"Множества. Операции над множествами"

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 80 часов Дифференцированный зачет

Исторические предпосылки

• Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления были заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н. э.)

Аристотель

• -обстоятельно исследовал терминологию логики
• - подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств
• -описал ряд логических операций
• -сформулировал основные законы мышления

• Логика - наука, изучающая законы и формы мышления; учение о способах рассуждений и доказательств

• Математическая логика — раздел математики, посвящённый изучению математических доказательств и вопросов оснований математики

Зарождение математической логики

• Логическая абстракция (перенос математических действий на нематематические объекты)

Практические задачи по математике

Математическая абстракция

(арифметические примеры)

Логическая абстракция (перенос математических действий на нематематические объекты

• Основная идея математической логики - формализация знаний и рассуждений

Определение формальной системы :

• 1) Задан алфавит (множество символов, используемых для построения формул).
• 2) Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными).

• 3) Выделено множество формул, называемых аксиомами.
• 4) Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Определение формальной стереометрической системы :

• 1) Задан алфавит: точка, прямая, плоскость
• 2) Определено, какие именно строки считать формулами:
• -точка принадлежит прямой;
• -прямые пересекаются
• -прямая не пересекает плоскость
• …

• 3) Выделено множество формул, называемых аксиомами:
• -какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие на ей и точки, не принадлежащие ей
• -если две прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и притом только одну

• 4) Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу.

Доказательство теорем:

-через три точки, не лежащих на одной прямой можно провести плоскость и притом только одну.

Определение формальной тригонометрической системы :

• 1) Задан алфавит: sinx, cosx, tgx, ctgx,
• 2) Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными)
• -определения тригонометрических функций острого угла прямоугольного треугольника
• -sin, cos… или sosx-бессмысленные записи

• 3) Выделено множество формул, называемых аксиомами:
• -тригонометрическая окружность с радиусом, равным 1

• 4) Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу:
• sin²x+cos²x=1
• sinx/cosx=tgx…

Определение формальной лингвистической системы :

• 1) Задан алфавит: а, б, в, г, д….
• 2) Определено, какие именно строки считать формулами- слова (остальные строки считаются просто бессмысленными)
• -лес, поле-имеют лексическое значение
• -сле, олеп-бессмысленны

• 3) Выделено множество формул, называемых аксиомами:
• -слово имеет корень, приставку, суффикс и окончание
• 4) Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) правила образования и написания слов:
• -приехавшие
• -дома (проверочное слово дом)
• -ключик (образовано от слова ключ с помощью суффикса ик)

• Приведите свои примеры

Доказательства

• С появлением во второй половине XX веке компьютеров особое значение приобрело применение методов математического доказательства для проверки и синтеза программ и было установлено структурное соответствие.

Множества

• Определение формальной теоретико-множественной системы

Дискретная математика

• Дискретная математика – область математики, занимающаяся изучением свойств структур конечного характера, которые возникают как внутри математики, так и в её приложениях.
• Дискретная (конечная) математика – это раздел математики, не связанный с понятиями предела, непрерывности и бесконечности

Определение множества и его элементов

• Множество -совокупность объектов, обладающих общим свойством.
• Объекты, из которых составлено множество, называются элементами множества.
• Множества обычно обозначают большими латинскими буквами (например:   A,   S,   D ), а их элементы    - строчными (например:   a,   s,   d ).

ПРИМЕРЫ МНОЖЕСТВ

• 1.      Множество N  - множество натуральных чисел.
• 2.     Множество L  - множество букв русского алфавита.
• Множество не, содержащие элементов называется пустым.

ЗАДАНИЕ МНОЖЕСТВ

• 1.      Перечисление элементов: 
• P={точка, прямая, плоскость, тело}, 
• S={0,1,2}.
• 2.     Задание характеристического свойства: 
• L={n|n N и n

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

ОБЪЕДИНЕНИЕ

• Объединение двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А или множеству В.
• Обозначение: А В.
• А В={x| х А   или х В}.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ

• Пересечение двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А и множеству В .
• Обозначение: А В.
• А В={x| х А   и х В}.

РАЗНОСТЬ

• Разность двух множеств А и В – это новое множество, элементами которого являются элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В.
• Обозначение: А \ В.
• А \ В={x| х А   и х В}.

ВКЛЮЧЕНИЕ

• Множество В содержится во множестве А (множество А включает множество В, множество В является подмножеством А), если каждый элемент множества В является элементом множества А.

• Обозначение: В А.

УНИВЕРСУМ И ПУСТОЕ МНОЖЕСТВО

• Универсальное множество (универсум) U - множество, содержащее все элементы рассматриваемой задачи: элементы всех множеств задачи и элементы, не входящие в них.
• Пустое множество Ø - множество, не содержащее ни одного элемента рассматриваемой задачи.

• Диаграммы Эйлера-Венна -наглядное средство для работы со множествами.
• На этих диаграммах изображаются все возможные варианты пересечения множеств.

Назовите элементы пересечения множеств с помощью характеристического свойства

Определение формальной теоретико-множественной системы :

• 1) Задан алфавит:
• -элементы, множества
• 2) Определено, какие именно строки считать формулами (остальные строки считаются просто бессмысленными)
• -общее свойство
• -перечисление элементов

• 3) Выделено множество формул, называемых аксиомами:
• -операции над множествами
• -круги Эйлера
• 4) Задано множество правил вывода, которые позволяют из некоторой формулы (или множества формул) получать новую формулу:
• -решение задач