Объем пространственных фигур.

Инструкционная карта № 30

Тақырыбы/ Тема: Решение задач по теме: «Объем многогранников и круглых тел».

Мақсаты/ Цель:

1. Проверить теоретическую часть знаний учащихся по нахождению объема призмы, пирамиды и усеченной пирамиды, цилиндра, конуса, усеченного конуса и шара .

2. Воспитание познавательной самостоятельности: развитие умения самостоятельно планировать, выполнять анализ, оценивать результаты.

3. Создать условие для развития коммутативно-творческих умений: не шаблонно подходить решению разнообразных задач.

Теоретический материал:

Объем призмы

Формула нахождения объема призмы выглядит следующим образом: V = Sh, где

V - объем призмы  S - площадь основания призмы   h - высота призмы

Решение задач:

Задача 1 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. 

Решение 

V=S·h 1.S=(а· b):2 S=(3· 5):2=15/2=7,5 2. V=S·h 30=7,5·h h=30:7,5= 4(ед.)

Задача 2. По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.

V=1/3S_осн*Н S_осн=а²*/4 ОС=R=а/

S

Из SOC, О=90⁰ SО²= SС²-ОС²=а²-а²/3=2а²/3

а О SO=а V=1/3а² /4*а / =а³ /12

Задача 3. В правильной усеченной четырехугольной пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований равны а и в, а двугранный угол при ребре нижнего основания равен . Найдите объем пирамиды.

Дано: АВСДА₁В₁С₁Д₁ – усеченная

C₁

М₁

О₁

пирамида, АВ=ВС=СД=АД=а,

С

D₁

А₁

А₁В₁=В₁С₁=С₁Д₁=А₁Д₁=в,

М

О

В

М₁МК=

А

М₂

D

Найти: V

Решение:

V=1/3Н(Q₁+₁Q₂+Q₂) Q₁=S_н=а² Q₂=S_в=в² Н=ОО₁=М₁К

Рассм. ММ₁О₁О М₁К=ОО₁ М₁О₁=КО=1/2в МО=1/2а, тогда МК=МО-КО=1/2(а-в)

Рассм. ММ₁К М₁КМ=90⁰ М₁К=МК*tg=1/2(а-в)tg=Н

V=1/3*1/3(а-в)tg(а²+ а²в²+в²)=1/6(а-в)tg(a²+aв+в²)=1/6(а³-в³)tg

Задача 4. 25 м медной проволоки имеют массу 100.7 г. Найдите диаметр проволоки (плотность меди 8.94 г/см³)

Дано: ρ=8.94 г/см³,Н=25 м, m=100.7 г.

Найти: D

Решение:

D=2R p=m/V V=R²H V=m/p=100.7/8.94=11.263982

R²⁼V/H=11.264/3.14*2500=0.00143 R==0.038 D=2*0.038=0.0757(см) =

=0.75 мм

Задача 5. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол . Найдите объем конуса.

S

Дано: конус

О

A

SA=, SAO=

Найти: V

Решение:

V=1/3R²H рассм.SAO,О=90⁰ АО=*cos SO=*sin

V=1/3²cos²*sin=1/3³cos²sin.

Задача 6. Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найдите диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г/см³).

Дано: шар

=7,2 г/см³, m=10 кг=10000г

Найти: d

Решение:

D=2R V=4/3R³ R³=3V/4 R====6,92 (см)

=m/V V=m/=10000/7,21388,89 (см³)

R7 см d=2*7=14 (см)

Практическая часть:

1 вариант

1. В основании призмы лежит равносторонний треугольник, площадь которого равна 9. Найдите объем призмы, если ее высота в раз больше стороны основания.

2. Высота правильной четырехугольной пирамиды 12, а высота ее боковой грани 15. Найдите объем пирамиды.

3. Стороны основания правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2. Высота усеченной пирамиды . Найти ее объем.

4. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 24, а его объем равен 48. Найдите его высоту.

5. Осевым сечением конуса является треугольник со сторонами 40, 40 и 48. Найдите объем конуса.

6. Найдите диаметр шара, если его объем равен .

2 вариант

1. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 3. Боковая грань ее наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Найдите объем пирамиды.

2. Все ребра прямой треугольной призмы имеют длину 2. Найдите объем призмы.

3. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 6 и 3. Высота усеченной пирамиды равна 9. Найти ее объем.

4. Объем цилиндра 8, а высота 2. Найдите диагональ осевого сечения.

5. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 45⁰. Радиус основания конуса равен 13 см. Найдите объем конуса.

6. Объем шара равен . Найдите шаровую поверхность.

3 вариант

1. Высота правильной треугольной призмы равна 6. Сторона треугольника основания призмы равна 4. Найти объем призмы.

2. Основанием пирамиды служит прямоугольник со сторонами 18 и 24. Каждая из боковых ребер равна 25. Найти объем пирамиды.

3. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 2 и 4. Высота усеченной пирамиды равна 6. Найти ее объем.

4. Прямоугольник с боковой стороной 14 и основанием 10 является разверткой боковой поверхности цилиндра. Найдите объем этого цилиндра.

5. Образующая конуса наклонена к плоскости его основания под углом 60⁰. Высота конуса 12 см. Найдите объем конуса.

6. Сечение шара плоскостью, отстоящей от центра шара на расстоянии 8 см, имеет радиус 6 см. Найдите объем шара.

4 вариант

1. Боковая поверхность правильной четырехугольной пирамиды равна 60, сторона основания 6. Найдите объем этой пирамиды.

2. Объем треугольной призмы равен 96. Стороны основания равны 6, 8, 10. Найдите высоту этой призмы.

3. Стороны оснований правильной шестиугольной усеченной пирамиды равны 1 и 3. Высота усеченной пирамиды равна 4. Найти ее объем.

4. Высота цилиндра равна длине окружности основания. Найти диаметр основания, если объем цилиндра равен 432².

5. Угол при вершине осевого сечения конуса 60⁰, образующая его равна 2. Найдите объем конуса.

6. Медный куб, ребро которого равно 10 см, переплавлен в шар. Определите радиус шара. Потерями металла при переплавке пренебречь.

Контрольные вопросы:

Кроссворд "Тела и фигуры вращения"

Вопросы:
1) Фигура на плоскости, все точки которой расположены не далее данного расстояния от одной точки.
2) Прямая, при вращении которой вокруг оси образуется боковая поверхность цилиндра, конуса.
3) Тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон.
4) Угол между высотой и плоскостью основания конуса.
5) Тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.
6) Плоская фигура, при вращении которой образуется усеченный конус.
7) Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр шара.
8) Фигура, полученная вращением полуокружности вокруг ее диаметра.

Кроссворд "Многогранники"

Вопросы:

1) Стороны многоугольников, из которых составлен многогранник.

2) Вид треугольников, из которых составлена боковая поверхность правильной пирамиды.

3) Как называется каждый из концов рёбер многогранника.

4) Поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.

5) Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания может иметь пирамида.

6) Многогранник, расположенный по одну сторону от плоскости каждой его грани.

7) Прямая призма, основания которой правильные многоугольники.

8) Какой фигурой является каждая боковая грань усечённой пирамиды?

9) Призма имеет 7 граней. Какой многоугольник расположен в её основании.

10) Призма, в которой боковые рёбра параллельны высоте.

11) Пирамида имеет 4 грани. Какой многоугольник расположен в её основании.

12) Наименьшее число рёбер в многограннике.

13) Многоугольники, из которых составлен многогранник.

14) Граница геометрического тела, отделяющая его от остального пространства.

15) Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани.

16) Призма, в которой боковые рёбра не перпендикулярны основанию.

Ответы:

1) ребро

2) равнобедренный

3) вершина

4) многогранник

5) две

6) выпуклый

7) правильная

8) трапеция

9) пятиугольник

10) прямая

11) треугольник

12) шесть

13) грань

14) поверхность

15) диагональ

16) наклонная