«Використання алгоритмів в курсі алгебри 7-11 класів»

Відділ освіти Самбірської райдержадміністрації

Інформаційно-методичний центр освіти

Викотівська СЗШ І-ІІІ ступенів

Доповідь на тему: «Використання алгоритмів

в курсі алгебри 7-11 класів»

Підготував

вчитель математики

Гринишин Р.Р.

2011

Зміст

1. Алгоритмічний підхід при вивченні математики.

2. Алгоритми розв'язування деяких типів вправ у курсі алгебри.

   • Алгоритм вимірювання кута

   • Алгоритм побудови кутів

   • Алгоритм розв’язування лінійної нерівності з допомогою графіка

   • Алгоритм розв’язування квадратного рівняння за формулою

   • Алгоритм усного розв’язування квадратних рівнянь

   • Алгоритм дослідження функції та побудова графіка

   • Алгоритм розв'язування нерівностей методом інтервалів

   • Алгоритм знаходження проміжків зростання і спадания функції

   • Алгоритм знаходження точок екстремуму (максимуму та мінімуму) функції

   • Алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на проміжку

   • Алгоритм дослідження функції у = f(x)

3. Висновок.

4. Список використаних літературних джерел.

Алгоритмічний підхід при вивченні математики

Формування в учнів прийомів розумової діяльності, вміння вчитися - це завдання, які необхідно розв'язувати на всіх етапах навчання. Освітня практика свідчить, що неможливо у всіх учнів виховати добрі математичні здібності, але при спеціальній методиці навчання і розвитку мислення, певній системі роботи вчителя можливо полегшити засвоєння математики усіма учнями і, таким чином, поліпшити якість знань та їхній математичний розвиток.

Математичному мисленню властиві числова та знакова символіка, здібність мислити, узагальнена пам'ять на математичні відношення і дії, типові характеристики, схеми міркувань і доведень, методи розв'язування задач та принципи підходу до них.

Алгоритмічні методи є тією частиною математичної культури, що сприяють формуванню і розвитку в учнів деяких специфічних уявлень, вмінь та навичок, пов'язаних з поняттям алгоритму та способів його запису. На сучасному етапі розвитку суспільства це - частина загальної культури кожної людини i тому сприяє формуванню загальної математичної грамотності, використання комп’ютерних програм, як цілеспрямований компонент навчання.

Курс математики в загальноосвітніх навчальних закладах має достатньо широкі можливості формування, вивчення і застосування алгоритмів, оскільки в їх зміст природним чином закладається алгоритмічна лінія. Математичний матеріал формує змістову базу для вивчення основ інформатики, тобто готує учнів до сприйняття таких важливих понять курсу інформатики, як алгоритм та програма.

Попередній рівень формування алгоритмічної культури учнів – це можливість формального введення поняття алгоритму та формування його основних властивостей в змістових позначеннях. Такий підхід до навчання створює реальні передумови для подальшого систематичного ознайомлення учнів з найпростішими випадками застосування базових алгоритмічних структур при конструюванні алгоритмів. Цей матеріал є основою для навчання складанню найпростіших алгоритмів з подальшим записом їх в різних формах: табличній, графічній, аналітичній, словесній.

Етап формування алгоритмічної культури учнів на більш високому рівні умовно називають підготовчим. Аналіз змісту курсу математики дозволяє визначити основні теми і розділи, при вивченні яких створюються сприятливі умови для ефективної організації алгоритмічної лінії. Орієнтація навчання математичним поняттям і фактам за лінією алгоритмічної спрямованості дає можливість суттєво урізноманітнити види навчальної діяльності учнів, наповнити її більш конкретним змістом, змінювати організаційні форми проведения уроків та позакласної роботи.

Під час вивчення курсів алгебри і початків аналізу та геометрії навчальному закладі стійкі математичні навички в учнів виробляються успішно, якщо ввести в навчальний процес спеціальні вказівки і плани розв'язування найважливіших задач. Саме вони будуть первинною ланкою подальшого формування в учнів алгоритмічної культури. Застосовуючи такі плани розв'язування задач в процесі навчання, треба орієнтувати учнів на те, що їм слід не просто запам'ятати той чи інший план, а головне зрозуміти, якими є теоретичні основи його застосування, і виконувати наданий план потрібно свідомо, а не автоматично. Знайомство учнів з планами (алгоритмами) розв'язування задач здійснюється на уроках, а подальше їх відпрацювання проводиться при застосуванні різних форм роботи (фронтальної, групової, індивідуальної).

При розв'язуванні задач в учнів закріплюються теоретичні знання, відпрацьовуються навички застосування цих знань в практичній діяльності, розвивається творча активність. Ефективний метод навчання учнів розв'язуванню задач базується на використанні алгоритму під час пошуку плану розв'язування задачі.

Такий алгоритмічний підхід допомагає учням швидше знайти план розв'язування тієї чи іншої задачі. Для кращого запам'ятовування алгоритмічних відомостей можна рекомендувати учням записувати їх в окремий зошит, що стане для кожного учня його особистим довідником з математики.

Таким чином, формування алгоритмічної культури учнів органічно вписується в конкретну навчальну діяльність на основі навчального матеріалу підручників математики.

Методична реалізація використання алгоритмів може бути визначена через використання таких дидактичних можливостей:

1. при виявленні та розкритті алгоритмічного характеру фрагменту навчального матеріалу, який вивчається;

2. при первинних підходах до формування поняття алгоритму ;

3. при розробці системи вправ з алгоритмічною спрямованістю.

Пропонується загальна схема формування алгоритмічної культури учнів:

1. Розкриття змісту та методу алгоритмізації.

2. Ознайомлення з поняттям алгоритму та властивостями алгоритму.

3. Вироблення вмінь користуватися основними алгоритмами для обчислень.

4. Формування основних вмінь та навичок представлення і запису алгоритмів у різних формах і видах.

5. Навчання вмінням використовувати базові алгоритмічні структури.

Як приклад, в доповіді наведені алгоритми розв'язування деяких типів вправ у курсі алгебри.

Алгоритм вимірювання кута

1. Співставити вершину кута с центром транспортира.

2. Розташувати транспортир так, щоб сторона кута проходила через початок відліку на шкалі транспортира.

3. Знайти штрих на шкалі, через який проходить друга сторона кута

4. Враховуючи напрям відліку, правильно прочитати результат на шкалі.

Алгоритм побудови кутів

1. Накреслити промінь.

2. Співставити центр транспортира з початком променя так, щоб промінь проходив через початок відліку на шкалі транспортира.

3. Враховуючи вид кута, знайти в потрібному ряду необхідне значення кута і поставити на папері точку.

4. Сполучити на папері з позначеною точкою.

5. Перевірити вид кута, який необхідно побудувати. Шуканий кут побудовано.

Алгоритм розв’язування лінійної нерівності з допомогою графіка

1. П обудувати графік y =2x+4, взявши точку y = 0

Розв’язати нерівність y

• Виділити частину графіка під віссю 0X.

• Виділити відповідну частину осі 0X.

• Записати інтервал для X.

x x (-∞; -2)

Зв'язок коефіцієнта і зростання функції.

Якщо коефіцієнт 0, то функція зростає,

А якщо коефіцієнт

Алгоритм розв’язування квадратного рівняння за формулою

Алгоритм усного розв’язування квадратних рівнянь.

Зведені квадратні рівняння.

Найбільш поширене усне розв'язування зведених квадратних рівнянь, але і воно у багатьох учнів викликає труднощі із-за відсутності чіткого алгоритму дій, особливо у випадках, коли корені мають різні знаки.

Зведене квадратне рівняння має вид:

x² + рх + q = 0

його корені задовольняють теоремі Вієта, які при а = 1 має вид

х₁ · х₂ = q,

х₁ + х₂ = - p

Звідси можна зробити наступний висновок:

Якщо в рівнянні останнім знаком є «мінус», то корені мають різні знаки, причому знак меншого кореня співпадає зі знаком другого коефіцієнта в рівнянні (надалі буде називатися другим знаком рівняння, а числа p і q будуть називатися коефіцієнтами ).

Знаючи, що при додаванні чисел с різними знаками їх модулі віднімаються потім: для знахождення коренів зведеного рівняння необхідно виконати наступні дії:

1. знайти такі множники числа q, щоб їх різниця дорівнювала числу р;

2. поставити перед меншим із знайдених чисел інший знак рівняння, то другий корінь буде мати протилежний знак.

Приклад. Розв’язати рівняння.

х² – 2х – 15 = 0

Розв’язання.

З всіх множників числа 15 ( 1 и 15, 3 и 5) вибираємо ті, різниця яких дорівнює 2. Це числа 3 і 5. Перед меншим числом ставимо другий знак рівняння, тобто «мінус». Таким чином, х₁ = - 3, х₂ = 5 – корені рівняння.

Алгоритм дослідження функції та побудова графіка

Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:

1. знайти область визначення функції та множину її значень;

2. дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;

3. знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;

4. дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;

5. знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;

6. знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;

7. для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.

Приклад . Побудувати графік функції

Розв’язання.

1. Область визначення функції f :

Х= .

1. Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

2. Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

3. Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

;

х=0–критична точка.

Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення

.

1. Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

.

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

1. Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:

, .

Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.

.

Алгоритм розв'язування нерівностей методом інтервалів

1. Звести нерівність до такого вигляду, щоб справа від знаку нерівності був нуль;

2. Прирівняти ліву частину нерівності до нуля та розв'язати утворене рівняння, якщо ліва частина є дробом, то пам'ятати, що дріб дорівнює нулю, якщо чиселъник дорівнює нулю, а знаменник - ні, бо ділити на нуль не можна;

3. Отримані розв 'язки розташувати на числовій осі, розбивши її таким чином, на декілька інтервалів, при цъому, якщо нерівність строга, то розв'язки на осі позначати незафарбованими точками, а якщо нестрога ( або ), moдi точки зафарбовувати (крім тих, у яких знаменник перетворюєтъся на нуль);

4. Визначити знак лівої частини нерівності на кожному з інтервалів наступним чином: вибрати довільне числове значения з кожного проміжку, niдcmaвumu у ліву частину і обчислити. Якщо отриманий результат додатній, то на інтервалі підписати знак «плюс», а якщо від 'ємний - то знак «мінус»;

5. Якщо знак нерівності або , то у відповідь записати ті інтервали, де знак «плюс», якщо знак нерівності або , то у відповідь записати ті інтервали, де знак «мінус», причому зафарбовані точки можна включати, а незафарбовані не включати.