Прямоугольная система координат 9 класс

Координатная прямая

Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O , называемая началом координат , и единичный отрезок OE , указывающий положительное направление координатной прямой.

Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О , взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Теорема. Расстояние между точками А 1 , А 2 на координатной прямой с координатами x 1 , x 2 соответственно выражается формулой : А 1 А 2 = | x 2 – x 1 |.

Координатная плоскость

Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат. Начало координат обозначается буквой O , а координатные прямые обозначаются Ox , Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат . Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Координаты точки

Пусть A – точка на координатной плоскости. Через точку A проведем прямую, перпендикулярную оси Ox , и точку ее пересечения с осью Ox обозначим A x . Координата этой точки на оси Ox называется абсциссой точки A и обозначается x . Аналогично через точку А проведем прямую, перпендикулярную оси О y и точку ее пересечения с осью О y обозначим A y . Координата этой точки на оси Oy называется ординатой точки А и обозначается y .

Таким образом, точке А на координатной плоскости соответствует пара ( x , y ), называемая координатами точки на плоскости относительно данной системы координат. Точка А с координатами ( x , y ) обозначается А ( x , y ).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Р. Декарт

Впервые прямоугольные координаты были введены Р. Декартом (1596-1650), поэтому прямоугольную систему координат называют также декартовой системой координат , а сами координаты – декартовыми координатами . Введение прямоугольных координат на плоскости позволило свести многие геометрические задачи к чисто алгебраическим и, наоборот, алгебраические задачи – к геометрическим. Метод, основанный на этом, называется методом координат .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 1

Какая прямая называется координатной?

Ответ . Координатной прямой, или координатной осью называется прямая, на которой выбраны точка O , называемая началом координат, и единичный отрезок OE , указывающий положительное направление координатной прямой.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 2

Что называется координатой точки на координатной прямой?

Ответ . Координатой точки А на координатной прямой называется расстояние x от точки А до начала координат О , взятое со знаком "+", если А принадлежит положительной полуоси, и со знаком "–", если А принадлежит отрицательной полуоси.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 3

Как выражается расстояние между двумя точками на координатной прямой?

Ответ . Расстояние между точками А 1 , А 2 на координатной прямой с координатами x 1 , x 2 соответственно выражается формулой : А 1 А 2 = | x 2 – x 1 |.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 4

Что называется прямоугольной системой координат на плоскости ?

Ответ . Прямоугольной системой координат на плоскости называется пара перпендикулярных координатных прямых с общим началом координат.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 5

Какая плоскость называется координатной плоскостью?

Ответ . Плоскость, с заданной прямоугольной системой координат, называется координатной плоскостью.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Вопрос 6

Как обозначаются и как называются координатные прямые на координатной плоскости?

Ответ . К оординатные прямые обозначаются Ox , Oy и называются соответственно осью абсцисс и осью ординат.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

На координатной прямой точки A 1 , A 2 имеют координаты x 1 и x 2 соответственно. Найдите координату середины A отрезка A 1 A 2 .

Ответ:

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 2

Для заданных точек на координатной плоскости найдите их координаты.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: A ( 3 , 1 ), B (2, 3 ), C (1, 2 ), D (–2, 2 ), E (–1, – 2 ), F ( 4 , – 1 ) .

Упражнение 3

На координатной плоскости изобразите точки A (2, 1), B (1, 3), C (4, 2), D (-3, 2), E (-2, -3), F (3, - 2 ).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 4

На прямой, параллельной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них ордината равна 2. Чему равна ордината другой точки?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 2 .

Упражнение 5

На прямой, перпендикулярной оси абсцисс, взяты две точки. У одной из них абсцисса равна 3. Чему равна абсцисса другой точки?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: 3 .

Упражнение 6

Изобразите угол AOB , для которого : а) A ( 3 , 0), O (0, 0), B (0, 3) ; б) A ( 3 , 0), O (0, 0), B (3, 3) ; в) A ( 3 , 0), O (0, 0), B (-3, 3) . Найдите его величину.

Ответ: а) 90 о ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) 45 о ;

в) 135 о .

Упражнение 7

Изобразите угол ABC , для которого : а) A ( 2 , 1), B (-1, 1), C (2, -2) ; б) A ( 2 , -1), B (-1, 2), C (1, 4) ; в) A ( -1 , 0), B (3, 2), C (2, 4). Найдите его величину.

Ответ: а) 45 о ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) 90 о ;

в) 90 о .

Упражнение 8

Из точки А (2, 3) опущен перпендикуляр на ось абсцисс. Найдите координаты основания перпендикуляра.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: (2, 0).

Упражнение 9

Через точку А (2, 3) проведена прямая, параллельная оси абсцисс. Найдите координаты ее точки пересечения с осью ординат.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: (0, 3).

Упражнение 10

Найдите координаты середины отрезка АВ , если: а) А (1, -2), В (5, 6); б) А (-3, 4), В (1, 2); в) А (5, 7), В (-3, -5).

Ответ: а) (3, 2);

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) (–1, 3);

в) (1, 1).

0. Ответ: а) Полуплоскость, расположенная справа от оси ординат; б) полуплоскость, расположенная ниже оси абсцисс, без самой оси абсцисс; в) левый верхний квадрант координатной плоскости; г) правый верхний и левый нижний квадранты координатной плоскости, без осей координат. В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой 21 " width="640"

Упражнение 11

Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) x 0; б) y x 0, y 0; г) xy 0.

Ответ: а) Полуплоскость, расположенная справа от оси ординат;

б) полуплоскость, расположенная ниже оси абсцисс, без самой оси абсцисс;

в) левый верхний квадрант координатной плоскости;

г) правый верхний и левый нижний квадранты координатной плоскости, без осей координат.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

21

Упражнение 12

Изобразите треугольник ABC , для которого A ( - 2 , -1 ), B (2, -1 ), C ( -2 , 1) . Какой это треугольник?

Ответ. Прямоугольный.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 13

Изобразите треугольник ABC , для которого A ( - 2 , -2 ), B (2, -2 ), C ( 0 , 1) . Какой это треугольник?

Ответ. Равнобедренный.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 14

Изобразите четырехугольник ABCD , для которого A ( - 2 , 0 ), B ( 0 , -2 ), C ( 2 , 0) , D (0, 2) . Какой это четырехугольник?

Ответ. Квадрат.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 15

Изобразите четырехугольник ABCD , для которого A ( - 2 , 1 ), B ( 2 , -1 ), C ( 3 , 1) , D ( -1 , 3 ) . Какой это четырехугольник?

Ответ. Прямоугольник.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 16

Изобразите четырехугольник ABCD , для которого A ( - 2 , 1 ), B ( 2 , 2 ), C ( 1 , 4) , D ( -3 , 3 ) . Какой это четырехугольник?

Ответ. Параллелограмм.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 17

Изобразите четырехугольник ABCD , для которого A ( - 2 , -1 ), B ( 2 , -1 ), C ( 1 , 2) , D ( -1 , 2 ) . Какой это четырехугольник?

Ответ. Трапеция.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 18

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (1, 0), (2, 1), (1, 3), (2, 4), (1, 4,5), (1, 6), (1,5, 5,5), (2,5, 5,5), (3, 6), (3, 4,5), (2, 4), (3, 3), (4,5, 2,5), (4,5, 0), (5, 2,5), (5, 0). Очертания какого животного она напоминает?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ. Кошка.

Упражнение 19

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (4, 0), (3, 1,5), (1, 2), (-1, 2), (-4, 0,5), (-6, 2), (-5,5, 0), (-6, -2), (-4, -0,5), (-1, -2), (1, -2), (3, -1,5), (4, 0). Очертания кого она напоминает?

Ответ. Рыба.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 20

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (-5, 1), (-6, 0,5), (-7, 1), (-4 ,5 , 2,5 ), ( -3,5 , 2 ,5), ( -4,5 , 1 ), ( 5 ,5, 1 ), ( 5 ,5, -0,5 ), ( 4,5 , -1,5 ), (4,5 , -1 ), ( 5 , -0,5 ), ( 5 , 0,5 ), (4, 0 ,5), (4,5, 0), ( 3, 5, - 2), ( 3 , -2 ) , ( 3 , -1 ) , ( 2 , -0,5 ) , ( -2 , -0,5 ) , ( -3,5 , -1 ) , ( -4,5 , -2 ) , ( -5,5 , -2 ) , ( -5 , -1 ) , ( -4,5 , -1 ) , ( -4,5 , 2 ) , ( -5 , 1 ) , ( -5,5 , -1 ) , ( -5 , -1 ). Очертания какой породы собаки она напоминает?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ. Такса.

Упражнение 21

Нарисуйте ломаную, вершины которой имеют координаты: (0, 0), (-1, 1), (-3, 1), (-2, 3), (-3, 3), (-4, 6), (0, 8), (2, 5), (2, 11), (6, 10), (3, 9), (4, 5), (3, 0), (2, 0), (1, -7), (3, -8), (0, -8), (0, 0). Очертания какой птицы она напоминает?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ. Страус.

Упражнение 22

Найдите координаты точки, симметричной точке A ( x , y ) относительно: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) начала координат.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ( x , – y );

б) (– x , y );

в) (– x , – y ).

Упражнение 23

Точки N (…, 6) и N 1 (2, …) симметричны относительно оси ординат. Назовите пропущенные координаты этих точек.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: N (–2, 6); N 1 (2, 6).

Упражнение 24

Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A вокруг начала координат на угол 90 о против часовой стрелки, если точка A имеет координаты: а) (2, 1); б) (-1, 3); в) (-2, -3); г) (1, -3).

Ответ: а) (–1, 2);

б) (–3, –1);

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

в) (3, –2);

г) (3, 1).

Упражнение 25

Найдите координаты точки, полученной поворотом точки A (1, 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол: а) 30 о ; б) 45 о ; в) 60 о .

Ответ: а) ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) ;

в) .

35

Упражнение 26

Найдите геометрическое место точек на координатной плоскости, для которых: а) x = 2; б) y = -1; в) | x | = 3; г) | y | 1; д) x = y ; е) x = - y .

Ответ: а) Прямая, параллельная оси ординат;

б) прямая, параллельная оси абсцисс;

в) две прямые, параллельные оси ординат;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

г) две полуплоскости;

д) прямая;

е) прямая.

Упражнение 27

Найдите расстояние от начала координат до точки с координатами: а) (1, 1); б) (-3, 4); в) (-1, -2).

Ответ: а) ;

б) 5;

в) .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

37