Тема урока «Вычисление расстояния от точки до плоскости"

Этапы урока и их содержание

Время

Деятельность учителя

Работа класса

1. Организационный этап.

1. Постановка целей.

Сегодня на уроке нам предстоит повторить и обобщить ваши теоретические знания, практические умения и навыки по теме «Это «коварное» расстояние» (или «Вычисление расстояния от точки до плоскости»).

Слово «коварный» в словаре русского языка трактуется как «лукавый, хитрый, замышляющий». И нам с вами предстоит выяснить, какое коварство скрыто при вычислении расстояния от точки до плоскости.

III. Повторение и коррекция опорных теоретических знаний.

Давайте вспомним основные теоретические понятия, которые сегодня нам с вами будут необходимы при решении задач.

Демонстрация презентации.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

IV. Применение темы в стандартных ситуациях.

(Решение задач на готовых чертежах)

1.

Дополнительный вопрос: в чем здесь «коварство» расстояния?

2.

3.

V. Оперирование в нестандартных ситуациях. (Решение более сложных задач)

. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Д ано: шар(О,R), R=5см, ∆АВС, АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см.

Найти: ОМ.

Решение: 1.   Рассмотрим ∆ АВС со сторонами 13, 14, 15 см. Пусть АВ=а, ВС=b, AC=c. Тогда S = - (формула Герона); где p = ; p = = 21(см) S = = 84 (см ) 2.   S АВС = pr , где r – радиус вписанной окружности S = 21r     84 = 21r   r = 4 см. 3.   Пусть ОМ=h, тогда h =R - r   - (т. Пифагора) h =   = 3 (см) ОМ = 3 см.

О твет:  ОМ = 3 см. . В ∆ АВС угол С – прямой, угол А равен α, СВ = a. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем DC CA, DC CB.Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если -яр, проведенный из точки D к прямой АВ, образует с плоскостью АВС угол β.

Дано: ∆АВС, С=90⁰,

A=α , СВ = а,

D (АВС), DС CA,

DС CВ, DM АВ,

(DM, (ABC))=β. Найти: ρ (D,ABC)

Решение: Рассмотрим ∆АВС - прямоугольный. Т. к. А=α В=90⁰-α.

По условию DM АВ СМ АВ (по теореме о трех перпендикулярах) ∆ СМВ – прямоугольный или CM = a*cos α. (1)

По условию DС CA, DС CВ DC (ABC) – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости DC CM. Т. о. ∆ DCM – прямоугольный. Значит DC = =CM*tg β. С учетом (1), получаем DC = a ∙ cos α∙ tg β.

Ответ: DC = a ∙ cos α∙ tg β.

 . Найдите расстояние SH от точки S(1,6,-7) до плоскости (АВК), заданной точками А(-1,2,-3), В(5,8,-3), К(-1,8,-6).

Дано: S(1,6,-7) , А(-1,2,-3),

В(5,8,-3), К(-1,8,-6).

Найти: HS.

Решение: Пусть ;

; . Тогда

, (1)

. (2)

Очевидно, .

Уравнения (1) и (2) принимают вид

6(2 - 6n) + 6(4 - 6k) = 0, 6(4 - 6n - 6k) – 3(- 4 + 3k) = 0.

Решив систему этих уравнений, получаем:

k = ; n = .

Ответ: HS = .

VI. Групповая дифференцированная работа. (резерв)

Сильным учащимся предлагается решить следующую задачу:

Даны две параллельные плоскости и множество треугольников, таких, что в каждом треугольнике две вершины принадлежат первой из двух данных плоскостей, а третья вершина — второй. Какую фигуру образует множество всех точек пересечения медиан треугольников?

Решение:

Пусть даны две параллельные плоскости α и β . Из данного множества треугольников выберем произвольный треугольник АВС, в котором вершины А и В принадлежат плоскости α, а вершина С - плоскости β. Пусть М — точка пересечения медиан этого треугольника, а СС₁ — одна из медиан. Через точку М проведем прямую КЕ, перпендикулярную данным плоскостям, так что К , Е . Можно доказать, что треугольники КМС₁ и ЕМС подобны, причем ЕМ:МК=СМ : МС₁ = 2:1. Таким образом, каждая точка искомого множества отстоит от плоскости α на одно и то же расстояние, равное расстояния между плоскостями. Значит, искомое множество есть плоскость, параллельная плоскостям α и β.

Остальные учащиеся работают по карточкам и выполняют небольшие тестовые задания:

VII. Подведение итогов урока.

Итак, подведем итог нашего урока. Мы повторили необходимую теорию и рассмотрели различные способы решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости. Что же мы сегодня повторили? В чем же состоит коварство этого расстояния?

VIII. Домашнее задание и его инструктаж.

Домашнее задание учащиеся получают на карточках.

1 мин

1 мин

6 мин

9 мин

6 мин

6 мин

7 мин

6 мин

1 мин

2 мин

Организационная

Сообщает тему урока, дату проведения и озвучивает цели урока.

С помощью мультимедийного проектора демонстрирует слайды презентации.

Следит за грамотной формулировкой определений и теорем.

С помощью проектора демонстрирует чертеж и условие задач, одновременно проговаривая устно.

Следит за правильность рассуждений. При необходимости задает наводящие вопросы.

Следит за правильность рассуждений при решении задачи. При необходимости задает наводящие вопросы.

Следит за правильность рассуждений при решении задачи. При необходимости задает наводящие вопросы.

Читает условие задачи.

Следит за верностью решения и правильностью оформления задачи. Задает вопросы о сечении шара и ортогональной проекции.

Оценивает работу учащегося у доски.

Читает условие задачи.

Следит за верностью решения задачи и правильностью выполнения чертежа.

Одновременно задает вопросы учащимся о синусе, косинусе и тангенсе острого угла прямоугольного треугольника, формулах приведения. Оценивает работу учащегося у доски.

Читает условие задачи.

Задает вопрос: каким способом можно решить эту задачу? (Возможный ответ: векторно-координатным способом). Если учащиеся затрудняются решить данную задачу, то задает наводящие вопросы.

Следит за правильностью оформления задачи, грамотностью рассуждений.

Оценивает работу учащегося у доски.

Демонстрирует условие задачи на экране с помощью проектора и предлагает решить данную задачу сильным учащимся самостоятельно.

Заслушивает (устно) рассуждения и ответ.

Оценивает выступающего учащегося.

Слабым учащимся раздает карточки с тестовыми заданиями, которые тоже решаются самостоятельно.

Проходит по классу и визуально проверяет выполнение задания.

Оценивает учащихся, наиболее быстро выполнивших задания.

Подводит итог урока.

Заслушивает высказывания нескольких учащихся, включающих следующие слова: «Сегодня мы повторили…, и решали…»

Поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что задание дифференцированное, и за дополнительную правильно решенную задачу оценка будет выставляться в журнал.

Дежурные сообщают об отсутствующих на уроке.

Выполняют записи даты и темы урока в тетрадях.

Учащиеся отвечают на вопросы представленные в презентации.

Один ученик выходит к доске и решает задачу устно.

Учащиеся с помощью учителя выясняют, что коварство состоит в том, что точка М проектируется в середину отрезка АВ, т. к. АВС- прямоугольный.

Учащиеся решают задачу устно, вспомнив ещё раз теорему о трех перпендикулярах.

Учащиеся решают задачу устно, и выясняют, что основание перпендикуляра SO есть центр описанной и вписанной окружности.

Один учащийся выходит к доске и решает задачу, выполняя грамотные записи (чертеж к задаче, в целях экономии времени, заранее заготовлен на обратной стороне доски). Остальные делают записи решения в своих тетрадях.

Один учащийся выходит к доске и решает задачу, выполняя грамотные записи.

Остальные делают записи решения в своих тетрадях. Отвечают на вопросы учителя.

Для решения данной задачи к доске приглашается более подготовленный учащийся.

Оформляет решение на доске, отвечает на вопросы учителя.

Класс делает соответствующие записи в тетрадях.

Решают задачу в тетрадях самостоятельно.

Один учащийся озвучивает своё решение.

Сравнивают свои ответы с ответами, заранее заготовленными на обратной стороне доски.

Подводят итог урока вместе с учителем.

Получают карточки с текстом домашнего задания.