Использование моделирования при решении задач в начальной школе

Математике надо учиться в школе еще и с той целью,

чтобы знания, которые тут получают, были бы
достаточными для обычных нужд в жизни.
М. Лобачевский

Использование моделирования при решении задач.

Авторы: Яцевич Мария Васильевна,Бончукова Любовь Викторовна

учителя МБОУ «Средняя общеобразовательная школа №57» г. Курска

В структуре урока, основанной на дидактических принципах развивающей системы Д.Б.Эльконина – В.В.Давыдова говорится, что:

Моделирование- это конструирование собственной модели. Обсуждение, выбор модели для удобства использования.

Выделяют следующие этапы математического моделирования: (на слайде)

• Первый этап – вычленение существенных признаков объекта.

• Второй этап – построение модели.

• Третий этап – исследование модели.

• Четвертый этап –перенос полученных на моделях сведений на изучаемый объект.

В работе использую схемы-опоры. Схема - опора, опора мысли ученика, опора его практической деятельности, связующее звено между учителем и учеником. Опорные схемы – это схемы, оформленные в виде таблиц, карточек, чертежей, рисунков, которые рождаются в момент истины.

В учебниках Петерсон Л. Г. «Математика 1класс» работа по моделированию начинается уже на первых этапах работы, предлагаются задания на абстрагирование и классификацию предметов.

Например, Петерсон математика1класс.Урок 6. Задание №1 с 10.

Все животные (целое) разбиты на две группы (две части). Каждая группа обозначена замкнутой линией, являющейся символом объединения предметов в одну совокупность. Для оформления используем круги Эйлера. Учащиеся должны определить общий признак животных в каждой группе (домашние и дикие). Вот первый этап работы по моделированию задач и схема, которая появилась на доске в конце общей деятельности.

животные

дикие

домашние

Понятие «животные» - это целое, «дикие» и «домашние» – это части.

В задании №2, стр 10 работа продолжается: сначала дети находят признаки, по которым можно сгруппировать предметы (игрушки, цветы, дети), а затем самостоятельно обозначают эти части замкнутыми линиями. Дети учатся распределять предметы в множества, а замкнутые линии - чем не круги Эйлера. Возникает вопрос почему круги? Да потому что дети в начале первого класса не дружат ещё с линейкой (а слабовидящие - и во 2-м классе работают по линейке с трудом)

От составления групп реальных предметов переходим к предметным действиям с фигурами «Геометрического лото». Детям предлагается разбить фигуры по форме, размеру и цвету. Чтобы показать получившиеся группы, дети раздвигают фигуры на парте в разные стороны. Полученные решения затем можно использовать в качестве опорного сигнала, где группы фигур обведены замкнутыми линиями. Например:

Следующий этап работы – это рассмотрение принципа сложения и вычитания. Сложение определяется как соединение совокупности предметов в одно целое, объединение групп предметов. В системе Л.Г. Петерсон детей подводят к этому общему определению постепенно (на конкретных частных примерах).

«Представь себе, что в одном маленьком мешке было два яблока, а в другом маленьком мешке – одна груша. Все ссыпали в один большой мешок. Догадайся, что будет в большом мешке» (как правило, ребенок легко отвечает на этот вопрос). «Давай мы это запишем на бумаге».

2 + 1 = 3

Знак + (плюс) обозначает действие сложение. То, что находится в первом и во втором маленьких мешках – это части. То, что находится в большом мешке – это целое. Знак + (плюс) показывает, что части соединяются в одно целое. Знак = (равно), говорит о том, что две части, сложенные вместе равны целому. Отметим, что традиционно знак = (равно), трактовался как то, что действие (в данном случае - сложение), уже выполнено или будет выполнено. Работа над схемой

2

1

- 1-ый мешок

- 2-ой мешок

Вкладываем два маленьких мешочка в один большой, объединяем два множества, тоесть складываем 2+1 = 3

3 3

2

3

2

3

?

1

1

Рис1 рис2

Такие схемы часто включаются в работу при изучении состава чисел.(рис 1)

А так же заучивается правило: Чтобы найти целое, нужно части сложить.

Игра: А теперь (рис 2) зная, что в большом мешке 3 фрукта, достанем из него мешочек с 2-мя яблоками (убрали «минус»). Что осталось? – 1 груша, то есть: Если из целого вычесть одну часть, останется – другая часть : 3 -1 =2 или 3-2 =1

Изучив принципы сложения и вычитания, полученные схемы вводятся в постоянную работу при работе с иллюстрациями. Следующая работа для детей имеет два исследовательских направления: и изучение состава чисел и подготовка к решению задач. Для учеников переход к задачам осуществляется достаточно легко, так как введённые схемы не меняются в будущем.

Задание Составьте рассказы по картинкам (это условие)

Рис 2 рис1

Дети придумывают по картинке разные истории, а учитель следит, чтобы прозвучали числовые данные и оформляет условие схемой

Рис 1.

3к

- это одно множество (часть), кораблики были в ручье

1 к

-это второе множество (часть), кораблик приплыл.

А чтобы узнать «Сколько всего корабликов в ручейке?» нужно все кораблики объединить (дети соединяют руки в воздухе в кольцо.) и отмечают в схеме

?

1к

3к

Решение: 3 +1=4(к)

Рис2. Будет проводиться подобная исследовательская работа .Дети видят : первое множество – 4 целых яблока, второе множество – 2 съеденных яблока. А почему в задании просят из шести вычесть два? Ребята в беседе выясняют, что вначале было 6 целых яблок. Значит, 6 – это целое, а 2- это часть съеденных яблок. Значит, надо узнать, сколько яблок не съели. Ученики выбирают схему к данной иллюстрации и выражению 6-4. это (рис.1)

6

?

4

2

?

Рис1

?

2

4

Рис3 решение: 6-2=4(ябл) – составляется правило: чтобы найти часть, нужно из целого вычесть известную часть

Во время изучения темы «Решение задач» идёт серьезная работа над схемами, даются задания: подобрать нужную схему, выбрать из 3-4-х правильную схему к данному рисунку, придумать рассказ к схеме, сравнить схемы и т.д .

Задачи на увеличение (уменьшение) множества на … единиц.

Задача1. У Пети было 4 машинки, а у Сергея – на 3 машинки больше. Сколько машинок у Сергея?

- В задаче два множества: у Пети – 4 машинки, у Сергея – не знаем (?), на 3 б. (больше)

П С

?м, на 3_б

4

-

- В задаче два множества

- первое – множество машинок у Пети – известно – 4

- второе – множество у Сергея – не известно. Мы знаем: на 3 больше- это столько же, сколько у Пети(4) да ещё 3, то есть 4+3=7(м.) – это решение задачи.

Задача 2. У Пети было 4 машинки, а у Сергея – на 3 машинки больше. Сколько всего машинок у ребят вместе?

В задаче два множества: у Пети– 4 машинки, у Сергея – не знаем (?), на 3 б. (больше). Сколько всего машинок – значит два маленьких множества надо вложить в одно большое множество, то есть объединить, найти целое . В итоге появляется схема:

П С

4м

?м., на 3б ббольше

?

В задаче 2 вопроса, значит в решении задачи 2 действия.

- В задаче два множества

- первое – множество машинок у Пети – известно – 4

- второе – множество у Сергея – не известно. Мы знаем: на 3 больше- это столько же, сколько у Пети(4) да ещё 3, то есть

1) 4+3=7(м.) – это решение первого действия задачи.

Работаем со схеиой. Полученное данное вставляем, а лишние данные зачеркиваем.

П С

4м

?

?7м., на 3б ббольше

?м

Теперь, у Пети 4 машинки, у Сергея 7 машинок. Чтобы узнать Сколько всего… , надо объединить (сложить множества)

2) 4+7 = 11 (м.)

Задача решена, пишу ответ.

При переходе к решению задач на умножение (деление), когда речь пойдёт об одинаковых множествах (слагаемых), у нас появляется таблица со схемами и правилами для задач с разными множествами (слагаемыми):

С разными слагаемыми (множествами)

1.Задачи на нахождение суммы. - Чтобы найти целое, нужно части сложить

?

_______________________________________

? 2вопроса, значит 2 действия

?, на _б ббольше

На … больше- это столько же (известное множество) да ещё …больше (+)

_____________________________________________

? На … меньше – это столько

?, на _м меньше

же (известное множество) без…меньше.(-)

2. Задачи на нахождение остатка.- чтобы найти часть, нужно из целого вычесть часть

?

3. Задачи на разностное сравнение – надо из большего множества вычесть меньшее .

на? б(м)

Акцентирую внимание - круги Эйлера мы используем для решения задач с разными слагаемыми.

А для решения задач с одинаковыми слагаемыми мы используем модель записи в виде таблицы :

Задачи на умножение и деление

умножить разделить

Пример.

А теперь переходим непосредственно к работе над разбором и решением задач.

В принципе, благодаря объединению этих схем, мы с ребятами можем изобразить любую задачу и успешно её решить.

В таблице – одна строка- описание одного множества.

Задача 1. Папа несёт в 2 коробках по 5 кг картофеля. Сколько кг картофеля несёт папа?

Анализ задачи детьми и составление схемы:

- В этой задаче есть одинаковые слагаемые(множества)? Да есть, «по5кг- значит 5кг в одной коробке,а коробок 2, т е 5кг и 5кг, поэтому для схемы выбираю таблицу для одинаковых множеств.

умножить разделить

5 · 2 = 10 (кг)- картофеля

Ответ:…

Задача 2. Усложняем предыдущую задачу: Папа несёт в 2 коробках по 5 кг картофеля и 3 кг помидоров. Сколько кг овощей принёс папа??

Анализ задачи детьми и составление схемы:

- В этой задаче есть одинаковые слагаемые? Да есть, «по5кг в одной коробке, поэтому для схемы выбираю таблицу для одинаковых множеств.

умножить разделить

А помидоры – это в одном множестве или всего? Всего, ведь больше помидоров нет.

- В вопросе спрашивается: «сколько всего овощей»?...

- Что значит овощи? Это картофель и помидоры.

- Значит. Надо объединить картофель и помидоры, чтобы получить овощи.

- В разделе «всего» два разные множества, кругами Эйлера показываем , что две части надо сложить.

В полученной схеме два вопросительных знака. Значит это составная задача и в ней два действия

1. Сколько кг картофеля принёс папа? Слагаемое 5 повторяется 2 раза,значит,

5·2 = 10(кг)

Работа со схемой: первый знак вопроса зачеркиваем и вписываем 10кг. Теперь у нас все данные в разделе всего – разные множества- 10кг у папы и 2кг у Пети- это части, а объединив (круги Эйлера), т.е. сложив эти части, найдём – целое (всего)

1. 10 + 3 = 13 кг

Ответ: …

Задача 3.

: Папа нёс в 2 коробках по 5 кг картофеля, Петя нес огурцы– в 2 мешочках по 3кг. Сколько кг овощей несли папа и сын ?

- В этой задаче есть одинаковые слагаемые? Да есть, «по5кг в одной коробке, поэтому для схемы выбираю таблицу для одинаковых множеств.

- В одной коробке 5кг картофеля – у папы. Завершаем строку вопросом: Сколько кг картофеля нес папа?,

- Второе множество (вторая строка) – по 3 кг в одном пакекете огурцов у Пети. Завершаем строку вопросом: Сколько кг огурцов нёс Петя?

- В разделе «всего» кругами Эйлера объединяем два множества (то, что несли папа и Петя), две части надо сложить.

Схема указывает, что первое и второе действия – на умножение

1. 5·2 =10(кг) – нёс папа - вставляем данное в схему

2. 3· 2 = 6(кг) –нёс Петя – вставляем данное в схету

-Два множества складываем и получаем целое.

3) 10 + 6 = 16 (кг) - овощей несли папа и сын.

Задача решена. Пишем ответ.

Задача №4. Папа несёт 2 коробки по 8 кг, а Петя 2 пакета по 3 кг. На сколько папин груз тяжелее?

- В этой задаче есть одинаковые слагаемые? Да есть, «по8кг в одной коробке, поэтому для схемы выбираю таблицу для одинаковых множеств.

Первая строка по8 кг в одной коробке, количество множеств (коробок) – 2. Всего кг - ?кг

Вторая строка- по3кг в 1 пакете, а множеств (пакетов) – 2. Всего кг - ?кг

Вопрос задачи указывает, что данные «Всего» надо сравнить и узнать «на сколько одно множество больше, чем другое».

Получили схему, в которой 3 действия, так как 3 вопроса.

По схеме дети сразу определяют решение первых двух действий и записывают полученные данные в таблицу.

1. 8·2 =16(кг) – нёс папа - вставляем данное в схему

2. 3· 2 = 6(кг) –нёс Петя – вставляем данное в схету

А для выполнения третьего действия вспоминаем правило: чтобы узнать на сколько одно множество больше, чем другое, надо из большего вычесть меньшее.

1. 16-6=10(кг)

Задача решена, пишем ответ:

Ответ: на 10кг папин груз тяжелее.

Задача №4. Васе надо купить карандаш за 8 рублей. Он дал кассиру две 5-рублёвые монеты. Сколько сдачи он получил?

Самое сложное в данной задаче – это определить целое. Дети предстваляют картинку без чисел. «У Васи были деньги на которые он купил карандаш и получил сдачи. Значит, карандаш и сдача – это части.

Но в задаче есть одинаковые множества «2 пятирублёвые монеты» множество монеты по 5 рублей. – вставляем в таблицу. Значит «отдал» - это целое

В раздел «Всего» с помощью кругов Эйлера вставляем части.

1. 5· 2=10(руб) –было у Васи и он их отдал – это целое

Из целого 10 забрали 8 руб на карандаш.

1. 10-8=2(руб) – сдача.

Задача решена, пишем ответ.

Задача 5

В ателье из 18 метров ситца сшили 6 одинаковых халатов. Сколько метров ткани понадобится на брюки, которых надо сшить на 4 больше, а ткани на одни брюки пойдёт на 1 метр меньше?

Анализ условия задачи и составления схемы.

-В этой задаче есть одинаковые множества? Да, есть (6 одинаковых халатов) Значит выбираем для схемы таблицу.

Ткань идёт на халаты. То есть множество - халат.

1строка Ничего не говорится сколько метров ткани пошло на один халат, 18 метров- всего - разделии на 6 халатов, значит

Разделить

2строка. Ткань пойдет на брюки. Множество – брюки.

- Брюк надо сшить на 4 больше, чем халатов. С помощью кругов Эйлера изображаем данные в столбце «к-во мн-в».

- -«.. на одни брюки идёт на 1 м меньше» Оформляем столбец «В одном мн-ве» кругами Эйлера.

В итоге получаем схему

Работа со схемой. 4 вопроса- 4 действия

Из данной схемы видно, что сразу ответить на главный вопрос задачи невозможно, так как сначала нужно найди количество к-во брюк и сколько ткани идёт на одни брюки.

1) 6,+4 = 10 (бр.) , т.к. брюк на 4 больше, чем халатов.

В схему вносим полученное данное, а лишнее зачеркнём.

А вот сколько метров ткани пойдет на брюки, узнаем только после того, как узнаем сколько метров ткани пойдёт на 1халат.

1)18:6 = 3(м) – пошло на 1 халат

Данное вносим в таблицу.

Теперь ясно, что данный ответ надо уменьшить на 1.

3)3-1 = 2(м) – на одни брюки. Данное – в таблицу.

По таблице видно, что слагаемое 2м повторяется 10 раз , то есть

1. 2· 10 – 20 (м)

2. Задача решена. Пишем ответ.

.Данные схемы являются важным методическим средством, которое помогает ученику неформально и осознанно разобраться в ее условии и понять способ решения этой задачи. Схемы помогают каждому ребенку «увидеть» задачу. С помощью схемы легко зафиксировать не только данные величины, но и их взаимосвязи. Это формирует у ребенка умение самостоятельно и грамотно анализировать текст задачи и определять правильный способ ее решения.

Более того, ученики не просто решают простую или составную задачу, а решают их в сравнении, что позволяет определить общее в этих задачах и различное, еще раз пронаблюдать разницу между ними! Схемы в этом случае помогают ребенку наглядно эту разницу зафиксировать, осознать, повторить. Поэтому в задании обязательно нужно выполнить схемы и сравнить задачи с одинаковыми данными, но разными условиями, и сделать вывод о том, что первая задача решается в одно действие (простая), а вторая в 2,3,… действия (составная).

Уверена, что Вы с ребенком справитесь с возникшим затруднением. Необходимо отметить, что одним из основных принципов обучения в школе, принцип психологической комфортности, который предполагает снятие стрессообразующих факторов учебного процесса, создание доброжелательной атмосферы, основанной на реализации идей педагогики сотрудничества. Ведь мы с вами понимаем, что научить ребенка решать задачи по шаблону – это не главное. Важно научить его думать, рассуждать самостоятельно, обосновывать свое мнение и спокойно относиться к возможным затруднениям. Учитель и родитель являются помощником ученика. А возникающее затруднение - мостик к успеху.