Ранг матрицы - порядок ее базисного минора

Ранг матрицы

Определение 1.

Пусть в векторном пространстве выбрана система векторов

(1)

Подсистему (часть системы (1))

(2)

называют максимальной линейно независимой подсистемой системы (1), если система (2) линейно независима и любой вектор из (1) линейно выражается через векторы (2).

Определение 2.

Число векторов входящих в максимальную линейно независимую подсистему (2) системы (1) называют рангом системы (1) и пишут .

Рассмотрим теперь множество матриц столбцов фиксированной высоты : . Очевидно, это множество образует векторное пространство .

Пусть задана матрица размерами

.

Тогда ее столбцы можно рассматривать как векторы пространства столбцов .

(3)

Определение 3.

Ранг системы столбцов (3) матрицы называют рангом матрицы , т. е. .

Теорема (о ранге матрицы)

Ранг матрицы равен наивысшему порядку отличных от нуля ее миноров.

Определение 4.

Элементарными преобразованиями над матрицами называются следующие преобразования:

1. Перестановка местами двух столбцов (строк);

2. Умножение столбца (строки) на число не равное нулю;

3. Прибавление (вычитание) одного столбца (строки) к другому.

Теорема

(об элементарных преобразованиях)

Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.