Построение сечения многогранников

Урок обобщения и систематизации знаний учащихся по геометрии в 10 классе.

Что изучает стереометрия ?

Стереометрия знакомит с разнообразием геометрических тел, формирует необходимые пространственные представления.

Стереометрия дает метод научного познания, способствует развитию логического мышления.

Стереометрия – сама по себе очень интересна. Она имеет яркую историю, связанную с именами знаменитых ученых

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет".         

Леонардо да Винчи

http://blogs.nnm.ru/page6/

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 1.

В

С

А

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

Аксиома 2:

В

А

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Аксиома 3:

М

m

В таком случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

М

m

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

b

а

Две прямые лежат в одной плоскости

2. Прямые

пересекаются

1. Прямые

параллельны

Одна общая точка

Нет общих точек

Не лежат в одной плоскости:

являются скрещивающимися

m

М

a

1. Прямая лежит в плоскости

Бесконечно много общих точек

2. Прямая пересекает плоскость

Одна общая точка

3. Прямая параллельна плоскости.

Нет общих точек

Признак параллельности прямой и плоскости:

Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

По прямой и не лежащей

на ней точке (следствие 1)

По трем точкам

(аксиома 1)

По двум параллельным прямым (по определению параллельных прямых)

По двум пересекающимся

прямым (следствие 2)

А

Одна точка пересечения

Нет точек пересечения

В

А

А

С

В

Пересечением

является плоскость

Пересечением

является отрезок

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью

Умение решать задачи – практическое искусство, подобное плаванию, или катанию на лыжах … : научиться этому можно лишь подражая избранным образцам и постоянно тренируясь..

Д. Пойа

№ 1. Построить сечение, определенное точками K, L, M.

Р

• Прямая КМ

K

2. Прямая МL

L

3. Прямая КL

В

КМL –сечение

?

А

(аксиома 1)

M

N2. Построить сечение, определяемое параллельными прямыми АА 1 и CC 1 .

С 1

В 1

1. Прямая А 1 С 1

2. Прямая АС

D 1

А 1

АА 1 С 1 С - сечение

В

С

?

D

А

N3. Построить сечение, определяемое пересекающимися прямыми АС 1 и А 1 С.

В 1

С 1

1. Прямые А 1 С 1 и АС

2. Прямые АА 1 и СС 1

А 1

D 1

АА 1 С 1 С - сечение

В

С

?

D

А

(следствие 2)

N4. Построить сечение по прямой BC и

точке М .

Р

1. Прямая ВС

2. Прямая СМ

М

3. Прямая ВМ

ВСМ - сечение

В

?

А

(следствие 1)

С

N5. Определите вид сечения куба АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 плоскостью, проходящей через ребро А 1 Д 1 и середину ребра ВВ 1 .

1. Прямая А 1 М

D 1

С 1

A 1 D 1

2. Прямая МК

3. Прямая D 1 K

К

А 1

В 1

A 1 D 1 KM - сечение

D

С

М

А

В

N6 . Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку М и прямую АС .

1. Прямая СМ

М

В 1

С 1

К

2. Прямая МК II AC

А 1

3. Прямая AK

D 1

AKМС - сечение

С

В

D

А

N7. Построить сечение правильной призмы плоскостью, проходящей через ребро АВ и точку М середину ребра В 1 С 1 .

К

А 1

С 1

М

1. Прямая ВМ

В 1

2. Прямая МК параллельно АВ

3. Прямая АК

С

А

АКМВ - сечение

В

N8. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и параллельно плоскости основания пирамиды.

S

1. Прямая КМ II AD

2. Прямая КN II DC

3. Прямая МP II AB

N

P

4. Прямая PN II BC

M

К

В

С

KMPN - сечение

А

D

МЕТОД СЛЕДОВ

Суть метода: построение вспомогательной прямой, являющейся линией пересечения секущей плоскости с плоскостью грани фигуры.

Эту линию называют следом секущей плоскости.

Просмотр учебного видеофильма.

Постройте сечение куба, проходящее через точки P, М, К.

М

А

К

О

С

В

1. Прямая МК

Т

2. Прямая КР

Р

3. Прямая ОТ

МАВРС - сечение

M

M

P

N

P

M

N

N

P

N

M

N

M

P

P

P

M

N

Решения варианта 1.

M

M

P

N

P

M

N

N

P

Решения варианта 2.

N

M

N

M

P

P

P

M

N

Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их

(Д. Пойа)

ЛИТЕРАТУРА

1. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

2. Электронное издание « Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов . Полный курс за 7-11 классы»

3. Атанасян Л.С. и др. Геометрия.  Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений

Изображение с сайта: http://www.cdvseti.ru/id3700.html

Портреты математиков взяты с диска "Математика 5-11".

Изображение с сайта: http://www.thg.ru/education/20050714/images/arhimed_cut.jpg

Анимация с сайта: http://badbad-girl.narod.ru/zelenie.html