Конспект урока по геометрии на тему "Параллельность прямой и плоскости"

1. Организационный момент.

Актуализация знаний.

Приветствие учеников. Ребята, в 10 классе мы начали изучать какой раздел геометрии?

Стереометрия

Назовите основные фигуры стереометрии.

Точка, прямая, плоскость

Мы изучили с вами систему аксиом стереометрии, следствия из системы аксиом, все возможности расположения прямых в пространстве.

2. Постановка познавательной задачи.

Как вы думаете, опираясь на наши знания, взаимное расположение каких основных фигур стереометрии мы можем теперь изучить?

Прямой и плоскости

Верно. Поэтому тема нашего урока: Параллельность прямой и плоскости. Сегодня на уроке мы должны изучить с вами взаимное расположение прямой и плоскости, “открыть” признак параллельности прямой и плоскости и их свойства.

3. Введение нового материала.

Как вы думаете, какие существуют возможности взаимного расположения прямой и плоскости?

Прямая лежит в плоскости;

прямая пересекает плоскость;

прямая не пересекает плоскость и не лежит в ней.

Сколько общих точек у прямой и плоскости в каждой из возможностей? Приведите примеры из окружающего нас мира, иллюстрирующие эти возможности.

Множество точек;

одна точка;

ни одной точки.

На прошлых уроках мы с вами изучили “Взаимное расположение прямых в пространстве их параллельность и единственность”. Какие прямые называются параллельными?

Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Попробуйте сформулировать определение параллельности прямой и плоскости.

Прямая и плоскость параллельны, если они не пересекаются.

Запишем определение в тетрадь: Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Параллельность прямой и плоскости обозначается так: . Нагл

Приведите примеры параллельных прямой и плоскости в нашем кабинете.

Линия пересечения потолка и стены параллельна полу. Также будут параллельными линия пересечения пола и стены и потолок.

Как вы думаете будет ли линия пересечения пола и стены параллельна линии пересечения стены и потолка? и почему?

Будут, так как обе прямые лежат в плоскости стены и не пересекаются.

На основе данного примера попробуйте сформулировать признак параллельности прямой и плоскости.

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Верно. Запишем в тетрадь данный признак и докажем его.

Что нам дано?

Плоскость , .

Что требуется доказать?

Каким способом мы доказывали признак параллельности прямых?

Методом “от противного”

Давайте воспользуемся этим методом и сейчас. Что нам надо предположить?

Пусть

Что нам еще известно про прямую ?

Какой вывод мы можем сделать из этих двух утверждений? Почему?

(по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми)

Что мы знаем о прямой и плоскости ?

.
Значит утверждение, что противоречит условию, что .

Что мы предполагали в начале? И какой вывод теперь можем сделать?

Мы предполагали, что . Получаем, что

Верно. Теорема доказана.

Как вы думаете, если через прямую параллельную плоскости провести плоскость, пересекающую данную плоскость, то как будут взаимно располагаться данная прямая и линия пересечения плоскостей?

Они будут параллельны

Попробуйте сформулировать данное утверждение

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Верно запишем данное свойство в тетрадь и попробуем его доказать?

Что нам дано?

Что требуется доказать?

Какие прямые называются параллельными?

Прямые, которые лежат в одной плоскости не пересекаются.

Значит какие два требования нам надо доказать?

1) и лежат в одной плоскости

2) и не пересекаются

Докажем первое требование, что и лежат в одной плоскости.
Как мы можем найти для этих прямых общую плоскость?

.

Из этих двух условий мы можем сделать вывод, что обе прямые лежат в плоскости .

Тем самым мы доказали первое требование.

Как мы можем доказать, что прямые и не пересекаются?

Воспользуемся снова методом “от противного” и предположим, что они пересекаются.

Что мы тогда получим?

, а это противоречит условию, что . Следовательно, .

Верно. Теорема доказана.

Сейчас мы с вами проводили плоскость через прямую параллельную данной плоскости.
Рассмотрим другой пример. Пусть теперь нам даны параллельные прямая и плоскость и проведем еще одну прямую параллельную данной прямой. Какие варианты взаимного расположения между данной плоскостью и построенной прямой могут получиться?

Прямая будет или лежать в плоскости, или будет ей параллельна.

Попробуйте сформулировать данное свойство.

Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Запишем его в тетрадь. И будем доказывать.

Что нам дано?

Что требуется доказать?

или

Какие прямая и плоскость называются параллельными?

Непересекающиеся

Значит, что мы можем сказать о прямой и плоскости ?

Они не пересекаются

Что нам еще дано?

Какой вывод мы можем сделать из этих двух условий?

и не пересекаются (по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми)

В начале урока мы с вами рассмотрели три варианта взаимного расположения прямой и плоскости. И, если мы получили, что и не пересекаются, то какие варианты их взаимного расположения возможны?

или

Правильно. Теорема доказана.

4. Первичное закрепление

Каким образом через точку вне плоскости провести прямую, параллельную этой плоскости? Сколько решений имеет задача?

В заданной плоскости провести прямую;

через данную точку и построенную прямую можно провести плоскость (следствие 1);

в полученной плоскости провести прямую, проходящую через данную точку, параллельно построенной точке, она будет единственная (теорема существования и единственности параллельной прямой);

последняя построенная прямая будет искомой прямой.
Так как мы изначально прямую в плоскости проводили произвольно, то возможно целое множество решений.

Можно ли построить в плоскости прямую, параллельную данной прямой, проходящей через данную точку вне данной плоскости?

Если данная прямая параллельна данной плоскости, то можно, иначе - нет

Даны параллельные прямая и плоскость. Сколько можно провести в этой плоскости прямых, параллельных данной прямой? Как расположены между собой эти прямые?

В плоскости берем произвольную точку; через точку и данную прямую можно провести плоскость; эта плоскость будет пересекать данную плоскость по прямой параллельной данной прямой (свойство 1); так как точку мы взяли произвольную, то таких прямых мы можем построить целое множество и все они будут параллельны между собой, так как все они параллельны данной прямой.

Может ли плоскость, проходящая через середины двух сторон треугольника и не совпадающая с его плоскостью, пересекать третью сторону?

Нет. Данная плоскость будет проходить через среднюю линию треугольника; по свойству средняя линия параллельна основанию; получаем, что основание будет параллельно данной плоскости (по признаку) и следовательно они не будут пересекаться.

5. Подведение итогов урока

Сегодня мы с вами рассмотрели взаимное расположение прямой и плоскости, узнали какие прямая и плоскость называются параллельными, признак параллельности и его свойства.

6. Домашнее задание