Контрольные работы по геометрии 10-11

§ 3. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

 

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ

10 класс

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1. Три вершины ABC параллелограмма ABCD принадлежат одной плоскости . aБудет ли четвертая вершина D принадлежать этой плоскости? Ответ поясните.

2. Четырехугольник ABCD лежит в плоскости , а плоскость четырехугольника BCEF не совпадает с плоскостью . По какой прямой пересекаются плоскости: а) ACD и BCE; б) CEF и AEF?

3. Дана прямая и не принадлежащая ей точка. Докажите, что все прямые, проходящие через эту точку и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

4. Найдите наибольшее число плоскостей, которые можно провести через различные тройки из четырех точек.

5*. Найдите наибольшее число прямых, которые можно провести через различные пары из пяти точек.

 

Вариант 2

1. Две вершины A и B квадрата ABCD и точка O – точка пересечения его диагоналей, принадлежат плоскости . Совпадает ли плоскость квадрата с плоскостью . Ответ поясните.

2. Плоскости четырехугольников ABCD и BCEF не совпадают. Найдите прямую по которой пересекаются плоскости: а) BDC и BEC; б) AFD и ABF.

3. Даны две пересекающиеся прямые. Докажите, что все прямые, пересекающие эти прямые и не проходящие через точку их пересечения, лежат в одной плоскости.

4. Найдите наибольшее число прямых, которые можно провести через различные пары из четырех точек.

5*. Найдите наибольшее число плоскостей, которые можно провести через различные тройки из пяти точек.

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. В плоскости двух параллельных прямых a и b дана точка C, не принадлежащая этим прямым. Через нее проведена прямая c. Найдите все возможные расположения прямой c относительно прямых a и b.

2. Сторона KM треугольника KLM параллельна плоскости . Точки G и H принадлежат соответственно его сторонам KL и KM. Точка P – точка пересечения прямой GH с плоскостью . Постройте точки пересечения прямых KL и LM с плоскостью . Найдите линию пересечения плоскостей треугольника KLM и .

3. Прямая b параллельна плоскости . Определите положение данной прямой относительно прямых: а) лежащих в плоскости ; б) параллельных ; в) пересекающих .

4. Из точки S, не принадлежащей ни одной из двух параллельных плоскостей, проведены три прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках A₁, A₂; B₁, B₂; C₁, C₂. Найдите SA₂, SB₂ и A₁C₁, если SA₁ = A₁B₁ = 5 см; A₂C₂ = B₁B₂ = 12 см; A₂B₂ = 15 см.

5*. Найдите наибольшее число плоскостей, которые можно провести через различные пары из: а) пяти лучей; б) шести лучей, выходящих из одной точки.

 

Вариант 2

1. В плоскости двух пересекающихся прямых m и n дана точка A, не принадлежащая этим прямым. Прямая a проходит через точку A. Найдите все возможные расположения прямой a по отношению к прямым m и n.

2. Сторона CD четырехугольника CDEF параллельна плоскости . Прямая CE пересекает плоскость  в точке G. Постройте точки пересечения прямых CF и DE с плоскостью . Найдите линию пересечения плоскостей четырехугольника CDEF и .

3. Даны две скрещивающиеся прямые a и b. Определите положение прямой a относительно третьей прямой c, если: а) c параллельна b; б) c пересекает b; в) c скрещивается с b.

4. Из точки O, не принадлежащей ни одной из двух параллельных плоскостей, проведены три прямые, пересекающие плоскости соответственно в точках A, B, C и A₁, B₁, C₁. Найдите BC, если OA = a, AA₁ = b, B₁C₁ = c.

5*. Найдите наибольшее число прямых, по которым могут попарно пересекаться: а) 5 плоскостей; б) 6 плоскостей.

 

Контрольная работа № 3

Вариант 1

1. В параллелепипеде A…D₁ найдите вектор, равный: а) ; б) ; в) .

2. Изобразите параллельную проекцию куба A…D₁, если: а) две грани куба параллельны плоскости проектирования; б) диагональ куба параллельна направлению проектирования.

3. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через одно из его ребер и центр одной из противолежащих граней. Найдите периметр сечения, если ребро куба равно a.

4*. Треугольник A’B’C’ является параллельной проекцией равнобедренного треугольника ABC, боковая сторона которого в два раза больше основания. Постройте изображение в этой проекции высоты треугольника ABC, проведенной из вершины основания.

 

Вариант 2

1. В параллелепипеде A…D₁ найдите вектор, равный: а) ; б) ; в) .

2. Изобразите параллельную проекцию куба A…D₁, если: а) какое-нибудь ребро куба параллельно направлению проектирования; б) грани куба не параллельны плоскости проектирования.

3. В правильной 4-угольной призме A…D₁ проведите сечение через середины ребер AB, AD и вершину C₁. Найдите периметр сечения, если все ребра призмы равны 1.

4*. Треугольник A’B’C’ является параллельной проекцией равнобедренного треугольника ABC, боковая сторона которого в два раза больше основания. Постройте изображение в этой проекции биссектрисы треугольника ABC, проведенной из вершины основания.

 

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. В кубе A…D₁ вершина D соединена с серединой K диагонали A₁B грани ABB₁A₁. Найдите угол между прямыми DK и A₁B.

2. Из вершины B квадрата ABCD к его плоскости проведен перпендикуляр BM. Определите (относительно углов) виды треугольников ABM, BCM, ADM и CDM.

3. Из вершины K треугольника KLM проведен к его плоскости перпендикуляр KN. Из точки N опущен перпендикуляр на сторону ML. Найдите условие, при котором этот перпендикуляр пересечет продолжение стороны ML.

4. Из точки E, не принадлежащей плоскости , проведены к ней две наклонные EF и EG, образующие равные углы с прямой FG, лежащей в плоскости . Докажите, что ортогональные проекции этих наклонных на плоскость  равны.

5*. Докажите, что ортогональная проекция на данную плоскость  угла AOB, образованного двумя равными наклонными OA и OB к этой плоскости, больше угла между самими наклонными.

 

Вариант 2

1. В кубе A…D₁ вершина C₁ соединена с центром O грани ABCD. Найдите угол между прямыми C₁O и BD.

2. Из вершины C правильного шестиугольника ABCDEF к его плоскости проведен перпендикуляр CK. Определите (относительно углов) виды треугольников BCK, CDK, DEK, EFK.

3. Из вершины G треугольника GHP проведен перпендикуляр GQ. Из точки Q опущен перпендикуляр на сторону HP. Найдите условие, при котором этот перпендикуляр пройдет через одну из вершин H или P треугольника.

4. Из вершины угла к его плоскости проведена наклонная, которая составляет со сторонами угла равные углы. Докажите, что ортогональной проекцией этой наклонной является биссектриса данного угла.

5*. Докажите, что ортогональная проекция угла на плоскость, проходящую через одну из его сторон, меньше, равна или больше данного угла, смотря по тому, является ли данный угол соответственно острым, прямым или тупым.

 

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1. В равнобедренном прямоугольном треугольнике один из катетов лежит в плоскости , а другой образует с ней угол 45⁰. Найдите угол между гипотенузой данного треугольника и данной плоскостью.

2. Точка K, не принадлежащая плоскости равностороннего треугольника, удалена от каждой его вершины на расстояние см, а от каждой его стороны – на 2 см. Найдите расстояние от точки K до плоскости треугольника.

3. Угол между плоскостями двух равнобедренных треугольников ABC и BCD, имеющих общую боковую сторону BC, равен 90⁰. Найдите расстояние между точками A и D, если основание каждого треугольника равно a, а каждая боковая сторона равна b.

4. Внутри двугранного угла из точки M, принадлежащей его ребру, проведен к нему перпендикуляр, на котором отложен отрезок MN, в два раза больший своей ортогональной проекции на одну из граней двугранного угла. Найдите угол, который образует MN с другой гранью, если двугранный угол равен 100⁰.

5*. Через данную точку проведите прямую, параллельную данной плоскости и перпендикулярную данной прямой.

 

Вариант 2

1. Наклонная AB образует с плоскостью  угол 45⁰, прямая AC, лежащая в этой плоскости, составляет угол 45⁰ с ортогональной проекцией наклонной AB на плоскость . Найдите угол BAC.

2. Дан ромб со стороной a и углом 45⁰. Точка L удалена от всех прямых, на которых лежат стороны ромба, на расстояние b. Найдите расстояние от точки L до плоскости ромба.

3. Угол между плоскостями двух равнобедренных треугольников ABC и BCD, имеющих общую боковую сторону BC, равен 120⁰. Расстояние между точками A и D равно m. Основание каждого треугольника равно a. Найдите боковые стороны треугольников.

4. Из точки K, расположенной внутри двугранного угла, проведен перпендикуляр KL на его ребро. Расстояние от точки K до одной из его граней равно ортогональной проекции KL на эту грань. Этот же отрезок KL в два раза больше своей ортогональной проекции на другую грань. Найдите двугранный угол.

5*. Через данную точку проведите плоскость, перпендикулярную двум данным плоскостям.

 

Контрольная работа № 6

Вариант 1

1. Можно ли составить трехгранный угол с плоскими углами: а) 40⁰, 70⁰, 100⁰; б) 150⁰, 120⁰, 90⁰?

2. Два плоских угла трехгранного угла равны по 60⁰, а третий равен 90⁰. Найдите угол между плоскостью прямого угла и противоположным ребром трехгранного угла.

3. Основанием наклонного параллелепипеда является ромб, а одно боковое ребро образует с прилежащими сторонами основания параллелепипеда равные углы. Докажите, что вершина параллелепипеда, принадлежащая этому ребру, ортогонально проектируется в точку диагонали основания.

4. Найдите расстояние между центрами двух соседних граней правильного октаэдра, если его ребро равно 1.

5*. Докажите, что любое сечение трехгранного угла с плоскими углами по 90⁰, пересекающее все его ребра, является остроугольным треугольником.

 

Вариант 2

1. Можно ли составить трехгранный угол с плоскими углами: а) 80⁰, 100⁰, 130⁰; б) 60⁰, 120⁰, 180⁰?

2. Плоские углы трехгранного угла равны 45⁰, 45⁰ и 60⁰. Найдите двугранный угол, образованный плоскостями равных плоских углов.

3. Основанием пирамиды является прямоугольник, а одно из ее боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Докажите, что все боковые грани пирамиды – прямоугольные треугольники.

4. Найдите расстояние между противоположными параллельными гранями октаэдра, если его ребро равно 1.

5*. Докажите, что двугранный угол между смежными боковыми гранями любой правильной 4-угольной пирамиды является тупым.

 

11 класс

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1. Шар диаметра 20 см пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на 6 см. Найдите площадь полученного сечения.

2. Через конец радиуса шара проведена плоскость под углом 30⁰ к нему. Найдите радиус полученного сечения, если радиус шара равен 1.

3. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы, все ребра которой равны a.

4. В прямую призму, основанием которой является ромб с диагоналями 6 см и 8 см, вписана сфера. Определите боковое ребро призмы и радиус вписанной в нее сферы.

5*. В сферу вписана четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны. Докажите, что центр основания пирамиды является центром сферы.

 

Вариант 2

1. Шар пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на 8 см. Площадь полученного сечения равна 125 см². Найдите радиус шара.

2. Диаметр шара равен D. Через его конец под углом 45⁰ к нему проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Найдите ее радиус.

4. В правильную треугольную призму, площадь основания призмы равна 27 см², вписана сфера. Найдите высоту призмы и радиус сферы.

5*. Боковые ребра правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45⁰. Где расположен центр описанной сферы относительно пирамиды?

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением равнобедренного треугольника вокруг его боковой стороны. Как можно получить эту фигуру из конусов?

2. В сферу вписан конус, высота которого равна 3 см, радиус основания равен 3 см. Найдите радиус сферы.

3. Найдите радиус основания и образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса R.

4. Сколько: а) осей симметрии; б) плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, у которого нет квадратных граней? Назовите их.

5*. Внутри двугранного угла, равного 30⁰, взята точка, удаленная от его граней на 2 см и 3 см. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

 

Вариант 2

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, перпендикулярной его боковой стороне и проходящей через вершину, лежащую против основания. Как можно получить эту фигуру из конусов?

2. В сферу вписан усеченный конус, радиусы оснований которого равны 15 см и 24 см, высота равна 27 см. Найдите радиус сферы.

3. Образующая конуса равна 20 см, радиус основания равен 16 см. Найдите радиус вписанной в конус сферы.

4. В основании прямой призмы лежит ромб. Сколько она имеет: а) осей симметрии; б) плоскостей симметрии? Назовите их.

5*. Прямая, проведенная через вершину прямого угла, образует с его сторонами углы 60⁰ и 45⁰. Найдите угол между этой прямой и плоскостью прямого угла.

 

Контрольная работа № 3

Вариант 1

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 6 см. Найдите объем цилиндра.

2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб, площадь которого равна 8 дм². Площади диагональных сечений равны 24 дм² и 48 дм². Найдите объем параллелепипеда.

3. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и a . Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30⁰.

4. Высота конуса равна 12 см, периметр осевого сечения 36 см. Найдите объем конуса.

5*. Найдите объем тела, которое образуется при вращении правильного шестиугольника со стороной a вокруг апофемы (высота, опущенная из центра правильного многоугольника на его сторону).

 

Вариант 2

1. В цилиндре через середину радиуса основания перпендикулярно ему проведено сечение. В сечении получился квадрат площадью 16 см². Найдите объем цилиндра.

2. Основанием прямой четырехугольной призмы является ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Диагонали призмы равны 17 дм и 10 дм. Найдите объем призмы.

3. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, основание которого равно 12 см, а боковая сторона – 10 см. Найдите объем пирамиды, если каждая ее боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45⁰.

4. Площадь осевого сечения равностороннего конуса равна Q . Найдите объем конуса.

5*. Найдите объем тела, которое образуется при вращении правильного шестиугольника со стороной a вокруг его малой диагонали.

 

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Найдите отношение площадей поверхностей двух шаров, если диаметр одного из них в два раза больше диаметра другого.

2. Боковые грани пирамиды, в основании которой лежит ромб, наклонены к плоскости основания под углом . Найдите площадь поверхности пирамиды, если сторона ромба равна a, а его острый угол равен .

3. Площадь боковой поверхности цилиндра равна половине площади его полной поверхности. Найдите площадь поверхности цилиндра, если диагональ его осевого сечения равна 5 см.

4. Через вершину конуса проведено сечение, пересекающее основание по хорде, равной 4 дм и отсекающей дугу 90⁰. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если угол при вершине осевого сечения равен 60⁰.

5*. Образующая усеченного конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60⁰. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса, если радиус его большего основания равен 5 см.

 

Вариант 2

1. Объем одного шара равен 2 см³, другого – 3 см³. Найдите отношение площадей их поверхностей.

2. В основании пирамиды лежит квадрат, две ее боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие составляют с ним равные углы j. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна h.

3. Разверткой боковой поверхности цилиндра является прямоугольник, одна сторона которого в два раза больше другой. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 20 дм². Найдите площадь его поверхности.

4. Через две образующие конуса проведена плоскость, отсекающая от основания дугу в 120⁰ и образующая с плоскостью основания угол 45⁰. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если радиус его основания равен 4 см.

5*. Радиусы оснований усеченного конуса равны 2 см и 7 см, диагональ осевого сечения равна 15 см. Найдите площадь боковой поверхности усеченного конуса.

 

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1. Найдите расстояние от точки A(1,-2,3) до: а) координатной плоскости Oyz; б) начала координат; в) координатной прямой Ox.

2. Даны точки B(3,0,-2) и C(-2,6,-4). Найдите координаты вектора: а) ; б) ; в) .

3. Даны векторы (3,0,-1) и (-5, ,0). Найдите число k, при котором векторы +k и 2 перпендикулярны.

4. Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку M(5,-4,1) и параллельна плоскости 2x – y – z + 3 = 0.

5*. Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора (-1,3,2). В момент времени t = 0 она имела координаты (4,0,-5). Найдите ее координаты в момент времени t = 3.

 

Вариант 2

1. Найдите расстояние от точки B(-2,3,4) до: а) начала координат; б) координатной плоскости Oxz; в) координатной прямой Oy.

2. Даны точки C(5,0,-2) и D(-1,2,-3). Найдите координаты вектора: а) ; б) ; в) .

3. Найдите угол, под которым виден отрезок EF из начала координат, если E(5, , -2) и F(-2,0,1).

4. Напишите уравнение плоскости, перпендикулярной прямой KL и проходящей через точку L(-3,2,-1), если K(7,-11,3).

5*. Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени t = 1 она имела координаты (2,-3,4), а в момент времени t = 3 координаты (-1,4,-2). С какой скоростью движется точка?

 

ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЕ КЛАССЫ

10 класс

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1. Дана прямая a и точка A. Сколько плоскостей можно провести через данную прямую и данную точку? Ответ объясните.

2. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая на ней, имеют общую точку, то эта точка единственная.

3. Даны две пересекающиеся прямые a и b. Как может располагаться прямая a относительно третьей прямой c, если: а) c параллельна b; б) c пересекается с b; в) c скрещивается c b.

4. Найдите число диагоналей: а) пятиугольника; б) пятиугольной призмы.

5*. Ребро куба A…D₁ равно 1. Определите расстояние от центра грани ABCD до точки пересечения прямой C₁M, где M – середина ребра AA₁, и плоскости грани ABCD.

 

Вариант 2

1. Даны три точки A, B, C. Сколько плоскостей можно провести через данные точки? Ответ объясните.

2. Докажите, что если в двух пересекающихся плоскостях лежат две пересекающиеся прямые (по одной в каждой плоскости), то точка пересечения прямых принадлежит прямой пересечения этих плоскостей.

3. Даны две параллельные прямые a и b. Как может располагаться прямая b относительно третьей прямой c, если: а) c параллельна a; б) c пересекается с a; в) c скрещивается c a.

4. Найдите число диагоналей: а) шестиугольника; б) шестиугольной призмы.

5*. Ребро куба A…D₁ равно a. Найдите длину отрезка OK, где O – центр грани ABCD, K – точка пересечения прямой A₁L, где L – середина ребра C₁C, и плоскости грани ABCD.

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. Дан куб A…D₁. Плоскостям каких граней куба параллельна плоскость, в которой лежит его грань CDD₁C₁?

2. Даны две параллельные прямые, не лежащие в данной плоскости. Докажите, что если одна из них параллельна данной плоскости, то и другая прямая параллельна этой плоскости.

3. Параллелограмм ABCD является изображением в параллельной проекции ромба, тупой угол которого равен 120⁰. Постройте на изображении ромба изображение его высот, проведенных из данного угла.

4. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ основания пирамиды параллельно ее боковому ребру.

5*. Два треугольника ABC и ADE имеют общую вершину A, а их стороны BC и DE лежат в одной плоскости. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADE, если BC и DE не параллельны.

 

Вариант 2

1. Дан куб A…D₁. Плоскостям каких граней куба параллельна прямая, содержащая ребро BB₁? Почему?

2. Докажите, что если прямая параллельна одной из двух параллельных плоскостей, то она параллельна и другой плоскости.

3. На изображении в параллельной проекции прямоугольного треугольника с острым углом 30⁰ постройте изображение биссектрисы этого угла.

4. Постройте сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через центр основания пирамиды параллельно ее боковой грани.

5*. Два треугольника ABC и ADE имеют общую вершину A, а их стороны BC и DE лежат в одной плоскости. Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADE, если BC и DE параллельны.

 

Контрольная № 3

Вариант 1

1. Из точки O – точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD, к его плоскости проведен перпендикуляр. Докажите, что любая точка этого перпендикуляра равноудалена от вершин A, B, C, D.

2. Вершина B₁ куба A…D₁ соединена с точкой O – центром грани ABCD. Найдите угол между прямыми AC и B₁O.

3. Из точки вне плоскости проведены к ней две наклонные, по 6 см каждая. Найдите расстояние между их концами, если каждая наклонная образует с плоскостью угол в 30⁰ и угол между их проекциями на эту плоскость равен 120⁰.

4. Плоскости правильного треугольника ABC и треугольника ACD образуют между собой угол в 30⁰, причем вершина D проектируется в центр правильного треугольника, высота которого равна 3 см. Определите длину BD.

5*. Из точки M, лежащей внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр MH на его ребро. Расстояние от точки M до одной из граней данного двугранного угла равно проекции MH на эту грань. Отрезок MH в два раза больше, чем его проекция на вторую грань. Найдите двугранный угол.

 

Вариант 2

1. Точка O – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Точка M не принадлежит плоскости параллелограмма. Докажите, что MO – перпендикуляр к плоскости параллелограмма, если MA=MC и MB=MD.

2. Дан куб A…D₁. Найдите угол между прямыми AE и D₁C, где E – середина DC₁.

3. Из точки вне плоскости проведены к ней две наклонные, каждая из которых образует с плоскостью угол в 45⁰. Найдите расстояние от данной точки до данной плоскости, если угол между наклонными равен 60⁰ и расстояние между концами наклонных равно 10 см.

4. Найдите расстояние от вершины прямого угла C треугольника ABC до плоскости, проходящей через сторону AB под углом 30⁰ к плоскости треугольника, если AC=20 см и BC=15 см.

5*. В одной грани двугранного угла проведена прямая под углом 30⁰ к другой грани и под углом 45⁰ к ребру. Найдите двугранный угол.

 

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. В прямом круговом конусе с радиусом основания 5 см и высотой 12 см на расстоянии 3 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите диаметр круга, получившегося в сечении.

2. В выпуклом многограннике число вершин равно В, причем в каждой вершине сходится одно и то же число ребер, равное m. Найдите число плоских углов, ребер и граней данного многогранника.

3. Как изменится число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, если к одной из его граней пристроить пирамиду?

4. Найдите ребро октаэдра, вписанного в куб, если ребро куба равно 1.

5*. Докажите, что не существует выпуклого многогранника с семью ребрами.

 

Вариант 2

1. В правильной треугольной пирамиде со стороной основания, равной 6 см, и высотой 18 см на расстоянии 9 см от вершины проведено сечение, параллельное основанию. Найдите сторону треугольника, получившегося в сечении.

2. В выпуклом многограннике известно число граней Г, причем каждая грань имеет одно и то же число сторон n. Найдите число плоских углов, ребер и вершин данного многогранника.

3. Как изменится число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, если от него отсечь один из его углов?

4. Найдите ребро правильного тетраэдра, вписанного в правильный тетраэдр, если ребро описанного тетраэдра равно 1.

5*. Существует ли выпуклый многогранник, у которого 13 граней и в каждой грани по 13 сторон?

 

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1. Шар диаметром 20 см пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на 6 см. Найдите площадь полученного сечения.

2. Через конец радиуса шара проведена плоскость под углом 30⁰ к нему. Найдите радиус полученного сечения, если радиус шара равен 1.

3. Найдите радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы, все ребра которой равны a.

4. В прямую призму, основанием которой является ромб с диагоналями 6 см и 8 см, вписана сфера. Найдите боковое ребро призмы и радиус вписанной в нее сферы.

5*. В сферу вписана четырехугольная пирамида, у которой все ребра равны. Докажите, что центр основания пирамиды является центром сферы.

Вариант 2

1. Шар пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на 8 см. Площадь полученного сечения равна 125 см². Найдите радиус шара.

2. Диаметр шара равен D. Через его конец под углом 45⁰ к нему проведена плоскость. Найдите площадь полученного сечения.

3. Около прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 1 дм, 2 дм и 2 дм, описана сфера. Найдите ее радиус.

4. В правильную треугольную призму вписана сфера. Площадь основания призмы равна 27 см². Найдите высоту призмы и радиус вписанной в нее сферы.

5*. Боковые ребра правильной пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45⁰. Где расположен центр описанной сферы относительно пирамиды?

 

Контрольная работа № 6

Вариант 1

1. Нарисуйте фигуру, которая получается вращением равнобедренного треугольника вокруг его боковой стороны. Как можно получить эту фигуру из конусов?

2. В сферу вписан конус, высота которого равна 3 см, радиус основания равен 3 см. Найдите радиус сферы.

3. Найдите радиус основания и образующую цилиндра, описанного около сферы радиуса R.

4. Сколько: а) осей симметрии; б) плоскостей симметрии имеет прямоугольный параллелепипед, у которого нет квадратных граней? Назовите их.

5*. Внутри двугранного угла, равного 30⁰, взята точка, удаленная от его граней на 2 см и 3 см. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

 

Вариант 2

1. Нарисуйте фигуру, которая получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, перпендикулярной его боковой стороне и проходящей через вершину, лежащую против основания. Как можно получить эту фигуру из конусов?

2. В сферу вписан усеченный конус, радиусы оснований которого равны 15 см и 24 см, высота равна 27 см. Найдите радиус сферы.

3. Образующая конуса равна 20 см, радиус основания равен 16 см. Найдите радиус вписанной в конус сферы.

4. В основании прямой призмы лежит ромб. Сколько она имеет: а) осей симметрии; б) плоскостей симметрии? Назовите их.

5*. Прямая, проведенная через вершину прямого угла, образует с его сторонами углы 60⁰ и 45⁰. Найдите угол между этой прямой и плоскостью прямого угла.

 

11 класс

Контрольная № 1

Вариант 1

1. Докажите, что уравнение: а) 8x²+3y²=48; б) 25x²+4y²=16 задает на плоскости эллипс. Найдите его большую и малую полуосей.

2. Определите, какая фигура получится при вращении: а) правильной пятиугольной пирамиды вокруг ее высоты; б) прямой призмы, в основании которой лежит трапеция, вокруг ее бокового ребра.

3. Найдите объем цилиндра, высота которого равна 5 см, если известно, что при увеличении высоты цилиндра на 4 см, его объем увеличивается на 36 см³.

4. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого относятся как 5:2. Диагонали параллелепипеда равны 17 см и 10 см. Найдите объем параллелепипеда.

5*. Около октаэдра описан цилиндр. Две вершины октаэдра лежат в центрах оснований цилиндра, а остальные четыре – на боковой поверхности цилиндра. Найдите объем цилиндра, если ребро октаэдра равно a.

 

Вариант 2

1. Для параболы, заданной уравнением y= x² найдите: а) координаты фокуса; б) уравнение директрисы.

2. Определите, какая фигура получится при вращении: а) правильной призмы вокруг прямой, соединяющей центры ее оснований; б) пирамиды, в основании которой лежит ромб и вершина проектируется в точку пересечения его диагоналей.

3. В цилиндре через середину радиуса основания перпендикулярно ему проведено сечение. В сечении получился квадрат площадью 16 см². Найдите объем цилиндра.

4. В основании прямого параллелепипеда лежит ромб, диагонали которого равны 1 дм и 7 дм. Диагонали параллелепипеда относятся как 13:37. Найдите объем параллелепипеда.

5*. В прямую призму, основанием которой является равнобедренная трапеция, вписан куб таким образом, что его вершины лежат в серединах сторон оснований призмы. Найдите объем призмы, если ребро куба равно a.

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. Найдите объем наклонной призмы, в основании которой лежит правильный шестиугольник со стороной 4 см. Боковое ребро призмы, равное 5 см, наклонено к плоскости основания под углом 60⁰.

2. Основанием пирамиды является прямоугольный треугольник с катетами a и a . Найдите объем пирамиды, если каждое ее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 30⁰.

3. Высота конуса равна 12 см, периметр осевого сечения – 36 см. Найдите объем конуса.

4. Найдите объем правильной усеченной пирамиды, если радиусы описанных около ее оснований окружностей равны 2 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30⁰.

5*. Основанием наклонного параллелепипеда является прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см, боковое ребро равно 2 см и образует со смежными сторонами основания углы по 60⁰. Найдите объем параллелепипеда.

 

Вариант 2

1. В основании наклонной призмы лежит равнобедренная трапеция с основаниями 5 см и 9 см и острым углом 45⁰. Найдите объем призмы, если ее боковое ребро, равное 7 см, наклонено к плоскости основания под углом 30⁰.

2. Основанием пирамиды является равнобедренный треугольник, у которого основание равно 12 см, а боковая сторона – 10 см. Найдите объем пирамиды, если каждая ее боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 45⁰.

3. Площадь осевого сечения равностороннего конуса равна Q . Найдите объем конуса.

4. Найдите объем правильной треугольной усеченной пирамиды, если радиусы вписанных в ее основания окружностей равны 1 см и 2 см, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30⁰.

5*. Основанием наклонного параллелепипеда является квадрат со стороной 15 см. Боковое ребро, равное 14 см, образует с прилежащими сторонами основания равные острые углы. Расстояние между соответствующими сторонами двух оснований равно 10 см. Найдите объем параллелепипеда.

 

 

 

Контрольная работа № 3

Вариант 1

1. Шар пересечен плоскостью, отстоящей от его центра на расстояние 8 см. Найдите объем шара, если площадь сечения равна 36 см².

2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, делит окружность основания в отношении 1:5. Площадь образовавшегося сечения равна 10 см². Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

3. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь осевого сечения равна q.

4. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 3 см и 4 см, вращается вокруг гипотенузы. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения.

5*. Радиус шара равен 25 см. Найдите площадь поверхности частей шара, на которые он делится сечением площадью 49 см².

 

Вариант 2

1. Сечение шара плоскостью, которая отстоит от его центра на 3 см, имеет радиус, равный 4 см. Найдите объем шара.

2. Плоскость, параллельная оси цилиндра, отстоит от нее на расстоянии 9 см. Образующая цилиндра равна 10 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если площадь образовавшегося сечения равна 240 см².

3. Расстояние от центра основания равностороннего конуса до его образующей равно a. Найдите площадь полной поверхности конуса.

4. Прямоугольный треугольник, катеты которого равны 5 см и 12 см, вращается вокруг оси, параллельной меньшему катету, проходящей через вершину прямого угла и лежащей в плоскости треугольника. Найдите объем и площадь поверхности тела вращения.

5*. Радиусы оснований шарового пояса равны 10 см и 12 см, высота пояса равна 11 см. Найдите площадь поверхности данного шарового пояса.

 

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Найдите координаты точки:

а) симметричной точке A(-1,2,-3) относительно начала координат;

б) относительно которой симметричны точки M(2,-4,7) и N(-1,6,-10);

в) симметричной точке K(3,-8,9) относительно координатной плоскости Oyz.

2. Найдите координаты точки, принадлежащей оси Ox и равноудаленной от точек A(-4,0,6) и B(1,2,-10).

3. Найдите координаты конца вектора (12,-3,5), если M(1,2,-8).

4. В параллелепипеде A…D₁, найдите:

а) ; б) .

5*. Дан треугольник ABC, M – точка пересечения его медиан, O – произвольная точка пространства. Докажите, что выполняется следующее равенство: .

Вариант 2

1. Найдите координаты точки:

а) относительно которой симметричны точки K(8,-5,11) и L(-6,10,0);

б) симметричной точке B(3,-5,-2) относительно точки N(6,0,-3);

в) симметричной точке M(-1,2,-4) относительно координатной плоскости Oxz.

2. Найдите координаты точки, принадлежащей оси Oz и равноудаленной от точек C(4,5,0) и D(-2,3,6).

3. Найдите координаты начала вектора (7,-1,4), если F(0,6,-11).

4. В параллелепипеде A…D₁, найдите:

а) ; б) .

5*. В пространстве даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁; M и M₁ – соответствующие точки пересечения их медиан. Докажите, что .

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1. Найдите скалярное произведение векторов (-3,-1,2) и (5,-2,7) и угол между ними.

2. При каком значении m векторы (3m ) и ( ) перпендикулярны, если (3,0,-6), (1,-2,5).

3. Запишите уравнение плоскости, если она:

а) перпендикулярна оси Oz и проходит через точку A(0,0,-2);

б) параллельна плоскости Oxz и проходит через точку B(1,-3,2).

4. Найдите угол между плоскостями 2x+3y+6z+5=0 и

4x+4y+2z-7=0.

5*. Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора (-1,3,-2). В момент времени t=0 она имела координаты (4,0,-5). Найдите ее координаты в момент времени t=3.

 

Вариант 2

1. Найдите их скалярное произведение и угол между векторами (2,4,-4) и (-1,3,4).

2. При каком значении t векторы 5 и 2 перпендикулярны, если (2,-5,1), (0,3,-2).

3.Запишите уравнение плоскости, если она:

а) перпендикулярна оси Oy и проходит через точку C(0,4,0);

б) параллельна плоскости Oyz и проходит через точку D(2,1,-3).

4. Найдите угол между плоскостями 2x-y+2z-7=0 и 4x-3y+5=0.

5*. Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени t=1 она имела координаты (2,-3,4), а в момент времени t=3 – координаты (-1,4,-2). С какой скоростью движется точка?

 

Контрольная работа № 6

Вариант 1

1. Изобразите в полярной системе координат точки: а) A(2, ); б) B(3,- ); в) C( ,- ).

2. Постройте кривую, заданную уравнением r = sin 2.

3. Найдите декартовы координаты точек пространства, заданных своими сферическими координатами: а) (1,-45⁰,270⁰); б) (3,120⁰,-90⁰).

4. Найдите сферические координаты точек пространства, заданных своими декартовыми координатами:

а) (0, ,- ); б) (-1,0, ).

5*.Изобразите в полярной системе координат кривую r = cos 2.

Вариант 2

1. Изобразите в полярной системе координат точки: а) K(1, ); б) L(4,- ); в) M(-1, ).

2. Постройте кривую, заданную уравнением r = 2sin 2.

3. Найдите сферические координаты точек пространства, заданных своими декартовыми координатами:

а) (- ,- ,-3 ); б) (- ,- ,1).

4. Найдите декартовы координаты точек пространства, заданных своими сферическими координатами: а) (2,135⁰,-180⁰); б) (1,-60⁰,150⁰).

5*.Изобразите в полярной системе координат кривую r = cos 3.

 

ГУМАНИТАРНЫЕ КЛАССЫ

10-11 классы

Контрольная работа № 1

Вариант 1

1. Прямые a и b пересекаются. Докажите, что прямая c, пересекающая их в двух различных точках, лежит с ними в одной плоскости.

2. Можно ли провести через точку пересечения диагоналей прямоугольника прямую, которая не пере­секает его сторон?

3. Сторона AC треугольника ABC лежит в плос­кости α. Вершина B не принадлежит этой плоскости. До­кажите, что прямая, проходящая через середины сто­рон AB и BC, параллельна плоскости α.

4. Через точку K, не лежащую между параллель­ными плоскостями a и β, проведены прямые a и b. Прямая a пересекает плоскости a и β в точках A₁ и A₂ соответственно, прямая b - в точках B₁ и B₂. Найдите отрезок B₁B₂, если A₂B₂:A₁B₁=9:4, KB₁=8см.

5*. Докажите, что если плоскость пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

 

Вариант 2

1. Даны четыре точки, три из которых принад­лежат одной прямой. Докажите, что все данные точки принадлежат одной плоскости.

2. Можно ли через вершину треугольника про­вести прямую, которая не лежит в его плоскости?

3. Через основание AD трапеции ABCD проведена плоскость . Основание BC не лежит в плоскости . Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон AB и CD, параллельна плоскости .

4. Через точку M, лежащую между параллельными плоскостями  и , проведены прямые a и b. Прямая a пересекает плоскости  и  в точках A₁ и A₂ со­ответственно, прямая b - в точках B₁ и B₂. Найдите отрезок MB₂, если A₁B₁:A₂B₂=3:4, B₁B₂=14 см.

5*. Докажите, что если прямая пересекает одну из параллельных плоскостей, то она пересекает и другую плоскость.

 

Контрольная работа № 2

Вариант 1

1. На изображении квадрата ABCD постройте: а) изображение центра описанной около квадрата окруж­ности; б) изображение прямой, проведенной через вершину B параллельно диагонали AC.

2. Верно ли утверждение, что прямая, лежащая в одной из двух параллельных плоскостей, парал­лельна другой плоскости?

3. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 12 см. Точка K находится на равном расстоя­нии от его вершин и удалена от плоскости треуголь­ника на 4 см. Найдите: а) длину проекции отрезка KA на плоскость треугольника; б) расстояние от точки K до вершины треугольника.

4. Из точек A и B, принадлежащих двум перпендику­лярным плоскостям, проведены в них перпендикуляры AC и BD к линии пересечения плоскостей. Найдите отрезок AB, если AC=12 см, BD=15 см, CD=16 см.

5*. Докажите, что плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости.

 

Вариант 2

1. На изображении равностороннего треугольни­ка ABC постройте: а) изображение высоты данного треугольника, проведенной к стороне BC; б) изобра­жение биссектрисы угла C данного треугольника.

2. Прямые a и b расположены соответственно в плоскостях α и β. Верно ли утверждение, что эти прямые не имеют общих точек?

3. Сторона квадрата ABCD равна 8см. Точка M удалена от каждой его вершины на 16 см. Найдите: а) проекцию отрезка MA на плоскость квадрата; б) расстояние от точки M до плоскости квадрата.

4. Из точек M и K, принадлежащих двум перпендику­лярным плоскостям, проведены в них перпендикуляры MC и KD к линии пересечения плоскостей. Найдите отрезок СD, если MC=8 см, KD=9 см, MK=17 см.

5*. Докажите, что плоскость, пересекающая одну из параллельных плоскостей под углом , пересекает и другую под тем же углом .

Контрольная № 3

Вариант 1

1. Вычислите площадь поверхности икосаэдра, ребро которого равно a.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 8 см, сторона ее основания - 12 см. Найдите: а) боковое ребра; б) площадь боковой по­верхности пирамиды.

3. Боковое ребро MA пирамиды MABC перпендику­лярно плоскости ее основания; AB=AC=a; BAC=2. Угол между плоскостью MBC и плоскостью основания равен . Найдите расстояние от вершины пирамиды до прямой BC.

4*. Сторона основания правильной шестиуголь­ной призмы равна a, наибольшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом . Най­дите высоту призмы.

 

Вариант 2

1. Вычислите площадь поверхности октаэдра, ребро которого равно a.

2. Высота правильной треугольной пирамиды равна 4 см. Радиус окружности, описанной около ее основания, равен 8 см. Найдите: а) боко­вое ребро; б) площадь боковой поверхности пирами­ды.

3. Основанием пирамиды MABCD является квад­рат, сторона которого равна a. Боковое ребро MD перпендикулярно плоскости основания. Угол между плоскостью грани MAB и плоскостью основания равен α. Найдите расстояние от вершины пирамиды до пря­мой AC.

4*. Сторона основания правильной шестиуголь­ной призмы равна a, наименьшая диагональ призмы наклонена к плоскости основания под углом . Най­дите высоту призмы.

Контрольная работа № 4

Вариант 1

1. Образующая конуса равна 18 см. Угол между образующей и плоскостью основания 60⁰. Найдите вы­соту и площадь основания конуса.

2. Высота цилиндра равна h, радиус его осно­вания R. Через хорду основания проведена плос­кость, параллельная оси цилиндра. Угол между ради­усами, проведенными в концы хорды, равен 2. Най­дите площадь сечения.

3. Назовите элементы симметрии правильной че­тырехугольной пирамиды.

4*. Какими свойствами должен обладать усечен­ный конус, чтобы в него можно было вписать шар?

 

Вариант 2

1. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 32 см и наклонена к плоскости его основания под углом 30⁰. Найдите высоту и площадь основания ци­линдра.

2. Через вершину конуса, высота которого рав­на h, проведено сечение. Угол между плоскостями сечения и основания равен . Угол при вершине се­чения равен 2. Найдите радиус основания конуса.

3. Назовите элементы симметрии правильной шестиугольной пирамиды.

4*. Какими свойствами должна обладать пирамида, чтобы в нее можно было вписать сферу?

 

Контрольная работа № 5

Вариант 1

1. Основанием прямого параллелепипеда являет­ся ромб, диагонали которого равны 24 см и 10 см. Угол между меньшей диагональю параллелепипеда и плоскостью основания равен 45⁰. Найдите: а) объем параллелепипеда; б) его большую диагональ.

2. Длина окружности сечения шара плоскостью, удаленной от его центра на 3 см, равна 6π см. Най­дите объем и площадь поверхности шара.

3. Угол между плоскостью сечения прямого кру­гового конуса, проходящей через его вершину, и плоскостью его основания равен . Хорда, являющая­ся основанием сечения, равна 2a и удалена от цент­ра основания конуса на расстояние, равное a. Най­дите: а) объем конуса; б) площадь его боковой по­верхности.

4*. Равнобедренный треугольник с углом при вершине 2 вращается вокруг прямой, параллельной его основанию и проходящей через его вершину. Вы­сота треугольника, проведенная к его основанию, равна h. Найдите: а) объем фигуры вращения; б) площадь ее поверхности.

 

Вариант 2

1. Основание прямой призмы A...C₁ - равнобед­ренный треугольник, в котором AB=AC=17 см, BC=8 см. Угол между плоскостью, содержащей прямую BC и вершину A₁, и плоскостью основания равен 30⁰. Найдите: а) объем призмы; б) площадь сечения призмы указанной плоскостью.

2. Площадь сечения шара плоскостью равна 36 см². Радиус шара, проведенный в точку окружности сечения, составляет с его плоскостью угол 45⁰. Найдите объем и площадь поверхности шара.

3. Диагональ сечения прямого кругового ци­линдра плоскостью, параллельной его оси, равна 2a и наклонена к плоскости основания под углом . Расстояние от оси цилиндра до плоскости сечения равно a. Найдите: а) объем цилиндра; б) площадь его полной поверхности.

4*. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см вращается вокруг своей гипотенузы. Найдите: а) объем фигуры вращения; б) площадь ее поверхности.

Контрольная работа № 6

Вариант 1

1. Запишите разложение по координат­ным векторам векторов: а) (7,3,-6); б) (0,-1,4); в) (-1,0,4); г) (0,0,-2).

2. Найдите угол φ между векторами (1,2,-4) и (0,-1,3).

3. Найдите точку, расположенную в плоскостях Oyz и 7x+3y-5z-3=0 и имеющую координату z=3.

4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку M (2,1,5).

5*. Под действием силы (1;-2;2 ), приложенной под углом 60⁰ к направлению перемещения, тело переместилось на 10. Вычислите выполненную этой силой работу.

 

Вариант 2

1. Даны векторы (2,-1,4) и (3,0,-2). Най­дите координаты векторов: а) 5 ; б) 3 - ; в) 2 +5 .

2. Найдите угол φ между векторами (3,2,-2) и (0,4,4).

3. Найдите точку, расположенную в плоскостях 2x+5y+6z+4=0 и плоскости Oxy, имеющую ординату, равную 2.

4. Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Oz и точку N (4,-2,3).

5*. Три силы (4,-5,2), (1,0,-1), (-1,6,-3) приложены к одной точке. Вычислите, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения M₁(4,3,2), двигаясь пря­молинейно, перемещается в точку M₂(7,5,-3).

 

ОТВЕТЫ

 

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ КЛАССЫ

10 класс

1

В1. 1. Да. 2. а) BC; б) EF. 4. 4. 5*. 10. В2. 1. Да. 2. а) BC; б) AF. 4. 6. 5*. 10.

 

2

В1. 1. Прямая c может быть параллельна прямым a и b; может пересекать каждую из прямых a и b; может скрещиваться с каждой из них. 3. а) Параллельны или скрещиваются с b; б) пересекаются, параллельны или скрещиваются с b; в) пересекаются или скрещиваются с b. 4. SA₂ = 15 см; SB₂ = 18 см; A₁C₁ = 4 см. 5*. а) 10; б) 15. В2. 1. Прямая a может пересекать прямые m и n в точке их пересечения или в различных точках данных прямых; может пересекать одну из них и быть параллельной другой; может скрещиваться с каждой из них. 3. а) c пересекается или скрещивается с a; б), в) пересекается, параллельна или скрещивается с a. 4. BC = . 5*. а) 10; б) 15.

 

3

В1. 1. а) ; б) ; в) . 3. a(2+ ). В2. 1. а) ; б) ; в) . 3. .

 

4

В1. 1. 90⁰. 2. Прямоугольные. 3. Угол KLM – тупой. В2. 1. 90⁰. 2. Треугольник DEK тупоугольный, остальные прямоугольные. 3. Угол H или угол P – прямой.

 

5

В1. 1. 30⁰. 2. 1 см. 3. . 4. 40⁰. В2. 1. 60⁰. 2. . 3. . 4. 105⁰.

 

6

В1. 1. а) Да; б) нет. 2. 45⁰. 4. . В2. 1. а) Да; б) нет. 2. 90⁰. 4. .

 

11 класс

1

В1. 1. 64 см². 2. . 3. . 4. Боковое ребро такой призмы равно 4,8 см; радиус равен 2,4 см. В2. 1. 17 см. 2. . 3. 1,5 дм. 4. Высота такой призмы равна 6 см; радиус равен 3 см. 5*. В центре основания пирамиды.

 

2

В1. 2. 6 см. 3. R, 2R. 4. а) 3; б) 3. 5*. 14 см. В2. 2. 25 см. 3. см. 4. а) 3; б) 3. 5*. 30⁰.

 

3

В1. 1. см³. 2. 48 дм³. 3. . 4. 100 см³. 5*. . В2. 1. p см³. 2. 360 дм³. 3. 48 см³. 4. . 5*. .

 

4

В1. 1. 1:4. 2. . 3. 20 см². 4. 8 дм². 5*. 32 см². В2. 1. . 2. . 3. дм². 4. 8 см². 5*. 117 см².

 

5

В1. 1. а) 1; б) ; в) . 2. а) (5,-6,2); б) (-2 ,3,-1); в) (25,-30,10). 3. . 4. 2x – y – z – 13 = 0. 5*. (1,9,-11). В2. 1. а) ; б) 3; в) . 2. а) (6,2,-1); б) (-3,-1,- ); в) (12,-4,2). 3. cos = - . 4. 10x – 13y +4z + 60 = 0. 5*. .

 

ЕСТЕСТВЕННО-НАУЧНЫЕ КЛАССЫ

10 класс

1

В1. 4. а) 5; б) 10. 5*. . В2. 4. а) 9; б) 18. 5*. a.

 

3

В1. 2. 90 . 3. 9 см. 4. см. 5*. 105 . В2. 2. 90 . 3. 5 см. 4. 6 см. 5*. 45 .

 

4

В1. 1. 2,5 см. 2. = Вm, Р = Вm, Г = 2 – В + Вm. 3. В’ = В + 1, Р’ = Р + n, Г’ = Г + n – 1. 4. . В2. 1. 3 см. 2. = Гn, Р = Гn, В = 2 – Г + Гn. 3. В’ = В + m – 1, Р’ = Р + m, Г’ = Г + 1. 4. . 5*. Нет.

 

5

В1. 1. 64 см². 2. . 3. a. 4. 4,8 см, 2,4 см. В2. 1. 17 см. 2. . 3. 1,5 дм. 4. 6 см, 3 см. 5*. В центре основания пирамиды.

 

6

В1. 2. 6 см. 3. R, 2R. 4. а) Три оси, проходящие через центры противоположных граней; б) три плоскости, проходящие через середины параллельных ребер. 5*. 14 см. В2. 2. 25 см. 3. 5 см. 4. а) Три оси (одна проходит через центры оснований, две другие – через середины противоположных боковых ребер); б) три плоскости, каждая из которых проходит через две из трех осей симметрии. 5*. 30 .

 

11 класс

1

В1. 1. а) , 4; б) 0,8, 2. а) Конус; б) цилиндр. 3. 45 см³. 4. 360 см³. 5*. a³. В2. 1. а) F(0;2); б) y = -2. 2. а) Цилиндр; б) конус. 3. 21 см³. 4. 8,4 дм³. 5*. 2a³.

2

В1. 1. 180 см³. 2. . 3. 100 см³. 4. 63 см³. 5*. 24 см³. В2. 1. 49 см³. 2. 48 см³. 3. . 4. 14 см³. 5*. 450 см³.

 

3

В1. 1. 1333 см³. 2. 20 см². 3. . 4. 9,6 см³, 16,8 см². 5*. 2450 см², 50 см². В2. 1. 166 см³. 2. 750 см². 3. 4 a². 4. 480 см³, 420 см². 5*. 275 см².

 

4

В1. 1. а) (1,-2,3); б) ( ,1,- ); в) (-3,-8,9). 2. (8 ,0,0). 3. (13,-1,-3). 4. а) ; б) . В2. 1. а) (1, , ); б) (9,5,4); в) (-1,-2,-4). 2. (0,0, ). 3. E(-7,7,-15). 4. а) ; б) .

 

5

В1. 1. 1, cos = . 2. -1 . 3. а) z + 2 = 0; б) y + 3 = 0. 4. cos = . 5*. (1,9,-11). В2. 1. –6, cos = - . 2. -1 . 3. а) y – 4 = 0; б) x + 3 = 0. 4. cos = . 5*. .

 

6

В1. 3. а) ( , 0, ); б) (- , 0, - ). 4. а) (2, -45 , 45 ); б) (2, 60 , 0 ). В2. 3. а) (3, -135 , -60 ); б) (2, 30 , -120 ). 4. а) (0,-2,- ); б) ( ,- ,- ).

 

ГУМАНИТАРНЫЕ КЛАССЫ

10-11 классы

1

В1. 2. Да. 4. 10 см. В2. 2. Да. 4. 8 см.

 

2

В1. 2. Да. 3. а) 4 см; б) 8 см. 4. 25 см. В2. 2. Нет. 3. а) 4 см; б) 4 см. 4. 12 см.

 

3

В1. 1. 5 a². 2. а) 2 см; б) 240 см². 3. a. 4*. 2a×tga. В2. 1. 2 a². 2. а) 4 см; б) 120 см². 3. a . 4*. a tga.

 

4

В1. 1. см, 81 см². 2. 2Rhsin . 3. Одна ось симметрии 4-го порядка, четыре плоскости симметрии. 4*. Сумма радиусов оснований равна удвоенной образующей. В2. 1. 16 см, 192 см². 2. . 3. Одна ось симметрии 6-го порядка, шесть плоскостей симметрии. 4*. Биссектральные плоскости двугранных углов, образованные соседними боковыми гранями, пересекаются по одной прямой.

 

5

В1. 1. а) 1200 см³; б) 26 см. 2. 72 см³, 72 см². 3. а) a³tg ; б) a² . 4*. а) h³tg ; б) 2 h²tg . В2. 1. а) 364 см³; б) 8 см². 2. 576 см³, 288 см². 3. а) 2 a³sin (1+cos² ); б) 4 a²sin . 4*. а) см³; б) см².

 

6

В1. 1. а) ; б) ; в) ; г) . 2. cos = . 3. (0,6,3). 4. 5y – z = 0. 5*. 25. В2. 1. а) (10,-5,20); б) (3,-3,14); в) (19,-2,2). 2. 90 . 3. (-7,2,0). 4. x + 2y = 0. 5*. 4.

Конец формы