Формулы Перехода Курьянова Н.А.

ФОРМУЛЫ ПЕРЕХОДА

Рассмотрим углы в правильной пирамиде, наиболее часто встречаются в задачах:

а) угол наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды, его величину условимся обозначать буквой ;

б) угол наклона боковой грани к плоскости основания ;

в) плоский угол при вершине пирамиды ;

г) двугранный угол при боковом ребре пирамиды .

Все перечисленные выше углы, называемые иногда основными, лежат в разных плоскостях. Зная величину любого из них, можно определить величину всех остальных углов. Эти зависимости мы назовем формулами перехода.

Дана правильная n-угольная пирамида с обозначенными выше углами , , и . Вывести формулы перехода, связывающие эти углы между собой.

Примечание. Поскольку для решения многих задач желательно знать величину угла наклона бокового ребра к плоскости основания пирамиды либо угла наклона боковой грани к плоскости основания, то мы будем выводить формулы перехода только к этим углам.

Решение. Обозначим через x длину отрезка в правильной пирамиде, входящего как в прямоугольный треугольник, содержащий данный угол, так и в треугольник, содержащий искомый угол. Выразим далее через x и функции данного угла одну из двух других сторон в том треугольнике, который содержит искомый угол. Затем найдём функцию искомого угла.

Вывод формул перехода для правильной четырёхугольной пирамиды.

В правильной четырёхугольной пирамиде ZABCD как было обусловлено выше, обозначим:

ZAO = ZBO = ZCO = ZDO = ,

CZD = , ZFO = и BED = .

Опишем построение BED – линейного угла двугранного угла при боковом ребре ZC.

В грани ZCD проводим DE ZC и соединяем точку Е с вершиной основания В. Треугольники ВЕС и DEC равны. Из этого следует, что ВЕ = ED и BEC = DEC = /2. Таким образом, BED – линейный угол двугранного угла при ребре ZC. Отрезок ОЕ – медиана равнобедренного треугольника BED, следовательно, и биссектриса и высота этого треугольника. Поэтому OED = /2.

Отрезок ОР принадлежит линии пересечения плоскостей линейных углов BED и ZFO. Так как плоскость линейного угла перпендикулярна граням двугранного угла, то каждая из плоскостей – BED и ZOF - перпендикулярна плоскости ZCD. Можно показать, что линия пересечения двух плоскостей, каждая из которых перпендикулярна третьей плоскости, перпендикулярна к этой третьей плоскости. Поэтому OP ZCD. Из этого, в частности, следует, что треугольники OPF и OPD прямоугольные и DOP = /2.

Перейдём теперь к выводу формул перехода:

а) от к .

Положим ZO = x.

Из ZOF

OF = x ctg .

Из OFD

OD = x ctg .

Из ZOD

tg = = tg .

tg = tg ; (I)

б) от к .

Положим ZD = x.

Из ZDF

DF = x sin .

Из OFD

OD = x sin .

Из ZOD

cos = = sin ;

cos = sin ; (II)

в) от к .

Положим EO = x.

Из EOD

OD – x tg , OC = OD = x tg .

Из EOC

sin = = ctg ,

sin = ctg ; (III)

г) от к .

Формулу перехода для этой задачи получаем из (I):

tg = tg ; (IV)

д) от к .

Эта задача решается аналогично задаче б). Запишем получающуюся при этом формулу перехода:

cos = tg ; (V)

е) от к .

Выше было, в частности, показано, что треугольники OPD и OPF прямоугольные и что DOP = . Поэтому переходим непосредственно к выводу формулы.

Положим OP = x.

Из OPD OD = . Из OFD OF = .

Из OPF

sin = = cos ,

sin = cos . (VI)

В ывод формул перехода для правильной треугольной пирамиды.

В правильной треугольной пирамиде ZFO – линейный угол при основании пирамиды. Описание построения AEC – линейного угла двугранного угла при боковом ребре ZB – опускаем, поскольку оно аналогично описанию соответствующего угла в правильной четырёхугольной пирамиде, приведённому выше. Из рисунка видно, что АР – линия пересечения плоскостей AZF и AEC. Аналогично тому, как было сделано для правильной четырёхугольной пирамиды, доказывается, что АР пл.ZBC. Следовательно, треугольники АРС и APF – прямоугольные и САР = .

Для обозначения величин основных углов в правильной треугольной пирамиде употребим те же буквы, которыми обозначались величины этих углов в правильной четырёхугольной пирамиде: , , и .

Перейдём к выводу формулы перехода:

а) от к .

Положим ZO = x.

Из ZOF

OF = x ctg .

Из OFB

OB = 2x ctg .

Из ZOB

tg = = tg ,

tg = tg . (VII)

Решение задачи аналогично решению задачи для правильной четырёхугольной пирамиды.

б) cos = sin ; (VIII)

в) sin = ctg ; (IX)

г) tg = 2tg ; (X)

д) cos = tg ; (XI)

е) sin = cos . (XII)

Формулы перехода для правильной n-угольной пирамиды.

На рисунке изображена часть правильной n-угольной пирамиды ZFDC… . Величины основных углов обозначены, как и ранее, буквами , , и . ZFO – линейный угол двугранного угла при ребре основания АВ: ZFO = . Построение АЕС – линейного угла двугранного угла при боковом ребре ZB, как и в случае правильной треугольной пирамиды, опускаем.

ВО – биссектриса АВС и поэтому в равнобедренном треугольнике АВС отрезок BN – биссектриса, медиана и высота. Следовательно, N – середина АС. Очевидно, что АЕ = ЕС и поэтому треугольник АЕС равнобедренный и EN – его медиана, биссектриса и высота. Поэтому AEN = .

Отрезок МР принадлежит линии пересечения плоскостей линейных углов ZFO b AEC, и поэтому, как уже упоминалось выше при рассмотрении правильной четырёхугольной пирамиды, МР пл.ZAB. Из этого непосредственно следует, что треугольники АМР и МPF прямоугольные и АМР = АЕN = .

Поскольку ВN – высота треугольника АВС, то ВАN = BOF = как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами.

Из шести формул перехода для правильной n-угольной пирамиды первые пять мы приведём без доказательств, поскольку их вывод аналогичен выводу соответствующих формул перехода правильных четырёхугольной и треугольной пирамид, и докажем лишь одну: от к .

а) tg = tg cos ; (XIII)

б) cos = ; (XIV)

в) sin = ctg ctg ; (XV)

г) tg = ; (XVI)

д) cos = tg ctg ; (XVII)

е) от к .

Положим MP = x.

Из АМР

АМ = .

Из AMF

MF = sin .

Из MPF

sin = = ,

sin = . (XVIII)

Формулы перехода включены в таблицу. Они эффективно используются при решении многих геометрических задач, но запоминать их, разумеется, не нужно. Достаточно знать идею их вывода.

7