Подробнее о системах счисления.

Урок на тему:

Подробнее о системах счисления.

Класс: 9А;

Дата проведения: 17.01.2012;

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Цель урока: перевод целого (дробного) десятичного числа в систему с основанием n.

Задачи:

дидактическая: усвоение учащимися общего вида и правил выполнения развернутой формы, обучение применению ее при решении задач;

развивающая: развитие познавательного интереса, логического мышления, речи и внимания учащихся, формирование информационной культуры и потребности приобретения знаний;

воспитательная: привитие учащимся навыка самостоятельности в работе, воспитание трудолюбия, чувства уважения к науке.

Методы работы:

• словесный

• объяснительно – иллюстративный;

• упражнения.

Оборудование: компьютеры, проектор, мел, доска.

Продолжительность: 45 мин (1 урока)

План урока

1 этап урока – актуализация опорных знаний.

2 этап урока – изложение нового материала (Учебно - методический комплекс)

3 этап урока – практическая работа.

4 этап урока – подведение итога урока и домашнее задание.

Уроки с использованием ЭОР – это, на мой взгляд, является одним из самых важных результатов инновационной работы в школе. Практически на любом школьном предмете можно применить компьютерные технологии. Важно одно – найти ту грань, которая позволит сделать урок по-настоящему развивающим и познавательным. Использование информационных технологий позволяет мне осуществить задуманное, сделать урок современным. Использование компьютерных технологий в процессе обучения влияет на рост профессиональной компетентности учителя, это способствует значительному повышению качества образования, что ведёт к решению главной задачи образовательной политики.

Анализируя опыт использования ИКТ на уроках, можно с уверенностью сказать, что использование электронных образовательных ресурсов позволяет обеспечить положительную мотивацию обучения, т.е. проводить уроки на высоком эстетическом и эмоциональном уровне (анимация); обеспечить высокую степень дифференциации обучения (почти индивидуализацию); повысить объем выполняемой на уроке работы в 1,5 – 2 раза; усовершенствовать контроль знаний; рационально организовать учебный процесс, повысить эффективность урока; формировать навыки подлинно исследовательской деятельности; обеспечить доступ к различным справочным системам, электронным библиотекам, другим информационным ресурсам.

Что касается результативности, то те ученики, которые систематически работают с компьютерными учебными программами, занимаются проектной деятельностью, повысили свое качество знаний. Учащиеся проявляют устойчивый интерес к изучению предмета.

Одной из главных задач, стоящих перед учителем, является расширение кругозора, углубление знаний об окружающем мире, активизация умственной деятельности детей, развитие речи. Бурное развитие новых информационных технологий и внедрение их в нашей стране наложили отпечаток на развитие личности современного ребёнка. Сегодня в традиционную схему "учитель – ученик – учебник” вводится новое звено – компьютер, а в школьное сознание – компьютерное обучение. Одной из основных частей информатизации образования является использование информационных технологий в образовательных дисциплинах.

Модернизация школьного образования подразумевает, прежде всего, обновление его содержания. В связи с этим особое внимание уделяется созданию условий для развития творческого личностного потенциала учащихся и расширения возможностей углублённого образования.

Педагогическое мастерство основано на единстве знаний и умений, соответствующих современному уровню развития науки, техники и их продукта – информационных технологий.

В настоящее время необходимо умение получать информацию из разных источников, пользоваться ей и создавать ее самостоятельно. Широкое использование ИКТ открывает для учителя новые возможности в преподавании любой учебной дисциплины.

Применение ИКТ в процессе обучения способствует интеллектуальному творческому развитию учащихся. Интернет-ресурсы сегодня позволяют:

• восполнить дефицит источников учебного материала;

• развивать навыки и умения информационно-поисковой деятельности;

• объективно оценивать знания и умения в более короткие сроки.

В зависимости от задач урока выбирается методическое назначение образовательных электронных ресурсов: обучающие, информационно-поисковые, демонстрационные, моделирующие, тренажёры, контролирующие, учебно-игровые и т.п.

Учитель прогнозирует эффективность использования ресурса при проведении различного рода занятий, определяет методику их проведения и проектирует основные виды деятельности с данными ресурсами в учебном процессе.

При этом информация, представленная в образовательных электронных ресурсах должна оцениваться исходя из принципов доступности её представления и необходимости её использования на конкретном этапе урока, а также социальной, практической и личностной значимости для учащихся.

Главными целями ЭОР урока (как традиционного, так и с использованием компьютера) являются развитие, формирование широкого круга представлений, знаний и умений. Для успешного достижения этих целей процесс обучения основывается на следующих принципах:

• целенаправленности; 

• научности, систематичности и последовательности; сознательности и активности учащихся;

• наглядности; прочности;

• доступности; учет в обучении индивидуальных и возрастных особенностей школьника;

• коллективный характер обучения; выбор оптимальных форм, средств и методов.

Основные инновационные  качества ЭОР:

1. Обеспечение всех компонентов образовательного процесса:

• получение информации;

• практические занятия;

• аттестация (контроль учебных достижений).

2. Интерактивность, которая обеспечивает резкое расширение возможностей самостоятельной учебной работы за счет использования активно-деятельностных форм обучения.

3. Возможность более полноценного обучения вне аудитории.

Ход урока:

1 этап урока – актуализация опорных знаний.

- Здравствуйте! Садитесь!

- Сегодняшняя тема «Подробнее о системах счисления».

- Для того чтоб разобраться в вопросах о том, как компьютер производит математические вычисления, нам необходимо вернуться к разговору о системах счисления, который был начат в §6.

-Мы с вами рассмотрим на прокторе «Учебно - методический комплекс» раздел «Основные понятия».

Система счисления – это способ записи чисел и соответствующие ему правила действий над числами.

Совокупность всех символов, при помощи которых можно записать любое число в заданной системе счисления называется алфавитом системы счисления.

Символы алфавита системы счисления называются цифрами системы счисления.

Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.

Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Основное достоинство практически любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа при помощи ограниченного количества символов.

Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, знаменатель которой Р — натуральное число, большее единицы, а значения цифр есть целые неотрицательные числа.

Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы счисления. Традиционные системы счисления с основанием Р иначе называют Р-ичными.

Система счисления - это совокупность правил для обозначения и наименования чисел. Системы счисления делятся на позиционные и непозиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.

2 этап урока – изложение нового материала.

- Система счисления делятся на:

• непозиционные системы счисления;

• позиционные системы счисления.

- Рассмотрим непозиционные системы счисления (проектор, раздел «Непозиционные системы счисления»).

Непозиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления – это система счисления, в которой количественный экривалент каждого символа не зависит от его положения (место, позиции) в записи числа.

В непозиционной системе счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, не зависит от позиции цифры в числе.

Вам известна непозиционная система счисления – римская, которой мы чаще всего пользуемся для нумерации (века, глав книги и пр.)

- К непозиционным системам счисления относятся системы счисления древних народов.

Рассмотрим некоторые их них (проектор, раздел «Непозиционные системы счисления»):

- Древний Вавилон

- Древний Египет

- Древний Рим

- Древняя Русь.

Непозиционные системы счисления В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Пример: римская система, используются латинские буквы. I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 В римских числах цифры записываются слева направо в порядке убывания. В таком случае их значения складываются. Если же слева записана меньшая цифра, а справа - большая, то их значения вычитаются. Пример: CCXXXII=232 VI=6 IV=4 MCMXCVIII=1000+(-100+1000)+(-10+100)+5+1+1+1=1998

Позиционные системы счисления В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием  позиционной системы счисления. Система счисления, применяемая в современной математике, является позиционной десятичной системой. Основание ее равно 10, т.е. запись любых чисел производится с помощью десяти цифр  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Пример: 3 3 3 сотни десятки единицы Для записи чисел в позиционной системе счисления с основанием p нужно иметь алфавит из р цифр. Обычно для этого при рр первых арабских цифр, при р10 к десяти арабским цифрам добавляют латинские буквы.

- С вами рассмотрим (проектор, раздел «Позиционные системы счисления»)

Позиционные системы счисления

• Десятичная система счисления

• Двоичная система счисления

• Восьмеричная система счисления

• Шестнадцатеричная система счисления

• Развернутая форма записи числа (демонстрация)

Примеры алфавитов нескольких систем

основание	название	алфавит
р=2	двоичная	0 1
р=3	троичная	0 1 2
р=8	восьмеричная	0 1 2 3 4 5 6 7
р=16	шестнадцатеричная	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Если требуется указать основание системы, к которой относится число, то оно записывается как нижний индекс этого числа. В системе счисления с основанием р (р-ичная система счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа р. Р единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего разряда. Для записи числа в р-ичной системе счисления требуется р различных знаков (цифр), изображающих числа 0, 1, ..., р-1. Запись числа р в р-ичной системе счисления имеет вид 10. Развернутой формой записи числа называется запись в виде Ар=±(аn-1pn-1+аn-2pn-2+...+а0p0+а-1p-1+а-2p-2+...+а-mp-m), где Ар - само число, р - основание системы счисления, аi - цифра данной системы счисления, n - число разрядов целой части числа,  m - число разрядов дробной части числа. Пример: 1123=1410 15FC16=562810 1011012=4510 101,112=5,7510

В позиционных системах счислениях величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции.

Количество используемых цифр называется основанием позиционной системы счисления.

-Обсудим подробнее вопрос о представлении чисел в позиционных системах счисления, о правилах перевода чисел из одной системы в другую. Вспомним еще раз о том, что любое десятичное число можно представить в виде суммы произведений значимых цифр числа на степени десятки. Такое представленное называется развернутой формой записи числа. Посмотрите на следующее равенства:

2638=2*1000+6*100+3*10+8=2*10³+6*10²+3*10¹+8*10⁰,

345,175=3*100+1*10+5+1*0,1+7*0,01+8*0,001=

=3*10²+4*10¹+5*10⁰+1*10^-1+7*10^-2+8*10^-3.

-Эти примеры показывают, что в развернутой форме показатель степени десятки зависит от позиции соответствующей цифры в записи числа. Позиция цифры в записи числа называется разрядом числа. Цифра в разряде единиц умножается на 10° = 1; цифра в разряде десятков умножается на 10¹; цифра в разряде сотен — на 10² и т. д. Дробные разря­ды умножаются на отрицательные степени десяти: 10"¹, 10~~² , 10~³ и т. д. Степень десятки равна номеру соответ­ствующего разряда в числе (разряды дробной части нумеруются отрицательными числами).

Мы настолько привыкли к десятичному счету, что число в любой другой системе ничего нам не говорит о соответствующем ему количестве. Например, что за величина 112₃? Чтобы понять «много это или мало», нужно перевести его в десятичную систему. Сделать это довольно просто.

Число 112₃ содержит в себе 2 единицы, 1 тройку и 1 девятку. Как и в десятичной системе, число можно представить в виде суммы произведений составляющих его цифр на соответствующие степени основания системы (в нашем примере — тройки).

112₃ = 1*3² + 1*З¹ + 2*3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀.

Следовательно, 1123 = 14₁₀.

Переведем двоичное число 101101₂ в десятичную систему счисления. Принцип тот же. Теперь в развернутой форме числа надо использовать степени двойки:

101101₂ = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 1*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = = 32 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀.

И еще один пример — с шестнадцатеричным числом:

15FC₁₆ = 1*16³ + 5*16² + 15*16¹ + 12 =

= 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀. Аналогично переводятся дробные числа. Например: 101,11₂ = 1х2² + 0х2^х + 1x2° + 1x2"! + 1х2"² = = 4 + 1 + 1/2 + 1/4 = 5 + 0,5 + 0,25 = 5,75ю.

А как произвести обратный перевод из десятичной системы в недесятичную ( )? Для этого нужно суметь разложить десятичное число на слагаемые, содержащие степени п. Например:

15₁₀ = 8 + 4 + 2 + 1 = 1*2³ + 1*2² + 1*2¹ + 1 = 1111₂.

Эта задача уже посложнее, чем перевод в десятичную систему. Попробуйте, например, таким образом перевести в двоичную систему число 157. Конечно, можно, но трудно!

Однако существует формальная процедура, позволяющая легко выполнить такой перевод. Она состоит в том, что данное десятичное число делится с остатком на основание системы. Полученный остаток — это младший разряд искомого числа, а полученное частное снова делится с остатком, который равен второй справа цифре и т. д. Так продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше делителя (основания системы). Это частное — старшая цифра искомого числа.

Продемонстрируем этот метод на примере перевода числа 37₁₀ в десятичную систему. Здесь для обозначения цифр в записи числа используются символика: а₅а₄а₃а₂а₁а₀.

Вот еще два примера перевода десятичного числа 315 в восьмеричную и в шестнадцатеричную системы:

Отсюда следует: 315₁₀ = 473₈ = 13В₁₆. Напомним, что 11₁₀ ⁼ B₁₆.

Теперь рассмотрим перевод правильной десятичной дроби в другую систему счисления. Здесь работает следующее правило: перевод дробного десятичного числа в другую систему счисления производится путем последовательных умножений на основание новой системы с выделением цифр целой части произведений в качестве искомых.

Для примера покажем перевод десятичной дроби 0,1875 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Здесь вертикальная черта отделяет целые части чисел от дробных частей. Подчеркиванием отмечены искомые знача­щие цифры дробного числа.

Отсюда: 0,1875₁₀= 0,0011₂ = 0,14₈ = 0,3₁₆.

Умножение повторяется до тех пор, пока в дробной части очередного произведения не получится ноль или не будет обнаружен период повторяющихся цифр.

При переводе дробного числа часто возникает ситуация, когда конечная дробь в десятичной системе переходит в бесконечную дробь (иррациональное число) в другой системе счисления. В таком случае, перед тем как производить перевод, нужно договориться о достаточной точности, т. е. о количестве знаков, которое сохраняется в дробной части числа.

Если число смешанное, т. е. имеется ненулевая целая и дробная части, то отдельно переводится его целая часть пу­тем последовательного деления, отдельно — дробная путем умножения и затем оба результата записываются вместе через запятую. Из рассмотренных примеров следует:

315,1875₁₀ = 473,14₈ = 13B,3₁₆.

- Что мы с вами узнали?

Ответьте на вопрос:

1. На что делится Система счисления?

2. К непозиционным системам счисления относятся, какие системы счисления древних народов?

3. Какие позиционные системы счисления мы с вами сегодня узнали?

- Молодцы!!!

- Сейчас проведем проверочную работу.

Опорная схема ключевых понятий

Разнобразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные.

Непозиционные системы счисления.

В непозиционных системах любое число определяется как некоторая функция от численных значений совокупности цифр, представляющих это число. Цифры в непозиционных системах счисления соответствуют некоторым фиксированным числам. Пример непозиционной системы – рассмотренная ранее римская система счисления. Дpевние египтяне пpименяли систему счисления, состоящую из набоpа символов, изобpажавших pаспpостpаненные пpедметы быта. Совокупность этих символов обозначала число. Расположение их в числе не имело значения, отсюда и появилось название.

Позиционные системы счисления.

Определение 1. Система счисления или нумерация — это способ записи (обозначения) чисел.

Определение 2. Символы, при помощи которых записываются целые неотрицательные числа, называются цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления. Количество цифр алфавита называется его размерностью.

Определение 3. Система счисления называется позиционной, если количественный эквивалент цифры зависит от ее положения в записи числа.

В привычной нам десятичной системе значение числа образуется следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов и все полученные значения складываются. Например, . Такой способ образования значения числа называется аддитивно-мультипликативным.

Определение 4. Последовательность чисел, каждое из которых задает «вес» соответствующего разряда, называется базисом позиционной системы счисления.

Основное достоинство практически любой позиционной системы счисления — возможность записи произвольного числа при помощи ограниченного количества символов.

Определение 5. Позиционную систему счисления называют традиционной, если ее базис образуют члены геометрической прогрессии, знаменатель которой Р — натуральное число, большее единицы, а значения цифр есть целые неотрицательные числа.

Так, базисы десятичной, двоичной и восьмеричной систем счисления образуют геометрические прогрессии со знаменателями 10, 2 и 8 соответственно. В общем виде базис традиционной системы счисления можно записать так:

.

Определение 6. Знаменатель Р геометрической прогрессии, члены которой образуют базис традиционной системы счисления, называется основанием этой системы счисления. Традиционные системы счисления с основанием Р иначе называют Р-ичными.

В Р-ичных системах размерность алфавита равна основанию системы счисления.

Так, алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Алфавитом произвольной системы счисления с основанием Р служат числа 0, 1, ... , Р-1, каждое из которых должно быть записано с помощью одного уникального символа, младшей цифрой всегда является 0.

В класс позиционных систем счисления входят также системы, в которых либо базис не является геометрической прогрессией, а цифры есть целые неотрицательные числа, либо базис является геометрической прогрессией, но цифры не являются целыми неотрицательными числами.

К первым можно отнести факториальную и фибоначчиеву системы счисления, ко вторым — уравновешенные системы счисления. Такие системы будем называть нетрадиционными. Алфавитом фибоначчиевой системы являются цифры 0 и 1, а ее базисом — последовательность чисел Фибоначчи 1,2,3,5,8,13,21,34,55,89 ...

Базисом факториальной системы счисления является последовательность . В отношении алфавита этой системы можно сделать замечание: количество цифр, используемых в разряде, увеличивается с ростом номера разряда.

В общем случае, если система счисления устроена таким образом, что основание как таковое в ней отсутствует, а базис представляет собой возрастающую последовательность натуральных чисел , то количество N_k цифр, используемых в k-м разряде, определяется так:

(1.1)

(1.1)

Знак « » означает «делится нацело».

Определение 7. В Р-ичной системе счисления любое неотрицательное вещественное число можно записать в виде:

, (1.2)

где Р 1 — основание позиционной системы счисления, . — цифры числа а в Р-ичной системе счисления.

Отрицательные числа в Р-ичных системах счисления представляются с помощью знака «минус» перед выражением вида (1.2) для модуля отрицательного числа. Далее мы будем рассматривать только положительные числа и их представление в Р-ичных системах счисления.

Определение 8. Системы счисления, в которых каждый коэффициент разложения числа по степеням Q (цифра Q-ичной системы счисления) записывается в Р-ичной системе счисления, называются смешанными. Иначе такие системы называют P-Q-ичными.

Определение 9. Система счисления с основанием Р = 3 и цифрами 1, 0, 1, где 1 означает «минус единица», называется уравновешенной троичной или симметричной троичной системой счисления.

Система счисления

где q – основание системы счисления (количество используемых цифр)

A_q – число в системе счисления с основанием q

a – цифры многоразрядного числа A_q

n(m) – количество целых (дробных) разрядов числа A_q

3 этап урока – практическая работа.

Практическая работа

Вариант 1.

1. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную:

1. 860;

2. 785;

3. 149,375;

4. 953,25.

2. Перевести данные числа в десятичную систему счисления:

1. 1001010₂;

2. 1100111₂;

3. 110101101,00011₂;

4. 111111100,0001₂;

5. 775,11₈;

6. 294,316₁₆.

Практическая работа

Вариант 2.

1. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

1. 250;

2. 757;

3. 711,25;

4. 914,625.

2. Перевести данные числа в десятичную систему счисления:

1. 1111000₂;

2. 1111000000₂;

3. 111101100,01101₂;

4. 100111100,1101₂;

5. 1233,5₈;

6. 2ВЗ,А4₁₆.

Практическая работа

Вариант 3.

1. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную:

1. 759;

2. 265;

3. 79,4375;

4. 360,25.

2. Перевести данные числа в десятичную систему счисления:

1. 1001101₂;

2. 10001000₂;

3. 100111001,01₂;

4. 1111010000,001₂;

5. 1461,15₈;

6. 9D,А16.

Практическая работа

Вариант 4.

1. Переведите данные числа из десятичной системы счисления в двоичную,

восьмеричную и шестнадцатеричную:

1. 216;

2. 336;

3. 741,125;

4. 712,375.

2. Перевести данные числа в десятичную систему счисления:

1. 1100000110₂;

2. 1100010₂;

3. 1011010,001₂;

4. 1010100010,001₂;

5. 1537,22₈;

6. 2D9,8₁₆.

4 этап урока –задание на дом.

-Молодцы!!!

- Выставления оценок.

- Домашняя работа прочитать §45 на стр.222 и ответить на вопросы и выполнить задания на стр.225 №1-4.

6