Урок-практикум по теме "Элементы комбинаторики в 9 классе"

Урок-практикум по теме «Элементы комбинаторики»

в 9 классе.

ЦЕЛЬ: Обучающая: повторить основные элементы комбинаторики; воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений;

уметь применять теоретические знания для решения задач.

Воспитывающая:

воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;

воспитывать умение работать самостоятельно.

Развивающая: способствовать развитию внимания, логики.

Тот, кто не знает математики

Не может узнать никакой другой науки.

И даже не может обнаружить

своего невежества,

А потому не ищет от него лекарства.

Роджер Бэкон.

На интерактивной доске 1 слайд (тема урока, эпиграф);

На доске слова: комбинаторика, перестановка, размещение, сочетание, факториал и символическая запись их вразброс.

Ход урока.

Дорогие друзья! С малых лет каждый из Вас изучает математику: кто-то с интересом, кто-то с безразличием. А всегда ли Вы отдаете себе отчет в том, что именно Вас привлекает в математике, или наоборот, чем она отвращает Вас от себя.

Сегодня мы с Вами закрепим понятия элементов комбинаторики – области математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Если после урока кого-то из Вас заинтересует предмет «математика»,- цель урока достигнута. Если же у кого-то, не любившего, останется чувство неприязни и безразличия к ней, то и это не трагедия. Математика совсем не единственный объект, на который могут быть устремлены Ваши помыслы, лишь бы они были - эти помыслы.

Итак, начнем.

1.Проверка домашнего задания.

Запишите в рабочих тетрадях число, тему урока. Дайте определение понятия «комбинаторика» (комбинаторика - это область математики, занимающаяся решением задач, в которых приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций)

1 и 2 слайд

Что называется размещением? (слайд3)

Размещением из ח элементов по к (к ≤ ח) называется любое множество, состоящие их к элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов.

Что называется перестановкой? (слайд 4)

Перестановкой из ח элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Что называется сочетанием? (слайд5)

Сочетанием из ח элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных ח элементов.

Что обозначает знак факториала? (слайд 6)

Знак факториала обозначает произведение первых ח натуральных чисел.

Покажите с помощью стрелок соответствие формул данным понятиям (задание выполняется на доске)

Приведите примеры, характерные для этих определений.

Что важно при вычислении размещений и неважно при вычислении сочетаний? (порядок элементов).

2.Практическая работа.

Класс по партам делится на группы и получает задания. К каждому заданию предлагается 2 подсказки.

Если у какой – то группы работа не складывается, Вы можете взять подсказку, но уменьшить на 1 бал оценку (подсказок всего 3).

Каждая группа доложила о своих результатах и о сложностях при выполнении работы (если с первой подсказки – 1б, если с двух – 2б).

Преподаватель оценивает работу каждой группы.

Задания для практической работы.

Задания для группы № 1

Сколькими способами можно рассадить 10 учеников на ГИА по математике за 10-ю партами

(подсказка 1 - перестановка; подсказка 2 - Рп = п! подсказка 3 -10! = 1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800 )

Задания для группы № 2

Сколькими способами можно составить код на двери домофона, состоящий из двух цифр.

(1подсказка – размещение, подсказка 2 - , 3 подсказка – 10!:8!= 9*10=90 )

Задание для группы № 3

Сколькими способами можно достать все карандаши из коробки - 8 цветов, вытаскивая каждый раз по одному.

( 1 подсказка – перестановка, 2 подсказка - , 3 подсказка - 8!=40320)

Задание для группы № 4

Составьте комиссию из 3 членов для экзамена по математике, если в школе всего 7 математиков. Сколько таких комиссий можно составить.

( подсказка 1 – сочетание, подсказка 2 - , подсказка 3 – 7!:(3!*4!)= 35)

Задание для группы № 5

Из Вашего класса собираются отправить астронавтов для полёта на Марс, сколько всевозможных экипажей из 5 человек можно составить из учащихся нашего класса - 24 человека.

( подсказка 1 – сочетание, подсказка 2 - , подс подсказка 3- 24!:(5!*19!)=42504)

3.Тест по электронному учебнику.

Каждая группа выполняет тест на ПК по электронному учебнику. Происходит это одновременно с выполнением практической работы.

4.Решение тестовых заданий по группам (каждой группе индивидуальные задания)

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1) 2) 3) 4)

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите:

1) 2 2) 56 3) 30 4)

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1) 2) 3) 4)

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

4. Сократите дробь:

1) 1 2) 3) 4)

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1) 2) 0,5 3) 4) 0,25

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные и различные.

1) 120 2) 30 3) 50 4) 60

4. Упростите выражение:

1) 0,5 2) 3) n 4) n-1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1) 2) 3) 4)

Вариант 5

1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

1) 36 2) 180 3) 720 4) 300

1. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14 2) 10 3) 21 4) 30

1. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?

1) 80 2) 56 3) 20 4) 60

1. Упростите выражение:

1) 2) 3) 4) 0

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

1) 2) 3) 4)

5. Решение задач повышенной сложности у доски.

№778. Из 12 солдат, в число которых входят Иванов и Петров, надо отправить в наряд 3 человек. Сколькими способами это можно сделать, если:

б). Иванов и Петров должны остаться;

в). Иванов должен пойти в наряд, а Петров – остаться?

Решение:

б). так как Иванов и Петров должны остаться, то выбирать солдат в наряд надо из 12-2=10 человек, при этом неважно в каком порядке будут выбирать. Поэтому надо посчитать сочетания из 10 человек по 3:

= 10!/ 3!*7!=8*9*10/1*2*3=120 способов.

в). Так как Иванов должен пойти в наряд, а Петров остаться, то выбирать надо из 12- 2 = 10 человек, при этом неважно в каком порядке будут выбирать. При этом Иванов обязательно должен идти в наряд, поэтому оставшихся 2 человек надо выбирать с помощью формулы сочетания из 10 человек по 2:

10!/2!*8!= 9*10/1*2= 45 способов.

№781. Максим подсчитал, что существует 378 способов выбора из класса 2 дежурных. Сколько учащихся в этом классе?

Пусть в классе х учащихся. Тогда при выборе 2 дежурных из этого кличества воспользуемся формулой сочетаний из х по 2. По условию таких способов 378.

Составим уравнение: х!/2!*(х-2)!=378

х*(х-1)/2=378

х² –х – 756=0

По т. Виета х₁=28, х₂=-27. Т.к. -27 не принадлежит натуральным числам, то в классе 28 учащихся.

Ответ: 28 учащихся.

6. Итог урока. Выставление оценок.

Итак, сегодня мы с вами закрепили элементы комбинаторики: размещение, перестановка, сочетание и основные формулы для их вычисления.

Я думаю, что вы уже поняли, что математика это оружие, с помощью которого человек познаёт и покоряет окружающий мир. Чтобы сделать в математике что-то действительно ценное, надо любить её так, как многие великие математики.

Сделайте хотя бы малую часть того, что сделали они, и мир навсегда останется благодарным вам. А сегодня мы сделали маленький шаг к познанию математической мысли.

Запишите задание на дом: №776, 777, 782*.

Вариант 1.

1. Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?

1) 30 2) 100 3) 120 4) 5

2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?

1) 128 2) 35960 3) 36 4)46788

3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?

1) 10 2) 60 3) 20 4) 30

4. Вычислить: 6! -5!

1) 600 2) 300 3) 1 4) 1000

5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?

1) 2) 3) 4)

Вариант 2.

1. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1) 100 2) 30 3) 5 4) 120

2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?

1) 3 2) 6 3) 2 4) 1

3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.

1) 10000 2) 60480 3) 56 4) 39450

4. Вычислите:

1) 2 2) 56 3) 30 4)

5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?

1) 2) 3) 4)

Вариант 3.

1. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1) 24 2) 4 3) 16 4) 20

2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?

1) 30 2) 21 3) 14 4) 7

3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

1) 22 2) 11 3) 150 4) 110

4. Сократите дробь:

1) 1 2) 3) 4)

5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?

1) 2) 0,5 3) 4) 0,25

Вариант 4

1. Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?

1) 5 2) 120 3) 25 4) 100

2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?

1) 12650 2) 100 3) 75 4)10000

3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых нечетные и различные.

1) 120 2) 30 3) 50 4) 60

4. Упростите выражение:

1) 0,5 2) 3) n 4) n-1

5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?

1) 2) 3) 4)

Вариант 5

1. Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

1) 36 2) 180 3) 720 4) 300

1. Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?

1) 14 2) 10 3) 21 4) 30

1. Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?

1) 80 2) 56 3) 20 4) 60

1. Упростите выражение:

1) 2) 3) 4) 0

5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?

1) 2) 3) 4)

Тот, кто не знает математики

Не может узнать никакой другой науки. И даже не может обнаружить своего невежества, А потому не ищет от него лекарства.

Роджер Бэкон.

• повторить основные элементы комбинаторики; воспроизводить общие правила комбинаторики и типы соединений;
• уметь применять теоретические знания для решения задач.
• воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;
• воспитывать умение работать самостоятельно.
• способствовать развитию внимания, логики.

• Знакомство учащихся с темой и целью урока.
• Проверка домашнего задания.
• Практическая работа.
• Тестирование в электронном виде.
• Решение тестовых заданий по группам.
• Решение задач повышенной сложности.
• Итог урока.
• Задание на дом.

Комбинаторика,

перестановка,

размещение,

сочетание,

факториал.

Что называется размещением?

Размещением из ח элементов по к (к ≤ ח ) называется любое множество, состоящие их к элементов, взятых в определенном порядке из данных элементов.

Что называется перестановкой?

Перестановкой из ח элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.

Сочетанием из ח элементов по к называется любое множество, составленное из к элементов, выбранных из данных ח элементов.

Знак факториала обозначает произведение первых ח натуральных чисел.

Ответы на тестовые задания самостоятельной работы

Номер задания

1

Вариант № 1

3

2

Вариант № 2

Вариант № 3

4

2

3

4

1

Вариант № 4

4

1

2

Вариант № 5

5

2

1

2

2

4

3

2

1

3

3

4

3

2

2

3

2

2

2

Решение задач повышенной сложности.

Задача № 1. Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг это сборники стихов, так, чтобы сборники стихов стояли рядом в произвольном порядке?

Решение: Рассмотрим сборники стихов как одну книгу. Тогда на полке над расставить не 12, а 8 книг. Это можно сделать Р 8 способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить Р 5 перестановок сборников стихов, значит искомое число расположения книг на полке равно

Р 8 * Р 5 = 8! * 5! = 4838400 способами

Задача № 2. Сколько трехзначных чисел без повторения цифр в записи числа можно составить из цифр 0, 2, 4, 6, 8?

Решение: Число трехзначных чисел, которые можно составить из этих цифр равно размещению из 5 элементов по 3. Однако среди данных цифр есть 0, с которого не может начинаться трехзначное число, поэтому надо исключить те размещения, у которых первым элементом является 0. Их число равно размещению из 4 элементов по 2.

5!/2! – 4!/2! = 48

Тот, кто не знает математики

Не может узнать никакой другой науки. И даже не может обнаружить своего невежества, А потому не ищет от него лекарства.

Роджер Бэкон.