Иррациональные уравнения. 10 класс

Класс: 10. Алгебра и начала математического анализа

Тема урока. Иррациональные уравнения

Цели урока.

1. Образовательная: ввести понятие иррациональных уравнений; отработать алгоритм решения простейших иррациональных уравнений, рассмотреть некоторые способы решения более сложных иррациональных уравнений.

2. Развивающая: развивать мышление учащихся, умение делать выводы, применять теоретические знания для решения задач; развивать самостоятельность, познавательный интерес.

3. Воспитательная: способствовать воспитанию любознательности; создание положительного эмоционального фона на занятии.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления знаний и способов действий.

Ход урока

Слова учителя. Великий китайский мудрец Конфуций сказал: «Три вещи никогда не возвращаются обратно: время, слово и возможность. Поэтому не теряйте время! Выбирайте слова! И не упускайте возможность».

Воспользуемся его советом и продолжим постигать науку математику.

Актуализация опорных знаний.

1. На доске записаны уравнения.

х² - 3x =4

х²+11+ =42

=х-1

+ =6

- =

Что объединяет уравнения, записанные на доске?

Ученик. Все они содержат иррациональность.

Именно такими уравнениями, в которых под знаком корня, или, иначе, радикала, содержится переменная мы с вами и будем сегодня заниматься. Такие уравнения называются иррациональными.

Слова учителя. Итак, запишем тему урока. Иррациональные уравнения.

А теперь рассмотрим записанные на доске уравнения. Чем они отличаются?

Уравнения 2 и 3 содержат один радикал, 3 и 4 – два.

Это означает, что и методы решения уравнений будут разные.

1. Первый ученик решает на доске уравнение.

х²+11+ =42

Переменная здесь содержится под знаком корня. Как можно от него избавится?

Сделать замену

=t, t≥0, тогда х²+11=t².

Уравнение примет вид

t² + t ­ 42=0

по теореме обратной теореме Виета

Последнее не удовлетворяет ограничениям на t.

Вернемся к исходной переменной

=6.

Второй способ решения. Возведем обе части в квадрат.

х²+11=36,

х²=25

х=±5.

Ответ: ±5.

1. Второй ученик решает уравнение.

=х-1

Слова учителя. Это уравнение иррациональное, так как содержит переменную под знаком корня.

И что бы избавиться от радикала, возведем обе части уравнения в квадрат.

1+4х-х²=(х-1)².

1+4х-х²=х²-2х+1,

2х² -6х=0,

х(х-3)=0

Сделаем проверку.

1) х=0 1=-1 – не верно

2) х=3 2=2 – верно

Лишний корень появился, так как мы произвели неравносильную операцию – возведение в квадрат выражения, знака которого мы не знали.

Чтобы перейти к равносильному уравнению мы должны знать знак левой части.

В четную степень можно возводить только неотрицательные величины. Поэтому левая часть должна быть неотрицательной

х=3.

1. Третий ученик решает уравнение с учетом ОДЗ:

+ =6

х≥­3.

15+х+2 +3+х=36,

2х+18+2 =36,

=9-х,

х=1 ОДЗ.

Ответ: 1

1. Четвертый ученик решает уравнение:

- =

С чего начнем?

Ученик: с ОДЗ.

-13 -4 1/2

х .

Возвести в квадрат сразу обе части уравнения нельзя, так как не знаем знака левой части. Для этого перенесем в правую часть.

Уравнение примет вид.

= +

После чего возводим обе части в квадрат.

Подводим итог урока.

Опорный конспект по теме

Иррациональные уравнения

Иррациональное уравнение – уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

Основными методами решения иррациональных уравнений

являются следующие:

1. - метод возведения обеих частей уравнений в одну и ту же степень.

При возведении обеих частей иррациональных уравнений в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании этого метода необходимо провести проверку

1. - метод введения новых переменных.

 Алгоритм решения уравнений

1. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

2. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

3. Иногда удобнее решать иррациональные уравнения, определив область допустимых значений неизвестного и используя равносильные переходы.

Домашнее задание

Тест

Решите уравнения и запишите буквы, под которыми находятся интервалы, содержащие корни уравнений

1.

В) [6;10]. Б) [20; 27]. Н) [11;18]. М) [30;+∞).

2.

е) [20;25]; и) [1;6]; у) [10;16]; а) [17;18]

3.

ч) [-5; -3]; ф) (3; 4); р) [-2; 0]; с) (2; 3)

4.

а) [2; 4]; е) (-5; 2) и) (4; 16) ю)(- ∞; - 4)

5.

к) (3; 5); м) [- 5; - 2]; п) (-2; 2]; л) (10; 70)

6. 2

а) [0; 2]; 0) (3; 81); у) (-5; -2); е) (-2; 0).

Составьте слово из полученных букв. Это слово «Начала».