Презентация к уроку "Правила сложения и умножения при решении комбинаторных задач"

ГБПОУ «Уренский индустриально – энергетический техникум»

Сложение и умножение вероятностей

1 . Выпадение снега 14 ноября невозможное событие .

2. Выпадение девятки при бросании игральной кости случайное событие.

3. Угасание фонаря на столбе невозможное событие.

4. При наугад взятой из колоды карты может выпасть семёрка.

5. Если в урне 4 чёрных и 2 белых шара, то наугад взятые 2 шара могут быть белыми.

6. Если в урне 4 чёрных и 2 белых шара, то наугад взятые 2 шара могут быть зелёными.

7. Если монету бросить 2 раза, то ни разу не выпадет орёл.

Событие А — кубик оказался красным

Событие B — кубик оказался синим

События А и B не могут произойти одновременно.

C обытия А и B являются несовместными.

Два события называют

НЕСОВМЕСТНЫМИ ,

если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть

наступление одного из них исключает наступление другого .

Событие А — кубик оказался красным

Событие B — кубик оказался синим

?

Событие C — кубик оказался не белым

Выясним, как вероятность события С связана с вероятностями каждого из событий А и B .

Благоприятных исходов:

4 6 10

B

A

C

20 исходов

A

B

C

E сли событие C означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или B , то вероятность события C равна сумме вероятностей событий А и B .

Пример 1

Есть 10 экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число больше 7.

Событие B — число больше 7

Событие А — простое число

7

5

2

3

8

9

10

3 благоприятных исхода

из 10 возможных

4 благоприятных исхода

из 10 возможных

Событие B — число больше 7

Событие А — простое число

Событие C — простое число, больше 7

Событие С наступает тогда, когда наступает одно из событий

A или B

несовместные

Свойство вероятностей

противоположных событий

Пример

Событие B

Выпало менее 6 очков

Событие А

Выпало 6 очков

Всякое наступление события А означает, что событие B не наступит. А наступление события B означает, что событие А не наступит .

C обытия А и B – противоположные события.

Событие А

Выпало 6 очков

Событие B

Выпало менее 6 очков

1 благоприятный исход

из 6 возможных

5 благоприятных исходов

из 6 возможных

Сумма вероятностей

противоположных событий равна 1

Пример

Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше 9?

Общее число равновозможных исходов равно 36.

4 благоприятных исхода

(3; 6), (6; 3), (4; 5), (5; 4)

Рассмотрим, как можно вычислить вероятность события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий .

Два события называются

НЕЗАВИСИМЫМИ ,

если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Пусть в одной из двух коробок находится 18 шаров, из которых 3 красные, а в другой 24 шара, из которых 4 красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

?

?

Событие А

из первой коробки

вынимают красный шар

Событие B

из второй коробки

вынимают красный шар

события A и B являются независимыми

Для события С благоприятными являются те исходы, при которых оба вытянутых шара окажутся красными.

Если событие C означает совместное наступление событий A и B , то вероятность события C равна произведению вероятностей событий А и B .

P(AB) = P(A)·P(B)

Примеры: Бросают 2 кубика одновременно.

Какова вероятность того, что выпадут 2 шестерки?

Два стрелка стреляют по мишени по одному разу. Вероятность попадания первого 0,7, вероятность, что попадет второй – 0,8. Какова вероятность, что оба попадут?

В двух коробках лежат шоколадки. В первой коробке 4 плитки темного шоколада и 8 молочного. Во второй 6 темного и 10 молочного. Случайным образом берут одну шоколадку из первой коробки и одну из второй. Какова вероятность того, что: - Обе шоколадки окажутся темного шоколада. - Обе будут молочного шоколада - Одна темная, другая молочная. Решение: А – из первой коробки достали темный шоколад; В – из первой коробки достали белый шоколад; С – из второй коробки достали темный шоколад; D – из второй коробки достали белый шоколад.

Кондитерское предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции (шоколадных тортов) при своевременной доставке сырья от двух поставщиков. Вероятность задержки в доставке сырья (шоколада) от первых поставщиков - 0,05. Вероятность задержки сырья (сахара) от вторых поставщиков – 0,08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

На карточках написаны буквы, из них составлено слово барабан . Карточки перевернули и перемешали.

Какова вероятность того, что если по одной карточке переворачивать, то получится слово баран .

На тарелке лежат 5 пирожков с мясом, 3 с рыбой и 6 с творогом одинаковой формы. Случайно берут 3 пирожка.

Какова вероятность того, что все пирожки будут с мясом?

Из колоды в 52 карты наугад вытащили 3 карты. Какова вероятность того, что сначала будет вытащена тройка, потом 7, потом туз?

Из четырех одинаково упакованных ящиков только в одном имеется изделие нужного вида. Ящики вскрывают один за другим.

Какова вероятность того, что нужное изделие окажется в третьем по счету вскрытом ящике?

Пример. На карточках написаны числа от одного до девяти включительно. Перевернули их числами вниз и перемешали. Затем берут наугад одну карточку, записывают ее номер и кладут обратно. Карточки снова перемешивают. Затем берут еще одну карточку и записывают ее номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вытянуты карточки, номера которых являются простыми числами.

А – событие, при котором в первый раз будет вытянута карточка с простым числом.

В – событие при котором во второй раз будет вытянута карточка с простым числом.

C – событие при котором оба раза будут вытянуты карточки с простыми числами

А и В – независимые события

1. Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б.

с вероятностью 0,62. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б.

с вероятностью 0,2. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй

партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

2 . На экзамене по геометрии школьнику достаётся один вопрос из

списка экзаменационных вопросов.Вероятность того, что это вопрос на

тему «Вписанная окружность», равна 0,3. Вероятность того, что это вопрос

на тему «Параллелограмм», равна 0,25. Вопросов, которые одновременно

относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того,

что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

3 .Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при

одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре

раза попал в мишени, а последний промахнулся. Результат округлите до сотых.

4.В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть

неисправен с вероятностью 0,07 независимо от

другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Домашнее задание

1. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов:

четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го.

Случайным образом выбран ящик для продажи.

Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

2. В каждом из трех ящиков имеется по 10 деталей. В первом ящике 8

стандартных деталей, во втором – 7, в третьем – 9. Из каждого ящика

наудачу извлекают по одной детали.

Найти вероятность того, что все детали окажутся стандартными.

3. Для сигнализации о возгорании установлены два независимо работающих дат­чика.

Вероятности того, что при возгорании датчик сработает, для первого и второго

датчиков соответственно равны 0,5 и 0,7. Найти вероятность того, что при пожаре:

а) оба датчика откажут; б) оба датчика сработают.