План-конспект урока: "Понятие первообразной"

Разработала: Серевко Ирина Дмитриевна

учитель математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Школа-лицей №2» города Армянска Республики Крым

План-конспект урока

"Понятие первообразной"

Предмет: алгебра и начала математического анализа.

Класс: 11. : «Алгебра и начала математического анализа. 11

УМКкласс»

Авторы УМК: С. М. Никольский, М. К. Потапов , Н.Н.Решетников,А.В.Шевкин.

Тип урока: Урок первичного представления новых знаний

Оборудование: УМК «Алгебра и начала математического анализа. 11 класс» С. М. Никольский, М. К. Потапов , Н.Н.Решетников,А.В.Шевкин, ноутбук, проектор, листы самооценки.

Цели:

-Сформировать представление о понятии "первообразная", способствовать формированию умений применять полученные знания в новой ситуации. Установить связь между производной и первообразной, формировать умение проверять является ли данная функция первообразной для другой, заданной на некотором числовом промежутке функции.

-развивать навыки мыслительной деятельности при анализе и структурировании учебного материала

-Способствовать привитию культуры умственного труда, воспитывать организованность и сосредоточенность

План урока

1. Организационный этап.

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

3. Актуализация знаний через обсуждение заданий на установление связи между производной и первообразной.

4. Введение определение первообразной.

5. Формирование умения проверять, является ли данная функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции или не является.

6. Усвоение определения первообразной через выполнение примеров.

7. Постановка домашнего задания, инструктаж о его выполнении.

8. Подведение итогов через постановку вопросов, рассматриваемых на этапах урока. Рефлексия.

Ожидаемые результаты обучения:

ученик должен

Знать:

• определение первообразной

• первообразная определяется неоднозначно.

Уметь:

• находить первообразные функции в простейших случаях

• проверять, является ли первообразная для функции на данном промежутке Х.

Ход урока

1. Организационный этап.

Обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению

2. Постановка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

А) Один ученик записывает решение домашней задачи на доске.

Найти закон изменения скорости v(t), для материальной точки, движущейся прямолинейно по закону х=t²-3t ,в момент времени t=4с.

Решение.

Применив механический смысл производной v(t)=х´(t), v(t)=2t-3, v(4)=2·4-3=5(м/с).

Ответ : 5м/с.

Вопрос 1: С помощью, какой операции решали эту задачу?

Ответ: С помощью операции дифференцирования.

Вопрос 2: Можем ли мы составить задачу, когда скорость движения постоянна и известна, найти длину пути в предложенный момент времени?

Ответ: Да. например такая задача. Эта задача обратная задаче предыдущей.

Найти закон, по которому движется материальная точка. Известно, что ее скорость меняется по закону v(t)= 2t-3.

Вопрос 3:Можем ли мы решить предложенную задачу, тесть найти функцию по ее производной?

Ответ: Затрудняюсь ответить. Скорее да, с помощью операции обратной операции дифференцирования.

Совершено, верно. Такая операция существует, и ее называют операцией интегрирования. И так в нашей задаче возникла необходимость найти образ функции по виду ее производной. То есть найти первообразную.

Учитель: Из всего того, что мы сегодня повторили тема урока связанная с…

Ответ ученика: С интегрированием, операцией обратной операции дифференцирования.

Первообразной.

Учитель: Да именно так. Тема нашего сегодняшнего урока «Понятие первообразной»

3. Актуализация знаний через обсуждение заданий на установление связи между производной и первообразной.

(Слайд 4 –Найти производные функций) - устные упражнения

Давайте вспомним, какие мы уже знаем взаимнообратные операции в математике. (Слайд 6)

4. Введение определение первообразной.

Свое объяснение я начну не с математики, а из примера из жизни. Допустим у вас есть лёд. И вам требуется получить из него воду.

вода

нагрев лёд охлаждение

Что вы для этого будете делать? Конечно же вам нужно нагреть лёд и когда он растает и превратится в воду – это действие называется нагрев.

Теперь вас снова попросили получить лёд. Что будете делать? Конечно же охлаждать воду. После того как температура воды опустится до отметки ниже нуля вода превратится в лёд. И процесс этот называется охлаждение. Думаю процесс вам понятен. Теперь посмотрим на подобные процессы рассуждения с точки зрения математиков. Допустим, вам дана функция F(х), и для конкретности допустим F(х)=х³

F´(х)-производная f(х)=3х² F(х)-первообразная,

дифференцирование F(х)=х³ интегрирование

Вас попросили найти производную этой функции f(х) Что вы будете делать, вы будете дифференцировать функцию F(х)=х³ и найдете ее производную f(х)=3х².А теперь попробуйте ответить на вопрос: От какой функции надо взять производную и в результате получить функцию f(х)=3х².Кто не догадался это F(х)=х³.И если предыдущая операция называлась дифференцированием то обратный процесс – интегрированием. В результате мы получили два основных понятия: дифференцирование и интегрирование.

Пояснение в сравнении (слайд 7)

Определение производной (слайд 8)

Функция у=F(x) называется первообразной функции у = f(x)  на некотором промежутке Х, если для всех x из этого промежутка выполняется равенство

F´(x) = f(x)  

Неоднозначность первообразной (слайд 9)

Это и есть основное свойство первообразных.

(Слайд 10-Таблица первообразных некоторых функций). Памятка для учащегося.

5.Формирование умения проверять, является ли данная функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции или не является.

ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

«Сядьте удобнее, закройте глаза. Представьте, что вы лежите на красивой поляне. Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох, пусть всё напряжение уходит. Вокруг зелёная трава  вдалеке большой лес, поют птицы. Светит яркое солнышко. Лицо стало тёплым и расслабилось. Сделайте глубокий вдох и медленно делайте выдох, пусть всё напряжение уходит. Ещё раз вдох и выдох... Вы чувствуете, как хорошо лежать и отдыхать, у вас открываются глаза, вы возвращаетесь к уроку полные сил и уверенности.

№6.5(В) стр.170 уч. С. М. Никольского. Ученик решает около доски вместе с классом.

Решение.

Доказать F(x)= - +с является первообразной для функции f(x)  = )

Доказательство

По определению первообразной должно выполняться условие F'(x) =f(x).

F'(x) =( - +с)´= - = - (- ) = .7 )=

Получили F'(x) =f(x), следовательно, функция F(x)= - +с является первообразной для функции f(x)  = ).

№6.2.г) стр.170 уч. С. М. Никольского. Ученики решают в парах и с последующим выставлением оценки в лист оценивания.

(слайд9) Доказать F(x)= является первообразной для функции f(x)  =х.

Доказательство

По определению первообразной должно выполняться условие F'(x) =f(x).

F'(x) = ´= (х²)´= .2х=х

Получили F'(x) =f(x), следовательно функция F(x)= является первообразной для функции f(x)  =х.

6.Усвоение определения первообразной через выполнение примеров.

Найти первообразную для функции f(x)  (слайд13)

№6.8.а,ж) стр.171 уч. С. М. Никольского. Ученик решает около доски вместе с классом

А) f(x

F(x) = * = +с

Ж) f(x

F(x)= = +с

№6.8.в) стр.171 уч. С. М. Никольского Ученики решают в парах и с последующим выставлением оценки в лист оценивания.

f(x =

F(x) = +с

№6.7.г) стр.171 уч. С. М. Никольского (слайд 13)

Для функции f(x)  = найти ту первообразную график которой проходит через точку А ( ;2)

Решение.

1.Д(f)=R.

2.Функция f(x)  = на Д(f) имеет первообразную F(x)= - +с.

Так как график первообразной проходит через точку А ( ;2) то должно выполнятся равенство 2=- +с.

2=0+с

с.=2

Поэтому F(x)= - +2.

Учащиеся решают в парах и заполняют таблицу ответов в оценочном листе. (Слайд12)

1.Первообразная для функции f(x)  =х+ является функция F(x):

А) F(x)= - +с В) F(x)= ⁺ ответ: б

Б) F(x)= + +с Г) ) F(x)= ^--

2. Данная функция F(x)= -3 +7 является первообразной для функции f(x)  :

С) f(x)  =4 -2х О) f(x)  = -3х +7

Р) f(x)  =4 -6х

3. Данная функция F(x)= является первообразной для функции f(x) :

А) f(x)= - +1 В) f(x)= -

Б) f(x)= 2 +1 Г) f(x)= - ответ: а

4. Ошибка при нахождении первообразной для функции f(x) = находится под буквой:

А) F(x)= tgх +4 ответ: в

Б) F(x)= tgх – 5 В) F(x)= - tgх +4

5. Какова функция интегрирования?:

О) вычисление первообразной ответ: о

С) вычисление производной

Ключевое слово БРАВО.

7. Постановка домашнего задания, инструктаж о его выполнении.

6.П.6.1Первообразная. Памятка.

1 уровень: №6.2(д), №6.7(б)

2 уровень: №6.5(а), №6.8.(б).

8. Подведение итогов через постановку вопросов, рассматриваемых на этапах урока. Рефлексия.

XI. Подведение итогов.

- Каждый ученик подсчитывает свои баллы и выставляет в оценочный лист оценку.

- Обучающиеся сдают учителю оценочный лист и решение дополнительных задач.

- Итак, вспомним, с каким новым понятием вы сегодня познакомились. Дайте определение. Как проверить, является ли данная функция первообразной для другой, заданной на некотором промежутке функции. Приведите пример.

Вернёмся к целям, поставленным в начале урока. Достигли мы их или нет? Какие трудности встречались?

XII. Рефлексия.

Обучающимся предлагается оценить свои знания, выбрав одну из фраз:

1 смайлик. Все понял (а), все успел (а)

2 смайлик. Частично не понял (а), не все успел(а)