по арифметике. Известный драматург и писатель Александр Васильевич Сухово-Кобылин был к тому же ещё и математиком. Великий русский писатель Александр Сергеевич Грибоедов окончил физико-математический факультет.

Л.Н.Толстой

Александр Исаевич Солженицын изучал математику и физику в Ростовском университете и некоторое время преподавал в рязанской школе эти два предмета. Известный поэт-пародист нашей современности Александр Иванов был учителем математики. И поэт Валерий Брюсов в своем стихотворении «Мир измерений» соединяет литературу и математику.

А.И. Солженицын

Далее

Содержание

Назад

Английский писатель XIX века Льюис Кэрролл, он же — Чарльз Лутвидж Доджсон, автор «Алисы в стране Чудес», был профессор математики. Но привычнее для нас другая формулировка: известный английский математик XIX века Льюис Кэрролл написал сказку «Алиса в стране Чудес», любимую всеми детьми мира.

Льюис Кэрролл

Говорят, если соединяются дух логики и интуиции, мистики и материализма, поэзии и математики, рождается дитя необыкновенной силы, таящее в себе древние знания и молодую науку. Ада Лавлейс, урождённая Байрон, родилась в результате удивительного союза. Её отцом был поэт Байрон, а матерью Анна Изабелла Милбэнк, за своё увлечение математикой получившая от мужа прозвище « королева параллелограммов». Лорд Байрон развёлся с женой и покинул Англию, увидев свою дочь только один раз, через месяц после её рождения.

Ада Лавлейс

Далее

Содержание

Назад

Она недолго унывала и, отдав девочку на попечение своим родителям, отправилась в круиз. Вернулась она, когда девочка достигла возраста годного для воспитания, и с этой минуты не расставалась с ней. Аду с детства ограждали от произведений её отца в частности (из библиотеки были изъяты все его книги), так и от поэзии в целом. Её мать радовалась, что Ада увлекается музыкой и математикой, и очень боялась, что дочь однажды начнёт писать стихи. С этим страхом связана довольно курьёзная история.

Ада Август

Когда Аде было 12 лет, она часто запиралась у себя в комнате, забывая о прогулках и развлечениях. Анна Изабелла уже всерьёз беспокоилась, что дочь тайком пишет стихи, и даже потребовала подробного отчёта о её действиях. Каково же было её удивление, когда Ада показала ей результаты своих трудов. Да, то была поэзия, но поэзия математика - девочка делала чертежи летательного аппарата собственной конструкции. Она сочиняла крылья. Кроме того Ада Августа предвидела предназначение компьютера еще до того, как его создали.

Ада Август

Далее

Содержание

Назад

Подведя итог всему вышесказанному, следует заметить, что могущество и красота математической мысли – в предельной чёткости её логики, изяществе её конструкций, искусном построении абстракций. И вместе с тем математические высказывания – определения, теоремы, формулы – сопоставлены с поэзией по силе воздействия на воображение, по целенаправленной плотности языка. Посредством гармонии ритма точных слов, образов и рифмы стихотворения приобретают эмоциональность, звучность, красоту. А ритм, гармония и даже стиль произведения подвластны математике. Именно математика показывает и доказывает неопровержимыми числами, что настоящая поэзия неисчерпаема и неповторима.

Имея в виду, что истинный поэт должен обладать такими «математическими» качествами, как точность и леность восприятия и выражения мыслей, известный американский писатель Эдгар По сказал: «Поэт тем талантливее, чем более математичен его дар».

Далее

Содержание

Назад

Заключение

Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.

Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как музыка, живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В своей работе я постаралась это показать и считаю, что моя работа дает более широкие представления о математике и ее использовании в разных областях деятельности человека и отвечает на вопрос: «Зачем изучать математику?» Представленные мною материалы будут интересны многим учащимся и покажут математику с новой стороны, с которой они ее еще ни разу не видели.

Далее

Содержание

Назад

Использованные источники

• http://images.yandex.ru/yandsearch?stype=image&lr=11238&noreask=1&text=%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D1%8E%D1%80%D0%B0%20%D1%8D%D1%81%D1%85%D0%B5%D1%8
• http://matematikaiskusstvo.ru/page-5.html
• http://www.slideshare.net/Gulenka160/ss-12322487
• http://sterlitamakmus.ucoz.com/index/matematika_i_muzyka/0-13
• http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/index.htm
• http://han.gorod.tomsk.ru/index-1205205213.php
• http://tyagusheva.edurm.ru/new_page_1.htm
• http://nsportal.ru/ap/drugoe/library/matematika-v-iskusstve
• http://www.myshared.ru/slide/52024/
• http://pedsovet.su/

Далее

Содержание

Назад

Содержание

Назад