Вписанная и описанная окружность

Черноволова Е.В.

Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им.В.И.Истомина

Вписанная и описанная окружность

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник.

А многоугольник называется описанным около этой окружности.

D

С

О

E

В

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

Какой из двух четырехугольников АВС D или АЕК D является описанным?

К

С

E

В

О

D

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

4

В прямоугольник нельзя вписать окружность.

С

В

О

А

D

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

5

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении вписанной окружности?

• Свойство касательной

С

• Свойство отрезков

касательных

E

F

В

О

D

P

К

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

6

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

d

С

d

E

R

c

a

В

О

c

D

a

F

N

b

b

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

7

Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см.

Найдите периметр этого четырехугольника.

№ 695

С

D

В

О

В C+AD=15

AB+DC=15

А

P ABCD = 30 см

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

8

Найти FD

D

5

?

F

7

О

4

N

6

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

9

Равнобокая трапеция описана около окружности. Основания трапеции равны 2 и 8. найдите радиус вписанной окружности.

В C+AD=1 0

AB+DC=1 0

2

2

С

L

В

5

5

О

4

3

S

N

3

F

А

D

8

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

10

Верно и обратное утверждение.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

С

ВС + А D = АВ + DC

В

О

D

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

11

Можно ли в данный четырехугольник вписать окружность?

С

5

4

В

О

D

8

5 + 7 = 4 + 8

7

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

12

В любой треугольник можно вписать окружность.

Теорема

А

Дано: АВС

Доказать, что в треугольник можно вписать окружность

С

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

13

1) ДП: биссектрисы углов треугольника

Проведем из точки О перпендикуляры к сторонам треугольника

А

2) С OL = CO М, по гипотенузе и ост. углу

О L = M О

3) МОА = КОА, по гипотенузе и ост. углу

МО = КО

M

K

4) L О= M О= K О

точка О равноудалена от сторон треугольника. Значит, окружность с центром в т.О проходит через точки K, L и M . Стороны треугольника АВС касаются этой окружности. Значит, окружность является вписанной

АВС.

О

С

L

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

14

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

А

M

K

О

С

L

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

15

№ 69 7

Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

+

a 2

С

В

a 3

r

r

a 1

r

…

D

О

А

К

F

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

16

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника.

А многоугольник называется вписанным в эту окружность.

С

D

В

О

А

E

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

17

Какой из многоугольников, изображенных на рисунке является вписанным в окружность?

С

С

D

D

P

В

О

В

О

E

L

E

А

А

E

X

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

18

Какие известные свойства нам пригодятся при изучении описанной окружности?

• Теорема о вписанном угле

В

А

О

D

С

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

19

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

В

А

+

О

360 0

D

С

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

20

Найти неизвестные углы четырехугольников.

В

В

?

А

65 0

А

?

59 0

?

100 0

О

О

115 0

121 0

80 0

D

D

?

90 0

С

С

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

21

Верно и обратное утверждение.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно вписать окружность.

В

В

А

67 0

77 0

А

100 0

99 0

О

О

113 0

80 0

123 0

D

79 0

D

С

С

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

22

Теорема

Около любого треугольника можно

описать окружность.

А

Дано: АВС

Доказать, что можно описать окружность

С

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

23

1) ДП: серединные перпендикуляры к сторонам

ВО = СО

2) В OL = CO L , по катетам

А

СО = АО

3) СОМ = А O М, по катетам

4) ВО=СО=АО, т.е. точка О равноудалена от вершин треугольника. Значит, окружность с центром в т.О и радиусом ОА пройдет через все три вершины треугольника, т.е. является описанной окружностью.

M

K

О

С

L

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

24

Теорема

А

Около любого треугольника можно описать

окружность.

M

K

О

С

L

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

25

№ 702 В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС = 134 0

б) АС = 70 0

В

В

35 0

23 0

134 0

О

О

С

55 0

С

67 0

70 0

А

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

26

№ 703 В окружность вписан равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС. Найдите углы треугольника, если ВС = 102 0 .

(180 0 – 51 0 ) : 2

= 64 0 30 /

= 128 0 60 / : 2

= 129 0 : 2

В

102 0

О

51 0

А

С

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

26

д и а м е т р

№ 704 ( a ) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Докажите, что точка О – середина гипотенузы.

В

А

О

С

180 0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

28

№ 704 (б) Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d , а один из острых углов треугольника равен .

В

А

О

d

С

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

29

№ 705 (а) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=8 см, ВС=6 см.

С

8

А

6

О

5

5

10

В

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

30

№ 705(б) Около прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус этой окружности, если АС=18 см,

С

В

30 0

18

О

18

18

36

А

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

31

Боковые стороны треугольника, изображенного на рисунке, равны 3 см. Найти радиус описанной около него окружности.

В

3

А

3

О

Тесты. Геометрия 9 класс. Варианты и ответы централизованного (итогового) тестирования – М.: Центр тестирования МО РФ, 2003.

С

180 0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

31

Радиус окружности, описанной около треугольника, изображенного на чертеже, равен 2 см.

Найти сторону АВ.

В

?

А

45 0

О

2

Тесты. Геометрия 9 класс. Варианты и ответы централизованного (итогового) тестирования – М.: Центр тестирования МО РФ, 2003.

2

С

180 0

Черноволова Е.В. Севастопольский кадетский корпус Следственного комитета РФ им В.И.Истомина

31