Исследовательская работа «Решение квадратных уравнений»

 

 

Методика исследований.

Перед студентами поставлены конкретные цели и задачи:

-повторить определение квадратных уравнений;

- вспомнить виды квадратных уравнений;

-вывести формулы нахождения корней квадратных уравнений;

-рассмотреть способы решения квадратных уравнений (привести примеры), изученные в школе;

-используя интернет - ресурсы, найти новые способы решения квадратных уравнений, выбрать наиболее рациональные;

-решить ряд квадратных уравнений разными способами, научиться определять какой способ удобнее, замечать «необычное красивое» решение;

-сделать выводы.

1 этап исследований.

Студенты разбиваются на подгруппы, каждая подгруппа получает задание для внеаудиторной самостоятельной работы,  даётся время на подготовку.

2 этап исследований.

Студенты приглашаются на дополнительное занятие, на котором рассматриваются работы каждой подгруппы учащихся.

3 этап исследований.

Студентам предлагается решить ряд квадратных уравнений разными способами, научиться определять какой способ удобнее, замечать «необычное красивое» решение, сделать выводы, выделить этапы решения квадратных уравнений.

4 этап исследований.

Выполнялся преподавателем: подвести итоги и результаты исследований.

Оформить все этапы и результаты исследований в виде презентации.

Определение квадратного уравнения.

• Квадратным уравнением называется уравнение  ax² + bx + c = 0 , где  a, b, c – заданные числа,  x – неизвестное, при чем а ≠ 0

Квадратные уравнения.

Коэффициенты уравнения:

а – первый (или старший ) коэффициент,

в – второй коэффициент,

с – третий коэффициент ( или свободный член уравнения ).

Квадратные уравнения бывают полные и неполные.

Количество корней полного квадратного уравнения зависит от значения дискриминанта.

Дискриминант

   Д>0                                               Д=0                                      Д<0

2корня                                        1корень                             Нет корней

НЕПОЛНЫЕ  квадратные уравнения.

Уравнение вида aх²  + вх + с =0 называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен 0.

Виды неполных квадратных уравнений:

1. aх² = 0

2) ах² + bx = 0, b ≠ 0

3) ах² + c = 0, c ≠ 0

1. aх² = 0

решается путем деления обеих частей уравнения на коэффициент при неизвестном с последующим извлечением квадратного корня  из нуля.

2) ах² + bx = 0, b ≠ 0

решается путем разложения левой части уравнения на множители и приравнивания каждого множителя к нулю.

3) ах² + c = 0, c ≠ 0

решается путем сведения уравнения к виду х²=d, с последующим извлечением квадратного корня из обеих частей уравнения.

Алгоритм решения полного квадратного уравнения:

ax² + bx + c = 0

1. Выпишите каждое а, b, с
2. Дискриминант  Д = b² – 4ac

D?0                         D=0                              D?0

                           х = - в/2а                уравнение действительных корней не имеет         

Способы решения квадратных уравнений:

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на          множители.

Решим уравнение

х² + 10х - 24 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х² + 10х - 24 = х² + 12х - 2х - 24 = х(х + 12) - 2(х + 12) =

(х + 12)(х - 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 12)(х - 2) = 0  

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 2, а также при х = - 12. Это означает, что число 2 и - 12 являются корнями уравнения х² + 10х - 24 = 0.

1. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

      х² + 6х = х² + 2• х • 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

Преобразуем теперь левую часть уравнения прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

• х² + 2• х • 3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 =

(х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так:

(х + 3)² - 16 =0, (х + 3)² = 16.

Следовательно, х + 3 = 4 ,, или х + 3 = -4,

                       х₁ = 1                   х₂ = -7.

1. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

а) Решим уравнение: 4х² + 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b² - 4ac = 7² - 4 • 4 • 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, два разных корня;

Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т.е. при

b² - 4ac >0 , уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) Решим уравнение: 4х² - 4х + 1 = 0,

а = 4, b = - 4, с = 1,

 D = b² - 4ac = (-4)² - 4 • 4 • 1= 16 - 16 = 0,

 D = 0, один корень; Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. b² - 4ac = 0, то уравнение

ах² + bх + с = 0 имеет единственный корень

 в) Решим уравнение: 2х² + 3х + 4 = 0

а = 2, b = 3, с = 4,

D = b² - 4ac = 3² - 4 • 2 • 4 = 9 - 32 = - 13 ,

D < 0.

Данное уравнение корней не имеет.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. b² - 4ac < 0, уравнение ах² + bх + с = 0 не имеет корней.

4. СПОСОБ: Решение уравнений с использованием теоремы Виета.   

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид

  х² + px + q = 0. (1)

Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а =1 имеет вид

x₁ x₂ = q,

 x₁ + x₂ = - p

Отсюда можно сделать следующие выводы (по коэффициентам p и q можно предсказать знаки корней).

а) Если сводный член q приведенного уравнения (1) положителен (q > 0), то уравнение имеет два одинаковых по знаку корня и это зависит от второго коэффициента p. Если р > 0, то оба корня отрицательны, если р < 0, то оба корня положительны.

Например,

x² – 3x + 2 = 0; x₁ = 2 и x₂ = 1, так как q = 2 > 0 и p = - 3 < 0;

x² + 8x + 7 = 0; x₁ = - 7 и x₂ = - 1, так как q = 7 > 0 и p= 8 > 0.

б) Если свободный член q приведенного уравнения (1) отрицателен (q < 0),

то уравнение имеет два различных по знаку

корня, причем больший по модулю корень будет положителен, если p < 0 , или отрицателен, если p > 0 .

Например,

x² + 4x – 5 = 0; x₁ = - 5 и x₂ = 1, так как q= - 5 < 0 и p = 4 > 0;

x² – 8x – 9 = 0; x₁ = 9 и x₂ = - 1, так как q = - 9 < 0 и p = - 8 < 0.

5. СПОСОБ: Решение уравнений способом «переброски».

 Рассмотрим квадратное уравнение

 ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски».

Пример:

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² – 11у + 30 = 0, где х₁ = у₁/а и х₁ = у₂/а.

Согласно теореме Виета

у₁ = 5       х₁ = 5/2       x₁ = 2,5

у₂ = 6    x₂ = 6/2         x₂ = 3.

Ответ: 2,5; 3.

6. СПОСОБ: Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

А. Пусть дано квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х₁ = 1,

х₂ = с/а.

Пример.

Решим уравнение 345х² – 137х – 208 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0

(345 – 137 – 208 = 0), то

х₁ = 1, х₂ = c/a = -208/345.

Ответ: 1; -208/345.

Б. Если второй коэффициент b = 2k – четное число, то формулу корней

Пример.

Решим уравнение 3х² — 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = — 14, с = 16, k = — 7;

D = k² – ac = (- 7)² – 3 • 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, два различных корня;

Ответ: 2; 8/3

7. СПОСОБ: Графическое решение квадратного уравнения.

Если в уравнении х² + px + q = 0

перенести второй и третий члены в правую часть, то получим

х² = - px - q.

Построим графики зависимости

у = х² и у = - px - q.

График первой зависимости – парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости - прямая (рис.1).

Возможны следующие случаи:

1) прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения

 являются корнями квадратного уравнения;

2) прямая и парабола могут касаться ( только одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

3) прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

8. СПОСОБ: Геометрический способ решения квадратных  уравнений.

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически.

Например, как древние греки решали уравнение у² + 6у - 16 = 0. 

Решение:

у² + 6у = 16,

или у²+ 6у+ 9=16+9.

Выражения у² + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение  у² + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение.

Отсюда, (у + 3) ² = 25 . Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = - 8             

Результаты исследований:

1. Этапы решения квадратного уравнения.

Выяснить, является ли уравнение квадратным

неполное квадратное уравнение

Выбрать способ решения

привести к виду у = х2

Вынести за скобки общий множитель

по теореме Виета

выделить полный квадрат

разложить на множители

геометрический способ

графический способ

свойства коэффициентов

способ «переброски»

 

Выводы

Квадратное уравнение – это фундамент на котором покоится величественное здание алгебры.

         С помощью формул корней квадратных уравнений можно решить любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

Выбор способа решения «Все способы хороши, выбирай на вкус»

При решении квадратных уравнений обучающиеся чаще всего использовали следующие способы решения:

- по формуле - 1 место

- по теореме Виета - 2 место

- графический - 3 место

- способ переброски

- свойства коэффициентов 

Заключение.

В исследовательской работе принимали участие 28 студентов 1 курса 2011/12 учебного года и 25 студентов 1 курса 2012/13 учебного года специальности «Экономика и бухгалтерский учёт».

Перед ними была поставлена проблема исследований:

Насколько разнообразны способы решения квадратных уравнений.

Затем  перед ними были поставлены определённые цели и задачи:

-повторить определение квадратных уравнений;

- вспомнить виды квадратных уравнений;

-вывести формулы нахождения корней квадратных уравнений;

-рассмотреть способы решения квадратных уравнений (привести примеры), изученные в школе;

-используя интернет - ресурсы, найти новые способы решения квадратных уравнений, выбрать наиболее рациональные;

-решить ряд квадратных уравнений разными способами, научиться определять какой способ удобнее, замечать «необычное красивое» решение;

-сделать выводы.

Самым ответственным был первый этап исследований – самостоятельное добывание информации.

 Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

Однако, значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то, что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и соотношений.

Хочется отметить и то, что излагаемая тема в этой работе еще мало изучена вообще, просто ею не занимаются, поэтому она таит в себе много скрытого и неизвестного, что дает прекрасную возможность для дальнейшей работы над ней.

Здесь я остановилась на 8 способах  решения квадратных уравнений, а что, если существуют и другие способы их решения?! Опять находить красивые закономерности, какие-то факты, уточнения, делать обобщения, открывать все новое и новое. Но это вопросы уже следующих работ.

 Подводя итоги, можно сделать вывод: квадратные уравнения играют огромную роль в развитии математики. Все мы умеем решать квадратные уравнения со школьной скамьи (8 класс), до окончания вуза. Эти знания могут пригодиться нам на протяжении всей жизни.

Так как эти методы решения квадратных уравнений просты в применении, то они, безусловно, должно заинтересовать увлекающихся математикой учащихся. Моя работа дает возможность по-другому посмотреть на те задачи, которые ставит перед нами математика.

Список используемой литературы:

• Ш.А.Алимов.Алгебра: Учебник для 8 кл. – М.: Просвешение, 1998.-239с.:ил.
• Н.Я.Виленкин.Алгебра: Учебник для 8 кл:Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики-М.:Просвешение,1995-256с.:ил.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика:Справ.материалы: Кн.          Для учащихся.-М.: Просвещение, 1988.-416с.: ил.
• Окунев А.К. Квадратичные функции, уравнения, неравенства.
• Интернет – ресурсы.