«Математика в музыке»
План:
Введение
1. Историческая справка и некоторые понятия теории музыки
1.1.Высказывания великих людей в области теории музыки
1. 2.Математический уровень музыкальных рассуждений
1. 3.Семёрка в музыке
1. 4.Чем полезна математика в музыке
1. 5.Законы пифагорейской музыки
2. Практическая часть.
2.1.Математическое описание построения музыкальной гаммы
2. 2.Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего произведения
2.3.Примеры
2.4Опрос
Заключение
Введение.
Целью моей работы было рассказать о тесной связи музыкального искусства и науки математики, есть ли что-нибудь общее между музыкой и математикой? Если музыка связана с окружающим миром, то, наверное, она как-то взаимодействует и с наукой? Мне стало интересно самой узнать, что же общего между таким прекрасным видом искусства как музыка и такой сложной, наукой, как математика.
Математика и музыка - два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая музыку, мы попадаем в волшебный мир звуков. Решая задачи, погружаемся в строгое пространство чисел. И не задумываемся о том, что мир звуков и пространство чисел издавна соседствуют друг с другом.
Казалось бы, искусство - весьма отвлеченная от математики область. Однако связь математики и музыки обусловлена как исторически, так и внутренне, несмотря на то, что математика - самая абстрактная из наук, а музыка - наиболее отвлеченный вид искусства.
В музыке, что обычно забывается, немало математики. Мы используем западноевропейской нотную систему, основа которой – две вполне строгие шкалы частоты и времени.
"Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришел к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и, что между ними размещается все, что человечество создало в области науки и искусства."
Г. Нейгауз
1. Историческая справка и некоторые понятия теории музыки
1.1.Высказывания великих людей в области теории музыки
Почтенный Пифагор отвергал оценку музыки, основанную на свидетельстве чувств. Он утверждал, что достоинства её должны восприниматься умом, и потому судил о музыке не по слуху, а на основании математической гармонии и находил достаточным ограничить изучение музыки пределами одной октавы. (Плутарх)
Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса.(Альберт Эйнштейн)
Музыка есть таинственная арифметика души; она вычисляет, сама того не сознавая.(Готфрид Лейбниц)
Пройдут миллионы лет, и если музыка в нашем смысле будет ещё существовать, то те же семь основных тонов нашей гаммы, в их мелодических и гармонических комбинациях, оживляемые ритмом, будут всё ещё служить источником новых музыкальных мыслей. (Пётр Чайковский)
Чрезвычайная бедность, шаткость и разрозненность существующих основ музыкальной эстетики побуждает нас пытливо всматриваться во всякое закономерное явление, относящееся к этой области, в надежде приподнять хотя бы уголок изидовой завесы, скрывающей от нашего умственного взора таинственные творческие законы природы. (Э.Розенов)
Она слишком музыкальна для математиков и слишком математична для музыкантов - остроты современников по поводу «новой теории музыки». (Леонард Эйлер)
Раздумывая об искусстве и науке, об их взаимных связях и противоречиях, я пришёл к выводу, что математика и музыка находятся на крайних полюсах человеческого духа, что этими двумя антиподами ограничивается и определяется вся творческая духовная деятельность человека и что между ними размещается всё, что человечество создало в области науки и искусства. (Генрих Нейгауз)
Музыка - это математика интуиции. (Олег Гуцуляк)
1.2.Математический уровень музыкальных рассуждений
Математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Могут ли чисто математические результаты иметь интересную интерпретацию в музыке, является для автора спорным. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам. Мы же будем к таким идеям подходить более осторожно.
Как обычно – четких границ между уровнями нет. Одно и то же явление может простираться через несколько уровней. Почему, например, интервал октава звучит для человека очень приятно? Можно представить это как аксиому биологического уровня, а можно свести к физическому: звуки, различающиеся по частоте вдвое, дают то же множество обертонов, что и нижний из них. Поэтому они практически сливаются. А математически октава описывается числом 2, которое является наименьшим простым числом. На любом уровне, однако, существуют явления, несводимые к предыдущему уровню.
1.3.Семёрка в музыке
Октава – расстояние между двумя звуками в семь ступеней. По-другому, ряд из семи звуков – называется звукоряд: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. Звуков всего семь. При помощи повторений в разных регистрах и различных сочетаний между собой образуется множество прекрасных мелодий.
Интересная семёрка.
В древнем Вавилоне были известны 7 планет, к которым причисляли Солнце и Луну. Все непонятные явления природы приписывались богам, и постепенно представление о богах соединилось с 7 планетами. 7 священное число, т.к. человек воспринимает мир через 7 отверстий в голове: два глаза, два уха две ноздри и рот. Приписывая числу 7 таинственную силу, знахари вручали больному 7 разных лекарств, настоянных на 7 травах, и советовали пить их семь дней. Одиссей 7 лет был в плену у нимфы Калипсо. У вавилонян подземное царство окружено 7 стенами. У мусульман небесный свод состоит из 7 небес, и все угодные Богу попадают на седьмое небо блаженства. У индусов есть обычай дарить на счастье 7 слоников. В Библии – 7 ангелов.
В эпоху Средневековья (с конца XII – начала XIII века) вся совокупность знаний делилась на 7 основных наук: тривиум – начальный курс образования, включавший в себя грамматику, риторику и диалектику; квадриум – повышенный курс светского образования, куда музыка входила так же, как и у пифагорейцев вместе с арифметикой, геометрией и астрономией. Математика не включена в число смежных дисциплин и находится в стороне от музыкального искусства, скорее музыкальное искусство в некоторых своих проявлениях прибегает к использованию математического аппарата.
1.4.Чем полезна математика в музыке Пифагор создал свою школу мудрости, положив в ее основу два искусства – музыку и математику. Он считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга. Пространственное представление, столь необходимое ребенку в овладении письмом, столь же важно и в математике. Из-за его отсутствия дети не могут подписать в столбик цифры при арифметических действиях, правильно понять условие задач, особенно на время, скорость и расстояние, ошибаются в устном арифметическом счете. При дальнейшем обучении у таких детей обнаруживается неспособность следить за правильной последовательностью выполнения арифметических действий, например, сложение и вычитание производить только после выполнения умножения и деления. А когда наступает время знакомства с геометрией, попытки одолеть ее полностью терпят крах, потому что овладение этим предметом без пространственного представления невозможно. Кроме того, школьники часто делают математические ошибки из-за того, что не владеют математическими символами: они не могут следить за математическими знаками «+» и «–», путают знак «». Музыка помогает преодолеть эти затруднения на самом начальном этапе, так как знание музыкальной символики приучает к владению обозначениями любыми, в том числе и математическими. 1.5.Законы пифагорейской музыки Еще в Древней Греции математика и музыка назывались родными сёстрами, а со времён Пифагора наука о музыке входила в пифагорейскую систему знаний, наряду с арифметикой (наукой о числах), геометрией (наукой о фигурах и их измерений) и астрономией (наукой о строении Вселенной). Пифагор перенёс числовые соотношения на гармонию Вселенной. Согласно его учению Земля, Солнце, Луна и планеты располагаются на небесных сферах и совершают вместе с ними круговое вращение. Вследствие трения об эфир они издавали музыкальные звуки, которые объединялись в созвучия. Так возникла чудесная мировая музыка или «гармония сфер», без которой мир бы не мог существовать как единое целое. Земная человеческая музыка, по мнению Пифагора, - слабые отголоски музыкальных небесных сфер; она дана человечеству в утешение, и создаёт её тот, кто способен услышать в себе мировую музыку. Пифагор был уверен, что музыка звучит совершенными консонансами (благозвучными интервалами): тон, издаваемый Землёй принимался за тонику, сфера Луны звучала квартой, Солнце – квинтой, а звёзды и планеты – октавой. В основе этой музыкальной системы были два закона, которые носят имена двух великих ученых - Пифагора и Архита. Вот эти законы: 1. Две звучащие струны определяют консонанс, если их длины относятся как целые числа, образующие треугольное число 10=1+2+3+4, т.е. как 1:2, 2:3, 3:4. Причем, чем меньше число n в отношении n:(n+1) (n=1,2,3), тем созвучнее получающийся интервал. 2. Частота колебания w звучащей струны обратно пропорциональна ее длине l . w = a : l , где а - коэффициент, характеризующий физические свойства струны. Математическая стройность музыкального искусства потрясала не только древних мыслителей. Многие великие умы более поздних эпох и современности обращали на это внимание и использовали близость музыки и математики. 2. Практическая часть. 2.1.Математическое описание построения музыкальной гаммы. Основой музыкальной шкалы–гаммы пифагорейцев был интервал – октава. Она является консонансом, повторяющим верхний звук. Для построения музыкальной гаммы пифагорейцам требовалось разделить октаву на красиво звучащие части. Так как они верили в совершенные пропорции, то связали устройство гаммы со средними величинами: арифметическим, гармоническим. Среднее арифметическое частот колебаний тоники (w1) и ее октавного повторения (w2) помогает найти совершенный консонанс квинту. Т.к. w2 = 2w1, то w3 = (w1 + w2) : 2 = 3w1 : 2 или w3 : w1= 3 : 2 (w3 – частота колебаний квинты). Длина струны l3, соответствующая квинте, по второму закону Пифагора-Архита будет средним гармоническим длин струн тоники l1 и ее октавного повторения l2. Т.к. l2 = l1 : 2, то l3 = 2 l1 l2 : (l1+ l2) = 2 l1 l1 : 2 : (l1 + l1 : 2) = l12 : ((2 l1 + l1 ) : 2) = 2 l12 : :3 l1 = 2 l1 : 3; или l3 : l1 = 2 : 3. Взяв далее среднее гармоническое частот основного тона w1и октавы w2, получим w4= = 2w1w2 : (w1 + w2 ) = 2w1 2w1 : ( w1 + 2w1 ) = 4w12 : 3w1 = 4w1 : Значит w4: w1 = 4 : 3. В результате находим еще один совершенный консонанс – кварту. Определим, как связаны длины струн найденных частот (l4 и l1 ): l4 = ( l1+ l2 ) : 2 = ( l1+ l1: 2 ) : 2 = ( 2 l1+ l1) : 2 : 2 = 3 l1 : 4; l4 : l1= 3 : 4. Это значит, что длины струн l1, l2 и l4 связаны между собой средним арифметическим. | | |
| |
2.2.Как соотносятся объемы данных нотного текста и звучащего произведения?
Простой пример – небольшой менуэт Ф.Э.Баха включает 107 нот, помимо этого в нотном тексте содержится 38 специальных указаний. Не сложно подсчитать, что если на кодировку нот использовать по 3 байта (старт, стоп и номер ноты), по байту на специальные указания, то все произведение вполне можно закодировать в файле размером в 0,5 Кb.
2.3.Пример.
Дважды два – четыре,
Дважды два – четыре,
А не три, а не пять – это надо знать!
Дважды два – четыре,
Дважды два – четыре,
А не шесть, а не семь – это ясно всем!
Трижды три навеки – девять,
Ничего тут не поделать!
И нетрудно сосчитать,
Сколько будет пятью пять!
Пятью пять – двадцать пять!
Пятью пять – двадцать пять!
Совершенно верно!
сл. М.Пляцковского, муз. В.Шаинского
Если вслушаться в эту песенку, то на её примере можно выдвинуть гипотезу, что занятия музыкой помогают изучению математики. С помощью этой песенки можно легко запомнить некоторую часть таблицы умножения. Мы думаем, что ни один человек в мире не может прожить без математики и без музыки.
На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой. В музыке все считать надо. Как и в математике.7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы. Чтобы записать слова – мы используем буквы, числа – цифры, а музыку – ноты.
При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби. Предлагаю рассмотреть нотную запись отрывка пьесы Петра Ильича Чайковского «Сладкая греза», исполняемого на блок-флейте.
В этой нотной записи:
Целые ноты не используются.
Половинки используются 3 раза. Например, нота до.
Четверти используются 12 раз. Например, нота ре.
Восьмые используются 3 раза. Например, нота ми.
Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент. Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения. В музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности. Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана всегда параллельны, то есть никогда не пересекаются. Кроме вышеупомянутых понятий, с понятием последовательность в математике мы встречаемся крайне часто. Обычно цель при встрече с ними – отгадать следующее число или символ. Все музыкальные произведения тоже записываются нотами в определенной музыкальной последовательности.
Мы знаем, что при записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность).Сопоставление целого числа и целой длительности.
математика | Музыка ( длительность нот) |
Целое число - торт | Целая нота |
Делим пополам - половина торта | Половина целой ноты - половинная |
Делим торт на четыре части - одна четвертая | Делим целую ноту на четыре части – четвертная |
На восемь - одна восьмая | На восемь - восьмая, восьмушка |
На шестнадцать - одна шестнадцатая | На шестнадцать - Шестнадцатая |
Итак, мы видим, ноты записываются с помощью знаков, а их протяженность определяется длительностями, математическим счетом.
2.4.Опрос учащихся МБОУ лицея № 21«Зачем нужна математика в музыке?»
Матукина Анастасия 7-«Б» класс: «Математика нужна в музыке для того, чтобы музыка звучала приятно».
Малиновская Екатерина 7-«В» класс: «Математика нужна для гармонии в музыке».
Кучина Анна -8 «А» класс: “Математика приводит музыку в порядок, делает ее приятной для слуха»
Аниськин Илья 5-«Б» класс “Математические законы делают музыку лечебной»
Заключение.
Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее популярные и любимые произведения гениальных композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта, Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки, а также произведения народного творчества древнего происхождения, заметил, что моменты наиболее ярко выраженного эмоционального напряжения приходятся именно на точки золотого сечения. Искусствоведы составили подробные схемы, в которых содержится геометрический анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом отношении примером является Хроматическая фантазия и Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это замечательное произведение, не только восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь ее скрытую музыкальную гармонию. А математика открывает еще одну грань гениальности великого композитора.
Этот рассказ о связи математики, техники и музыки далеко не полный. В истории культуры достаточно много примеров, когда люди придумывали механические устройства для сочинения музыки. Это происходило и в средние века, и в наше время. Математик из колумбийского университета Дж. Шиллингер в 1940 году опубликовал разработанную им математическую систему музыкальной композиции в виде отдельной книжечки под названием "Калейдофон". Считают, что Дж.Гершвин, работая над оперой "Порги и Бесс", пользовался той же системой. В 1940 году Эйгор Вилли Лобос, используя описанный способ, превратил силуэт Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.
Известно, что и компьютеры сочиняют музыку. Правда, она довольно посредственна. В ней нет игры и свободного дыхания, которые трудно укладываются в математические каноны. До сих пор никому не удавалось найти алгоритм, порождающий простую и красивую мелодию. Мы просто не знаем, какое волшебство происходит в голове композитора, создающего неповторимую мелодию. Гениальное произведение - это результат вдохновения и мастерства его создателя. А еще своеобразная тайна, постичь которую порой невозможно. Решая задачи и слушая великую музыку, мы открываем в ней совершенство, простоту, гармонию и еще нечто такое, что неподвластно выражению словом...
Список литературы.
«Элементарная теория музыки» В.Вахромеев.