Математика. Тригонометрические приемы и тонкости. Тригонометрия "на ладони"

Синус угла - отношение противолежащей (углу) стороны к гипотенузе. Косинус - отношение прилежащей к гипотенузе. Тангенс - противолежащей стороны в прилежащей стороне Котангенс - прилежащей к противолежащей. 

Для многих ребят в школе тригонометрия – один из самых трудных, непонятных разделов математики. С первых уроков уже идёт отторжение и нежелание изучать её, вникать в глубины, запоминать правила, значения функций.

Конечно, возникала в голове мысль как же помочь ребятам? И однажды осенило – для запоминания определений синуса и косинуса применять закон «равновесия». Согласно этому закону к короткому слову (синус) надо соотнести длинное слово (противолежащий), к длинному слову (косинус) – короткое слово (прилежащий).

Через некоторое время пришло озарение по запоминанию правила про тангенс. Именно предлог «про» помог. И сейчас, когда я прошу напомнить определение про тангенс, специально делаю упор на предлог про и ребята хором отвечают – это отношение противолежащего катета к прилежащему. Назвали мы данный способ – правило «про».

Для облегчения запоминания, что косинус угла – это абсцисса точки, а синус угла – это ордината точки единичной окружности используем закон соответствия. Предлагаю ребятам посмотреть на начальные буквы функций (косинус, синус), начальные буквы координат (абсцисса, ордината) и записать их в алфавитном порядке: в первой строке – функции, во второй – координаты.

А значения синуса и косинуса для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90° легко вычислить с помощью левой руки. Для этого:

Пронумеруем пальцы от большого до мизинца, счет начинаем с нуля (рис. 1).

Затем из каждого числа извлечем корень и разделим на 2. Где возможно подсчитаем значения (рис. 2).

Для функции синус отсчет углов идет от большого пальца к мизинцу, для косинуса – от мизинца к большому, то есть:

Для sin                                                                      Для cos

большой № 0 – соответствует 0°,                          большой № 0 – соответствует 90°,

указательный № 1 – соответствует 30°,                указательный № 1 – соответствует 60°,

средний № 2 – соответствует 45°,                         средний № 2 – соответствует 45°,

безымянный № 3 – соответствует 60°,                  безымянный № 3 – соответствует 30°,

мизинец № 4 – соответствует 90°.                        мизинец № 4 – соответствует 0°.

Значение котангенса - это перевернутое значение тангенса. В итоге получаем вот такую штуку: ­ Обратите внимание, что тангенс не существует в П/2, например. Подумайте почему. (На ноль делить нельзя.) Что тут нужно запомнить: синус - это значение у, косинус - значение х. Тангенс - это отношение у к х, а котангенс - наоборот. так что, чтобы определять значения синусов/косинусов достаточно нарисовать табличку, которую я выше рассказал и круг с осями координат (по ней удобно смотреть значения при углах 0, 90, 180, 360). ­ Я надеюсь, что вы умеете различать четверти: ­ От того, в какой четверти находится угол, зависит знак его синуса, косинуса и тд. Хотя, абсолютно примитивные логически размышления выведут вас на верный ответ, если вы будете учитывать, что во второй и третьей четверти х отрицателен, а у отрицателен в третьей и четвертой. 

Что нужно знать, уметь и делать, чтобы переводить углы в первую четверть: -разложить угол на удобоваримые слагаемые; -учесть, в какой четверти находится угол, и поставить соответствующий знак, если функция в этой четверти отрицательна или положительна; -избавиться от лишнего:  *если надо избавиться от 90, 270, 450 и остальные 90+180n, где n - любое целое число, то функция меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот); *если надо избавиться от 180 и остальных 180+180n, где n - любое целое число, то функция не меняется.