"Вычисление определенного интеграла"

Лекция №15

Тема: Вычисление определенного интеграла.

План.

1. Определение определенного интеграла.

2. Геометрический смысл определенного интеграла

3. Примеры определенного интеграла.

Определенный интеграл – Это число, значение которого вычисляется по формуле Ньютона - Лейбница:

 - это значение первообразной функции  в точке , и, соответственно,  - это значение первообразной функции  в точке .

Геометрический смысл определенного интеграла:

Определенный интеграл - это число, равное площади криволинейной трапеции - фигуры, ограниченной сверху графиком положительной на отрезке функции , слева прямой , справа прямой , и снизу осью ОХ.

Если функция y = f(x) неположительная на отрезке [a; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена как .

Пример 1. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 2. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 3. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 4 Вычислить интеграл

Решение.

На основании формулы произведения синусов, таблицы основных интегралов и формулы (1) имеем:

Пример 5. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем замену e^x + 4 = t², тогда e^x= t²– 4, e^x dx = 2t dt,  

Если x= ln5, то t = 3; если x= ln12, то t = 4. Тогда

Пример 6. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Пример 7. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Сделаем подстановку t = cosx

Если x = 0, то t = cos 0 = 1, если

Следовательно

Пример 8. Вычислить интеграл

Решение.

На основании таблицы основных интегралов и формулы (2) имеем:

Найдем пределы по t:

Находим

Следовательно,

Пример 9. Вычислить интеграл

Решение.

Хороший метод решения интегралов, это метод занесения под дифференциал, его плюс состоит в том, что не требуется менять пределы интегрирования

Пример 10. Вычислить интеграл

Решение. На основании таблицы основных интегралов и формулы (3) имеем (интегрируем по частям)

Самостоятельная работа по теме «Интеграл»

Условия оценки

1. Выполнение заданий каждого уровня оценивается соответствующей оценкой.

2. Можно выполнять задания из разных уровней. При этом будет учитываться сложность примеров и количество верно решённых заданий.

3. Оценка повышается в случае выполнения заданий более высокого уровня.