Конспекти з геометрії для 8 класу

Многокутником називається фігура, яка складається з точок А₁, А₂, А₃, …, А_n і відрізків А₁А₂, А₂А_{3, …} , таких, що жодні два сусідніх відрізків не лежать на одній прямій і ніякі два несусідніх відрізки не мають спільних точок. Фігура, обмежена цими відрізками, має внутрішню область.

Вершини многокутника: точки А, В, С, D, Е.

Сторони многокутника: відрізки АВ, ВС, СD, DЕ, АЕ.

Сторони, що є сусідніми відрізками, називають сусідніми сторонами многокутника.

Вершини, які є кінцями однієї сторони, називають сусідніми вершинами многокутника.

Дві сусідні сторони многокутника утворюють кут многокутника.

Кути: А, В, С, D, E.

Діагоналлю називається відрізок, який сполучає дві несусідні вершини многокутника.

Діагоналі: АС, АD, BE, BD, CE.

Многокутник називають за кількістю його кутів: трикутник, чотирикутник, п’ятикутник і так далі. Многокутник позначають за його вершинами.

Многокутник, усі внутрішні кути якого менші від розгорнутого, називають опуклим.

Властивості опуклого многокутника:

1)Опуклий многокутник розташований в одній площині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону.

2)Опуклий многокутник, відмінний від трикутника, містить будь-яку свою діагональ.

Периметром многокутника називають суму довжин усіх його сторін.

Теорема

Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180⁰(n – 2).

Коло називають описаним навколо многокутника, якщо воно проходить через усі його вершини.

Коло називають вписаним у многокутник, якщо воно дотикається до всіх його сторін.

Площею многокутника називають додатну величину, яка має такі властивості:

1) рівні многокутники мають рівні площі.

S_ABCDK = S_MNPQR

2) якщо многокутник складено з кількох многокутників, то його площа дорівнює сумі площ цих многокутників.

S_ABCDK = S₁ + S₂ + S₃

3) за одиницю виміру беруть площу одиничного квадрата.

1м² = 100дм² = 10000см² = 1000000мм²

1а = 100 м²

1га = 100 а = 10000м²

Многокутники, які мають рівні площі, називають рівновеликими.

Всі рівні фігури фігури рівновеликі. Проте не всі фігури, які мають рівні площі, є рівними.

Якщо деякий многокутник можна розрізати на частини та скласти з них інший многокутник, то такі многокутники називаються рівноскладеними.

Наприклад, якщо прямокутник розрізати вздовж його діагоналі, то отримаємо два рівних прямокутних трикутники, з яких можна скласти рівнобедрений трикутник. Ці фігури рівноскладені.

S₁ = S₂

Щоб знайти площу зафарбованої фігури можна від площі прямокутника АВСD відняти площу трикутника АВК.

Через дві сусідні сторони

S = absin

Площа паралелограма дорівнює добутку двох сусідніх сторін на синус кута між ними.

Через сторону та проведену до неї висоту

S = ah_a

S = bh_b

Площа паралелограма дорівнює добутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Через діагоналі та кут між ними

S = d₁d₂sin

Площа паралелограма дорівнює півдобутку діагоналей на синус кута між ними.

Через дві сусідні сторони

S = ab

Площа прямокутника дорівнює добутку двох сусідніх сторін.

Через діагоналі та кут між ними

S = d²sin

Площа прямокутника дорівнює півдобутку діагоналей на синус кута між ними.

Через сторону і кут ромба

S = a²sin

Площа ромба дорів-нює добутку квадрата його сторони на синус кута ромба.

Через сторону і висоту

S = ah

Площа ромба дорів-нює добутку сторони на висоту.

Через діагоналі

S = d₁d₂

Площа ромба дорів-нює півдобутку його діагоналей.

Через сторону

S = a²

Площа квадрата дорівнює квадрату його сторони.

Через діагоналі

S = d²

Площа квадрата дорівнює половині квадрата діагоналі.

Через сторону і проведену до неї висоту

S = ah_a

S = bh_b

S = сh_с

Площа трикутника дорівнює півдобутку сторони на висоту, проведену до цієї сторони.

Через дві сторони і кут між ними

S = ab

S = ac

S = c

Площа трикутника дорівнює півдобутку двох сторін на синус кута між ними.

Формула Герона

,

.

Через півпериметр і радіус вписанного кола

S = pr

Площа трикутника дорівнює добутку півпериметра на радіус вписаного кола.

Через добуток сторін і радіус описанного кола

S =

Площа трикутника дорівнює добутку сторін поділеному на чотири радіуса описанного кола.

Для рівностороннього трикутника

S =

Площа рівностороннього трикутника дорівнює а квадрат кореня із трьох на чотири.

Для прямокутного трикутника через катети

S = ab

Площа прямокут-ного трикутника дорівнює півдобутку катетів.

Для прямокутного трикутника через гіпотенузу та висоту до неї

S = сh

Площа прямокут-ного трикутника дорівнює півдобутку гіпотенузи на висоту, проведену до неї.

Через півсуму основ та висоту

S = h

Площа трапеції дорівнює добутку півсуми основ на висоту.

Через середню лінію та висоту

S = mh

Площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту.

Через діагоналі та кут між ними

S = d₁d₂sin

Площа трапеції дорівнює півдобутку

Діагоналей на синус кута мі ними.

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні

S = h²

Якщо діагоналі рівнобічної трапеції взаємно перпендикулярні, то її площа дорівнює квадрату висоти трапеції.

Розв’язок

За умовою задачі маємо рівнобічну трапецію АВСD, АВ=СD, ВС = 8см, АD = 16 см, А = 60⁰.

Знайдемо площу трапеції АВСD.

Проведемо висоту ВЕ.

Розглянемо трикутник АВЕ.

Е = 90⁰ – так як ВЕ – висота трапеції АВСD.

А = 60⁰ – за умовою.

АЕ = (АD – ВС) : 2 = (16 – 8) : 2 = 4(см) – так як висота рівнобічної трапеції, проведена з вершини тупого кута до більшої основи, ділить її на два відрізки, менший з яких дорівнює піврізниці основ.

За співвідношенням прямокутного трикутника

ВЕ = АЕ tg А = 4 tg60⁰ = 4 (cм).

Знайдемо площу трапеції АВСD.

S = ВЕ = 48 (см²).

Відповідь: 48 см².