Логарифмическая функция и её свойства

Содержание

• Сведения из истории
• Понятие логарифма
• Свойства логарифмов
• Примеры
• Понятие функции у = log a x
• Свойства логарифмической функции
• График логарифмической функции
• Свойства сравнения логарифмов
• Логарифмические уравнения
• Логарифмические неравенства

Сведения из истории

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц

геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, а извлечение корня степени n сводится к делению логарифма подкоренного выражения на n . Первым эту идею опубликовал в своей книге « Arithmetica integra » Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

.

Сведения из истории

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием « Описание удивительной таблицы логарифмов ». В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1'. Термин логарифм, предложенный Непером , утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов», изданной посмертно в 1619 году его сыном.

Слово логарифм происходит от греческого λόγοφ (число) и αρινμοφ (отношение) и переводится, следовательно, как отношение чисел.

«Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать».

Сведения из истории

Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, – резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т. е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений.

Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632).

Логарифмическая линейка

Часы Breitling Navitimer

Круговая логарифмическая линейка (логарифмический круг)

0 , b 0 log a b a = b - основное логарифмическое тождество " width="640"

Понятие логарифма

Логарифмом положительного числа b по положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число b

.

log a b = c , a c = b ; а ≠ 1 , a 0 , b 0

log a b

a = b

- основное логарифмическое тождество

Примеры

• log 2 8 =
• log 3 729 =
• log 0,2 25 =
• log 4 8 =
• log 2 2 =
• log 10 1 =
• log 49 1/7 =
• log 0,1 10000 =

3 , 2 3 = 8 ;

6 , 3 6 = 729 ;

-2 , (0,2) -2 = 25 ;

1,5 , 4 1,5 = 8 ;

1 , 2 1 = 2 ;

0 , 10 0 = 1 ;

-0,5 , 49 -0,5 = 1/7 ;

-4 , 0,1 -4 = 10000 .

Основные свойства логарифмов

• log a b m =
• log a k b m =
• log a b =
• log a b =
• log a b ∙ log c d =

=

• a log c b =

• log a 1 =
• log a a =
• log a =
• log a k a =
• log a a m =
• log a k a m =
• log a bc =
• log a =
• log a k b =

m log a b ;

0 ;

m

log a b ;

1 ;

k

log с b

1

-1 ;

;

a

log с а

1

;

1

k

;

log b а

m ;

m

;

k

log c b ∙ log a d

log a b + log a c ;

b log c a

b

log a b − log a с ;

c

1

log a b ;

k

0 , х 0 называют логарифмической функцией . " width="640"

Понятие логарифмической функции

Функцию вида

y = log a х , где а ≠ 1 , a 0 , х 0

называют

логарифмической функцией

.

0 D(y) = (0; +∞), E(y) = (-∞; +∞). а) Нули функции: у = 0 при х = 1 ; б) точек пересечения с осью ординат нет . а) При а 1 функция возрастает на (0; +∞); б) при 0 функция убывает на (0; +∞). Ни четная функция, ни нечетная. Не ограничена сверху, не ограничена снизу. Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Непрерывна. а) При а 1 функция выпукла вверх; б) при 0 функция выпукла вниз. Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции. " width="640"

Свойства логарифмической функции y = log а х, а ≠ 1, a 0

• D(y) = (0; +∞),

E(y) = (-∞; +∞).

• а) Нули функции: у = 0 при х = 1 ;

б) точек пересечения с осью ординат нет .

• а) При а 1 функция возрастает на (0; +∞);

б) при 0 функция убывает на (0; +∞).

• Ни четная функция, ни нечетная.

• Не ограничена сверху, не ограничена снизу.

• Не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

• Непрерывна.

• а) При а 1 функция выпукла вверх;

б) при 0 функция выпукла вниз.

• Ось у является вертикальной асимптотой графика логарифмической функции.

0 y = log а х, 0 y = log a х, а 1 у у х х 0 0 1 1 " width="640"

График логарифмической функции y = log а х, а ≠ 1, a 0

y = log а х, 0

y = log a х, а 1

у

у

х

х

0

0

1

1

0 " width="640"

Графики логарифмической функции y = log а х, а ≠ 1, a 0

0 Если 0 и 0 1 2 , то log a x 1 log a x 2 . Если а 1 и 0 1 2 , то log a x 1 a x 2 . Если 1 и x 1 , то log a x log b x . Если 0 и x 1 , то log a x log b x . Если 1 и 0 , то log a x b x . Если 0 и 0 , то log a x b x . log a b 0 ⟺ a 0, b 0 и (a – 1)(b – 1) 0 (если положительные числа a и b лежат “по одну сторону от единицы”) log a b ⟺ a 0, b 0 и (a – 1)(b – 1) (если положительные числа a и b лежат “по разные стороны от единицы”) " width="640"

Свойства сравнения логарифмов при а ≠ 1, a 0

• Если 0 и 0 1 2 , то log a x 1 log a x 2 .

• Если а 1 и 0 1 2 , то log a x 1 a x 2 .

• Если 1 и x 1 , то log a x log b x .

• Если 0 и x 1 , то log a x log b x .

• Если 1 и 0 , то log a x b x .

• Если 0 и 0 , то log a x b x .

• log a b 0 ⟺ a 0, b 0 и (a – 1)(b – 1) 0 (если положительные числа a и b лежат “по одну сторону от единицы”)

• log a b ⟺ a 0, b 0 и (a – 1)(b – 1) (если положительные числа a и b лежат “по разные стороны от единицы”)

0 называют логарифмическими уравнениями log a f(x) = log a h(х) f(x) = h(х) f(x) 0 h(х) 0 Методы решения логарифмических уравнений: Функционально-графический метод. Метод потенцирования. Метод введения новой переменной. " width="640"

⟺

Логарифмические уравнения

Уравнения вида log a f(x) = log а h(х) , где а ≠ 1 , a 0

называют логарифмическими уравнениями

log a f(x) = log a h(х)

f(x) = h(х)

f(x) 0

h(х) 0

Методы решения логарифмических уравнений:

• Функционально-графический метод.
• Метод потенцирования.
• Метод введения новой переменной.

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 1

Пример 2

Ответ: -3.

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 3



x = 2



Ответ: 2.

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 4

Ответ: 100.

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 5

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 5

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 6

Т.к. обе части равенства принимают только положительные значения, прологарифмируем их по основанию 5:

Ответ: 0,2; 25.

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 7

Логарифмические уравнения. Примеры

Пример 8

log а g(х) , где а ≠ 1 , a 0 называют логарифмическими неравенствами log a f(x) log а g(х) 0 а 1 или " width="640"

Логарифмические неравенства

Неравенства вида log a f(x) log а g(х) , где а ≠ 1 , a 0

называют логарифмическими неравенствами

log a f(x) log а g(х)

0

а 1

или

Логарифмические неравенства. Примеры

Пример 1

Пример 2

+

+

−

х

х

4

0

2

14

6

Ответ: [0; 4].

Ответ: (6; 14).

Логарифмические неравенства. Примеры

Пример 3

Пример 4

+

+

−

t

1

1

4

+

−

+

х

5

45

0

40

Ответ: (0; 5) ∪ (40; 45).

Логарифмические неравенства. Примеры

Пример 5

х

х

2

4

1,5

3

4

1,5

3,375

3

3,375

x ∈ (3,375; 4)

x ∈ (2; 3)

Ответ: (2; 3)∪(3,375; 4) .

Используемые материалы

• Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для общеобразоват. учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. 2-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2008

• http://ru.wikipedia.org/wiki - логарифмические линейки
• http://ru.wikipedia.org/wiki - логарифм

Комплексный логарифм

(мнимая часть)