Презентация к уроку-обобщения по теме: Логарифм, логарифмические уравнения.

Урок – обобщение «Логарифм. Логарифмические уравнения»

«Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара концентрированной в них мысли»

А.Д. Александров

Чернорбабова К.В.

0 , a 0 и a ≠ 1 . Число с называется логарифмом числа b по основанию a , если a c = b . Число b называется аргументом логарифма , число a – основанием логарифма. Обозначение: с = log a b . Повторяем изученное 2 Чернорбабова К.В. " width="640"

Гимназия № 8

Определение

O: Пусть b 0 , a 0 и a ≠ 1 . Число с называется логарифмом числа b по основанию a , если a c = b .

Число b называется аргументом логарифма ,

число a – основанием логарифма. Обозначение: с = log a b .

Повторяем изученное

2

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Повторяем изученное

y = e x

2

3

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Основные свойства логарифмов

Повторяем изученное

3

4

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Повторяем изученное

О монотонности логарифмической функции

Область определения

Множество значений функции

4

5

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Повторяем изученное

Уравнение вида

log a f(x) = log a g(x)

( или сводящееся к этому виду)

называют логарифмическим

5

6

Чернорбабова К.В.

0 и g(x)0, a0 и a ≠ 1, то уравнение log a f(x) = log a g(x) равносильно уравнению f(x)=g(x) Решая уравнение, следует помнить теорему о корне Теорема о корне Пусть функция f(x) возрастает (или убывает) на промежутке Х, число a – любое значение функции на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке Х. 6 7 Чернорбабова К.В. " width="640"

Гимназия № 8

Повторяем изученное

Если f(x)0 и g(x)0, a0 и a ≠ 1, то уравнение log a f(x) = log a g(x)

равносильно уравнению

f(x)=g(x)

Решая уравнение, следует помнить теорему о корне

Теорема о корне

Пусть функция f(x) возрастает (или убывает) на промежутке Х, число a – любое значение функции на этом промежутке. Тогда уравнение f(x)=a имеет единственный корень в промежутке Х.

6

7

Чернорбабова К.В.

Методы решения

логарифмических уравнений

логарифмирование

потенцирование

с помощью

определения

логарифма

вынесение общего

графический

множителя за

скобки

введение новой

переменной

приведение к одному основанию

Гимназия № 8

Повторяем изученное

Этапы решения уравнения

• Найти область допустимых значений (ОДЗ) переменной

• Решить уравнение, выбрав метод решения

• Проверить найденные корни непосредственной подстановкой в исходное уравнение или выяснить, удовлетворяют ли они условиям ОДЗ

Читай о разных подходах к решению логарифмических уравнений (учебник, статьи ученых)

7

9

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Существует несколько методических подходов к решению логарифмических уравнений. Например, не находят ОДЗ, а сразу решают уравнение f (х) = g (x). Затем все найденные корни проверяют непосредственной их подстановкой в исходное уравнение.

А можно придерживаться следующего плана решения уравнения: решение уравнения log a f (х) = log a g (x) заключается в следующем:

решаем уравнение f (х) = g (x); если уравнение имеет корни, то делаем проверку. Для этого составляем систему неравенств:

но не решаем ее, а проверяем найденные корни уравнения подстановкой в неравенства системы (что значительно проще).

9

9

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

9

9

Чернорбабова К.В.

Проверь себя

• Вычисли устно
• Реши уравнения
• Сравни

9

9

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Проверь себя

Вычисли устно:

-2

3

1/2

=

9

27

=

Ответы

9

13

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Проверь себя

Реши устно уравнения:

X=27

X=27

X=8

X=2

Ответы

13

13

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Проверь себя

1) Сравни с 1 log 1099 1098

меньше 1

2) Сравни с 1 log 296 297

больше 1

3) Графики уравнений отличаются или совпадают?

y

y

x

x

В ОДЗ 1-го уравнения не входит точка х=0, (точка «выколота»)

Ответы

Ответ: отличаются

13

15

Чернорбабова К.В.

Графический диктант

Ответ:

-,+,-,+,-,-,+,-,-+,-,-,+,+,-,+,-

15

Об истории развития логарифмов

Слово ЛОГАРИФМ происходит от греческих слов  - число

и  - отношение

Слово логарифм происходит от слияния греческих слов и переводится как отношение чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а другое – геометрической прогрессии. Впервые это понятие ввел английский математик Джон Непер.

Кроме того, этот человек известен тем, что он первый изобрел таблицу логарифмов, которая пользовалась большой популярностью среди ученых на протяжении долгих лет. В таблицы Непера, изданные в книгах под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» и «Устройство удивительной таблицы логарифмов», вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов углов от 0 до 99 градусов.

Первые таблицы десятичных логарифмов были составлены в 1617 г. английским математиком Бриггсом. Многие из них были выведены с помощью выведенной Бриггсом формулы. Сейчас мы пользуемся таблицами Брадиса.

Изобретатели логарифмов не ограничились созданием логарифмических таблиц, уже через 9 лет после их разработки в 1623 г. английским математиком Гантером была создана первая логарифмическая линейка. Она стала рабочим инструментом для многих поколений. В настоящее время мы можем находить значения логарифмов, используя компьютер. Так, в языке программирования BASIC с помощью встроенной функции можно находить натуральные логарифмы чисел.

15

17

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Об истории развития логарифмов

НЕПЕР Джон (1550-1617) , шотландский математик, изобретатель логарифмов.

Потомок старинного воинственного шотландского рода. Изучал логику, теологию, право, физику, математику, этику. Увлекался алхимией и астрологией. Изобрел несколько полезных сельскохозяйственных орудий. В 1590-х годах пришел к идее логарифмических вычислений и составил первые таблицы логарифмов, однако свой знаменитый труд "Описание удивительных таблиц логарифмов" опубликовал лишь в 1614 году.

В конце 1620-х годов была изобретена логарифмическая линейка, счетный инструмент, использующий таблицы Непера для упрощения вычислений. С помощью логарифмической линейки операции над числами заменяются операциями над логарифмами этих чисел.

Джон Непер (1550-1617)

17

18

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Об истории развития логарифмов

Первые таблицы логарифмов назывались

«Описание удивительной таблицы логарифмов»

(1614 г.) и

«Устройство удивительной таблицы логарифмов»

(1619 г.)

18

19

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Об истории развития логарифмов

19

19

Чернорбабова К.В.

Гимназия № 8

Об истории развития логарифмов

Логарифм можно найти теперь с помощью ПК.

19

19

Чернорбабова К.В.

Применение логарифмов

Психофизический закон Вебера-Фехнера

«Когда величина раздражителя изменяется в геометрической прогрессии, величина ощущения изменяется в прогрессии арифметической»

19

Фехнер Густав Теодор

Фехнер Густав Теодор (1801 – 1887) — немецкий физик, философ и психолог, основатель психофизики, автор программного труда „Элементы психофизики“ (1860). Опубликовал также, под псевдонимом „доктор Мизес“, несколько сатирических произведений. После ряда исследований последовательных образов, вызываемых наблюдением солнца, частично потерял зрение, что заставило его оставить физику и заняться философией. Разработал систему методов косвенного измерения ощущений, в частности разработал три классических метода измерения порогов. Вывел основной психофизический закон, согласно которому интенсивность ощущения пропорциональна логарифму величины раздражителя.

19

Интересный факт

• Пример процесса, подчиняемого закону Вебера-Фехнера: «Продвижение людского потока при эвакуации при пожаре пропорционально логарифму плотности толпы»

• Физики шутят: «Математика –царица всех наук, но служанка физики».

19

Логарифмическая спираль

?

Путешествие на северо-восток

?

?

?

?

Вопрос : Если идти все время на северо-восток, то куда мы придем?

Обычно на этот вопрос отвечают так: обойду земной шар и вернусь в точку начала пути.

Но этот ответ неверен. Ведь идти на северо-восток - это значит постоянно увеличивать восточную долготу и северную широту, и вернуться в более южную точку мы не сможем.

?

Путешествие на северо-восток

!

!

!

!

!

!

Ответ: Рано или поздно мы попадем на северный полюс.

При этом путь, который мы пройдем, будет иметь вид логарифмической спирали.

На рисунке вы можете видеть этот путь так, как мы увидели бы его, смотря на земной шар со стороны северного полюса.

Уравнение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль описывается уравнением r=a ф , где r – расстояние от точки, вокруг которой закручивается спираль (ее называют полюсом), до произвольной точки на спирали, ф – угол поворота относительно полюса, а – постоянная.

Спираль называется логарифмической, т.к. логарифм расстояния (log a r) возрастает пропорционально углу поворота ф.

Свойства логарифмической спирали

Произвольный луч, выходящий из полюса спирали, пересекает любой виток спирали под одним и тем же углом.

Свойства логарифмической спирали

Логарифмическая спираль не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или растянуть эту спираль – то же самое, что повернуть ее на определенный угол.

Свойства логарифмической спирали

Если вращать спираль вокруг полюса по часовой стрелке, то можно наблюдать кажущееся растяжение спирали.

Свойства логарифмической спирали

Если вращать спираль вокруг полюса против часовой стрелки, то можно наблюдать кажущееся сжатие спирали.

Знаменитости и спираль

Впервые о логарифмической спирали говорится в письме французского математика Рене Декарта в 1638 г.

Великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал логарифмическую спираль математическим символом жизни .

Логарифмическая спираль так поразила математика Якоба Бернулли, что он завещал высечь ее изображение на своем надгробном камне вместе с надписью на латинском «Измененная, возрождаюсь прежней».

Логарифмическая спираль в природе

В природе логарифмическая спираль встречается довольно часто.

Например, раковины многих моллюсков закручены именно по этой спирали, чтобы не сильно вытягиваться в длину.

Также логарифмическую спираль можно увидеть в рогах архара (горного козла).

Логарифмическая спираль в природе

В подсолнухе семечки расположены по дугам, очень близким к логарифмической спирали.

По логарифмическим спиралям закручены многие галактики, в частности, галактика, которой принадлежит Солнечная система.

Логарифмическая спираль в природе

Один из наиболее распространенных пауков, эпейра, сплетая паутину, закручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали.

Хищные птицы кружат над добычей по логарифмической спирали. Дело в том, что они лучше видят, если смотрят не прямо на добычу, а чуть в сторону.

Шумы и логарифмы

Шумы в промышленности

Вредное влияние шумов на здоровье людей побудило изучению шумов, к их классификации, к созданию определённых стандартов и эталонов

Зависимость величины громкости от его физической характеристики

Формула зависимости

N~lg S ,

где N - величина громкости

S - сила звука

Естественные шумы

Искусственные шумы

А теперь немного истории…

В Древней Греции «софисты» (от греческого слова sofos, означающего мудрость) – мыслители, люди, авторитетные в различных вопросах.

Их задачей обычно было научить убедительно защитить любую точку зрения.

Софизмы

Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений (словарь Ожегова)

Математические софизмы

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки.

Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.

Логарифмическая комедия

Заменим каждую дробь степенью

с основанием

Логарифмическая комедия

Большему числу соответствует больший логарифм

Логарифмическая комедия

Сократим на

Получаем

В чем ошибка этого доказательства?

Логические софизмы «Софизм учебы »

Данным софизмом является песенка,

сочиненная английскими студентами:

Песенка

The more you study, the more you know

The more you know, the more you forget

The more you forget, the less you know

The less you know, the less you forget

The less you forget, the more you know

So why study?

Логические софизмы «Софизм учебы»

Перевод .

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь, тем больше знаешь.

Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

До новых встреч

КОНЕЦ

Чернорбабова К.В.

всем спасибо!