Исследовательская работа " Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля"

8

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

Малая академия наук Крыма «Искатель»

Отделение: математики

Секция: прикладная математика

УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ

Работу выполнил: Алимский Руслан Игоревич ученик 9-а класса МБОУ “Чистенькая школа-гимназия” Симферопольского района

Научный руководитель: Дмитриева Галина Игнатьевна Учитель математики МБОУ “Чистенькая школа гимназия” Симферопольского района

Симферопольский район 2017 г

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………….……3

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МОДУЛЯ……………………..……4

1. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ………………..… 5

1. УРАВНЕНИЕ ВИДА: ………………………… 5

1. УРАВНЕНИЕ ВИДА …………………………………...…..7

1. УРАВНЕНИЕ ВИДА ………………………………….8

1. УРАВНЕНИЕ ВИДА …………………..10

1. НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ………………………………………..11

ВЫВОДЫ………………………………………………………………..….20

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………..…………….21

ВСТУПЛЕНИЕ

Уравнение и неравенства с модулем встречаются практически во всех вариантах ЕГЭ профильного уровня, уже не говоря об их применениях в школьном курсе математики. Кроме того понятие модуля используется в физике и технике. Поэтому, в настоящей работе рассматриваются различные виды уравнений и неравенств и способы их решений.

Цель работы применение свойств и определения модуля при решении уравнений и неравенств.

Задачи:

1. Изучить свойства модуля и правила его раскрытия

2. Исследовать возможности применения определения модуля и его свойств при решении различных видов уравнений и неравенств.

3. Научиться решать неравенства с модулем с помощью “метода интервалов”

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МОДУЛЯ

Модулем или абсолютной величиной числа а называется само число а, если и число , если

Из определения следует, что под знаком модуля может быть любое число по знаку, а вот равен модуль только не отрицательному числу.

Очень удобно пользоваться определением модуля числа “а”, как расстояние на числовой прямой от начала отсчета до точки соответствующей данному числу.

Свойства модуля:

1. противоположные числа имеют равные модули

Например: I6I – это расстояние от 0 до 6,I-6I- расстояние от 0 до-6 иI0I- это расстояние от 0 до 0

1. модуль произведения равен произведению модулей и обратно:

2. модуль суммы не больше суммы модулей слагаемых

3. 

6. 

2.УРАВНЕНИЯ СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК МОДУЛЯ.

2.1 Уравнение вида:

Уравнение вида решается раскрытием модуля по определению это совокупность уравнений

Пример 1.

Следовательно, решая уравнения с модулями можно пользоваться его определением.

Ответ: -2; 8	2) Данное уравнение корней не имеет т.к. расстояние неотрицательно
3)|x+4|=0 x+4=0 x=-4 Ответ: -4	4)|8x+4|=|x-3| 8х+4=х-3 8х+4=3-x x=-1 x=-1/9 Ответ: -1; -1/9
5)|

Нули под модульного выражения на прямой:

8 x

Учитываем, что повторилось дважды, то интервал повторяется, а. т. к. в знаменателе , то ”змейку” начинаем не справа сверху, а справа с низу.

Итак, рассмотрим два случая:

1. 2)

Оба значения принадлежат к рассматриваемым промежуткам, значит это и есть решение в первом случае.

Рассмотрим второй случай:

,значит решение во втором случае

Ответ:

2.2 УРАВНЕНИЕ ВИДА

1) В начале раскроем внешний модуль, а затем внутренний x-3=2 x-3=-2 x-3=6 x-3=-6 x=5 x=1 x=9 x=-3 Ответ:-3;1;5;9

2)=10 или x=12, x=-18 Ответ:-18;12.

2.3 УРАВНЕНИЕ ВИДА

1. 8

X=-2	x-5=25-x x-5=x-25 x=15

Ответ:-2;15

1. 

I

I

Знаки под модульных выражений:

II

-I

I

III

Рассмотрим 3 промежутка:

1. 

1. 

1. 

x=3 x= - 3

Объединим полученные решения:

Ответ:

3 Найти все корни удовлетворяющие условию:

Решение:

или

Заданному условию удовлетворяет лишь один корень

Ответ:

2.4 УРАВНЕНИЕ ВИДА

I

Знаки под модульных выражений:

II

I

II

+

- 1,5 5

I

I

III

Решим это уравнение , рассмотрев знаки под модульных выражений на трех промежутках:

1. 2)

3)

Ответ: 4,25

3, НЕРАВЕНСТВА С МОДУЛЕМ

После раскрытия модуля, или при определении знака под модульного выражения часто приходиться пользоваться методом интервалов. Этот метод основан на свойстве непрерывной функции сохранять свой постоянный знак выше оси “+” ниже “” на осирасположены нули, при переходе через которые функция меняет свой знак с “+” на “” и наоборот. За исключением функции в четной степени.

“+”, “+” “+” “+”

“” y=0 y =0

““

Поэтому, если какой- либо ноль повторяется дважды, то ставим сигнал ( ), означающий запрет перехода и повтор интервала. Кроме того, нули знаменателя всегда “выкалываем” так как на ноль делить нельзя: не имеет смысла.

Простейшие неравенства, решаем по принципу:

1. 

3ед 3 ед

+ +

-5

-5

1. 

-5

-5

+ +

5

5

Ответ:

Более сложные:

3)

, их знаки:

+ + +

-

5

+ + +

-5

• 

  -5

  -5

  

+ + +

4.2)

+ +

4.3)

+ +

И так общее решение:

Ответ:

5.1)

.

Объединив эти два решения, получим:

6)

-1 1

I

6.1) 6.2)

-2 -1

============================================?

1 2

Объединив все три решения, получим:

II

+

0 5

I

II

+ +

- -4 0 - 2 5 -

7.2)

+ +

- -4 0 - 2 5 -

x=5 не включаем так как в этой точке не определение

+ +

- -4 0 - 2 5 -

Объединив эти три решения, получим:

8.1)

+ -2 + 4

3.5 -1 1

8.2)

+ + +

-2 -1 1 4

Ответ:

ВЫВОДЫ

Поставленные цели и задачи выполнены:

1. Рассмотрены применения определения модуля, для решения простейших уравнений и неравенств.

2. Применив правило раскрытия модуля, рассмотрены задания более сложного уровня.

3. Применен метод интервалов при решении неравенств.

В дальнейшем поставлена задача, расширить работу с модулем при изучении новых функций, и включить работу с параметром.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Неcтеренко Ю. В., Олейник С.Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике Москва: “Наука”, 2007 г

2. Математика для поступающих в ВУЗы Москва: “Наука”, 2000 г

3. Залогин М. С. “Конкурсные задачи по математике” Киев: ”Высшая школа”, 1999 г

4. Ю. А. Захарийченко, Школьный А. В. Энциклопедия тестовых знаний: Издательство “Ранок”, 2013 г

5. Никольский С. М., Потапов М. К. “Алгебра и начала анализа”10 классМосква: “Просвещение”, 2014 г

6. Гайдуков И.И. “Абсолютная величина” Москва “Просвещение”, 2001 г

7. Канель-Белов А. Я., Ковальджи А. К. “Как решают нестандартные задачи” М.: МЦНМО, 1997 г

8. Окунев А. М. “Квадратичные функции, уравнения и неравенства” Москва: “Просвещение”, 2002 г

9. Математика подготовка к ЕГЕ-2017 “Профильный уровень” Ростов-на-Дону: “Легион”, 2016 г