СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Презентация к уроку геометрии 11 класса по теме "Сфера и шар"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Определение сферы и шара, уравнение сферы, взаимное расположение сферы и плоскости, площадь сферы.

Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии 11 класса по теме "Сфера и шар"»

Урок по теме: Учитель: Шамаева И. И. Геометрия –11 класс

Урок

по теме:

Учитель: Шамаева И. И.

Геометрия –11 класс

План презентации Определение сферы, шара. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Площадь сферы. Итог урока. Опр.окр.

План презентации

  • Определение сферы, шара.
  • Уравнение сферы.
  • Взаимное расположение сферы и плоскости.
  • Площадь сферы.
  • Итог урока.

Опр.окр.

Окружность и круг  Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки. r d  r – радиус;  d – диаметр r Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.  Опр. сферы

Окружность и круг

  • Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии r от данной точки.

r

d

  • r – радиус;
  • d – диаметр

r

  • Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Опр. сферы

Определение сферы Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О). Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра. меридиан R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром. R О т. О – центр сферы D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр. Параллель (экватор) диаметр D = 2R шар

Определение сферы

  • Сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии ( R) от данной точки ( центра т.О).
  • Сфера – тело полученное в результате вращения полуокруж-ности вокруг её диаметра.

меридиан

  • R – радиус сферы – отрезок, соединяющий любую точку сферы с центром.

R

О

  • т. О – центр сферы
  • D – диаметр сферы – отрезок, соединяющий любые 2 точки сферы и проходящий через центр.

Параллель (экватор)

диаметр

  • D = 2R

шар

Шар Тело, ограниченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара. Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.

Шар

  • Тело, ограниченное сферой, называется шаром.
  • Центр, радиус и диаметр сферы являются также центром, радиусом и диаметром шара.
  • Шар радиуса R и центром О содержит все точки пространства, которые расположены от т. О на расстоянии, не превышающем R.
Исторические сведения о сфере и шаре Оба слова « шар » и « сфера » происходят от греческого слова «сфайра» - мяч. В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы. Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы». Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер. Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники. д/з прим.

Исторические сведения о сфере и шаре

  • Оба слова « шар » и « сфера » происходят от греческого слова «сфайра» - мяч.
  • В древности сфера и шар были в большом почёте. Астрономические наблюдения над небесным сводом вызывали образ сферы.
  • Пифагорейцы в своих полумистических рассуждениях утверждали, что сферические небесные тела располагаются друг от друга на расстоянии пропорциональном интервалам музыкальной гаммы. В этом усматривались элементы мировой гармонии. Отсюда пошло выражение «музыка сферы».
  • Аристотель считал, что шарообразная форма, как наиболее совершенная, свойственна Солнцу, Земле, Луне и всем мировым телам. Так же он полагал, что Земля окружена рядом концентрических сфер.
  • Сфера, шар всегда широко применялись в различных областях науки и техники.

д/з прим.

Как изобразить сферу? 1. Отметить центр сферы (т.О) 2. Начертить окружность с центром в т.О 3. Изобразить видимую вертикальную дугу ( меридиан) О 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу R 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель) 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу 7. Провести радиус сферы R  ур. окр.

Как изобразить сферу?

  • 1. Отметить центр сферы (т.О)
  • 2. Начертить окружность с центром в т.О
  • 3. Изобразить видимую вертикальную дугу ( меридиан)

О

  • 4. Изобразить невидимую вертикальную дугу

R

  • 5. Изобразить видимую гори-зонтальную дугу (параллель)
  • 6. Изобразить невидимую горизонтальную дугу
  • 7. Провести радиус сферы R

ур. окр.

Уравнение окружности  Зададим прямоугольную систему координат О xy  Построим окружность c центром в т. С и радиусом r М(х;у) у  Расстояние от произвольной т. М ( х;у)  до т.С  вычисляется по формуле: С(х 0 ;у 0 )  МС =  (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 МС = r , или МС 2 = r 2 О х  следовательно уравнение окружности имеет вид:  (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

Уравнение окружности

  • Зададим прямоугольную систему координат О xy
  • Построим окружность c центром в т. С и радиусом r

М(х;у)

у

  • Расстояние от произвольной т. М ( х;у) до т.С вычисляется по формуле:

С(х 0 ;у 0 )

  • МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2

МС = r , или МС 2 = r 2

О

х

следовательно уравнение

окружности имеет вид:

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 = r 2

Уравнение сферы  Зададим прямоугольную систему координат О xyz  Построим сферу c центром в т. С и радиусом R М(х;у ;z ) z R МС =  (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2  C(x 0 ;y 0 ;z 0 )  МС = R , или МС 2 = R 2 следовательно уравнение сферы имеет вид: у х (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Уравнение сферы

  • Зададим прямоугольную систему координат О xyz
  • Построим сферу c центром в т. С и радиусом R

М(х;у ;z )

z

R

МС = (x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2

C(x 0 ;y 0 ;z 0 )

  • МС = R , или МС 2 = R 2

следовательно уравнение

сферы имеет вид:

у

х

(x – x 0 ) 2 + (y – y 0 ) 2 + (z – z 0 ) 2 = R 2

Задача 1.  Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5 , записать уравнение сферы.  Решение  так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 ,  то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25  Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25  ур. сферы

Задача 1. Зная координаты центра С(2;-3;0), и радиус сферы R=5 , записать уравнение сферы.

  • Решение

так, как уравнение сферы с радиусом R и центром в точке С(х 0 ;у 0 ; z 0 ) имеет вид (х-х 0 ) 2 + (у-у 0 ) 2 + ( z-z 0 ) 2 =R 2 , а координаты центра данной сферы С(2;-3;0) и радиус R=5 , то уравнение данной сферы ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

Ответ: ( x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 =25

ур. сферы

r d d = r Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку. Если d Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек. Сфера и плоск " width="640"

Взаимное расположение окружности и прямой

Возможны 3 случая

r

d r

d

d = r

Если d = r , то прямая и окружность имеют 1 общую точку.

Если d

Если d r , то прямая и окружность не имеют общих точек.

Сфера и плоск

Взаимное расположение сферы и плоскости  Введем прямоугольную систему координат Oxyz z  Построим плоскость α , сов-падающую с плоскостью Оху  Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α . C (0 ;0; d) у O В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая… х α

Взаимное расположение сферы и плоскости

  • Введем прямоугольную систему координат Oxyz

z

  • Построим плоскость α , сов-падающую с плоскостью Оху
  • Изобразим сферу с центром в т.С, лежащей на положительной полуоси Oz и имеющей координаты (0;0; d) , где d - расстояние (перпендикуляр) от центра сферы до плоскости α .

C (0 ;0; d)

у

O

  • В зависимости от соотношения d и R возможны 3 случая…

х

α

Взаимное расположение сферы и плоскости  Рассмотрим 1 случай z  d C (0 ;0; d) r М у O r = R 2 - d 2 х Сечение шара плоскостью есть круг.   α С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной . Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.

Взаимное расположение сферы и плоскости

  • Рассмотрим 1 случай

z

  • d

C (0 ;0; d)

r

М

у

O

r = R 2 - d 2

х

  • Сечение шара плоскостью есть круг.

α

  • С приближением секущей плоскости к центру шара радиус круга увеличивается. Плоскость, проходящая через диаметр шара, называется диаметральной . Круг, полученный в результате сечения, называется большим кругом.
Взаимное расположение сферы и плоскости  Рассмотрим 2 случай z d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку C (0 ;0; d) у O х α

Взаимное расположение сферы и плоскости

Рассмотрим 2 случай

z

  • d = R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, то сфера и плоскость имеют одну общую точку

C (0 ;0; d)

у

O

х

α

R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек. C (0 ;0; d) у O х α " width="640"

Взаимное расположение сферы и плоскости

  • Рассмотрим 3 случай

z

  • d R , т.е. если расстояние от центра сферы до плоскости больше радиуса сферы, то сфера и плоскость не имеют общих точек.

C (0 ;0; d)

у

O

х

α

Задача 2.  Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения. Дано: Шар с центром в т.О R=41 дм α - секущая плоскость d = 9 дм М R r К О d Найти:  r сеч = ? Решение:   Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный  ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r , r =  R 2 - d 2  по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81=1600 отсюда r сеч = 4 0 дм Ответ:  r сеч = 4 0 дм

Задача 2. Шар радиусом 41 дм пересечен плоскостью, находящейся на расстоянии 9 дм от центра. Найти радиус сечения.

Дано:

Шар с центром в т.О

R=41 дм

α - секущая плоскость

d = 9 дм

М

R

r

К

О

d

Найти: r сеч = ?

Решение:

Рассмотрим ∆ ОМК – прямоугольный

ОМ = 41 дм; ОК = 9 дм; МК = r , r = R 2 - d 2

по теореме Пифагора: МК 2 = r 2 = 41 2 - 9 2 = 16 81 - 81=1600 отсюда r сеч = 4 0 дм

Ответ: r сеч = 4 0 дм

Площадь сферы  Сферу нельзя развернуть на плоскость.  Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней.  За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани Площадь сферы радиуса R :  S сф =4 π R 2 т.е.:  Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга S шара =4 S круга

Площадь сферы

  • Сферу нельзя развернуть на плоскость.
  • Опишем около сферы многогран ник, так чтобы сфера касалась всех его граней.
  • За площадь сферы принимается предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани

Площадь сферы радиуса R : S сф =4 π R 2

т.е.: Площадь поверхности шара равна учетверенной площади большего круга

S шара =4 S круга

Задача 3.  Найти площадь поверхности сферы,  радиус которой = 6 см. Дано:  сфера  R  = 6 см Найти:  S сф = ? Решение: S сф = 4 π R 2 S сф = 4 π 6 2 = 144 π  см 2  Ответ:  S сф = 144 π  см 2

Задача 3. Найти площадь поверхности сферы, радиус которой = 6 см.

Дано:

сфера

R = 6 см

Найти:

S сф = ?

Решение:

  • S сф = 4 π R 2
  • S сф = 4 π 6 2 = 144 π см 2

Ответ: S сф = 144 π см 2

Задача №4  Первый советский искусственный спутник Земли был изготовлен в форме шара, диаметр которого равен 58 см.  Определить площадь поверхности спутника.

Задача №4

Первый советский искусственный спутник Земли был изготовлен в форме шара, диаметр которого равен 58 см.

Определить площадь поверхности спутника.

Решение  S = 4 π R 2 = 4 · 3,14 · 29 2 ≈ 10563 см 2 ≈ ≈ 1 м 2 Ответ: Поверхность спутника равна 1м 2

Решение

S = 4 π R 2 = 4 · 3,14 · 29 2 ≈ 10563 см 2 ≈

≈ 1 м 2

Ответ: Поверхность спутника равна 1м 2

Задача №5  Сколько метров шелковой материи шириной 1м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2м? На соединение и отходы идет 10% материала.

Задача №5

Сколько метров шелковой материи шириной 1м надо для изготовления воздушного шара, радиус которого 2м? На соединение и отходы идет 10% материала.

Решение  S пов. = 4 π R 2 = 4 · 3,14 · 4 ≈ 50,24м 2  Т.к. ширина материи 1м, значит потребуется ≈ 50м материи. 1% составляет ≈ 0,5м 10% составляет ≈ 5м Всего потребуется ≈ 55м материи Ответ: ≈ 55м материи

Решение

S пов. = 4 π R 2 = 4 · 3,14 · 4 ≈ 50,24м 2

Т.к. ширина материи 1м, значит потребуется ≈ 50м материи.

1% составляет ≈ 0,5м

10% составляет ≈ 5м

Всего потребуется ≈ 55м материи

Ответ: ≈ 55м материи

Задача №6  Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча).

Задача №6

Сколько кожи пойдет на покрышку футбольного мяча радиуса 10 см? (На швы добавить 8% от площади поверхности мяча).

Решение S сферы = 4 π R 2 , S = 4 π · 10 2 =40 π ( см 2 ) 1 способ.  1% S составляет 0.01· 400 π = 4 π (см 2 ); 8% S составляет 8 · 4 π = 32 π (см 2 ); S = 400 π + 32 π = 432 π  ≈ 1357 (см 2 ) 2 способ. 108% составляет 1,08 · 400 π = 432 π (см 2 ) Ответ: ≈ 1357 см 2 пойдет на покрышку футбольного мяча

Решение

S сферы = 4 π R 2 , S = 4 π · 10 2 =40 π ( см 2 )

1 способ.

1% S составляет 0.01· 400 π = 4 π (см 2 );

8% S составляет 8 · 4 π = 32 π (см 2 );

S = 400 π + 32 π = 432 π ≈ 1357 (см 2 )

2 способ.

108% составляет 1,08 · 400 π = 432 π (см 2 )

Ответ: ≈ 1357 см 2 пойдет на покрышку футбольного мяча

Итог урока Сегодня вы познакомились с:  определением сферы, шара;  уравнением сферы;  взаимным расположением сферы и плоскости;  площадью поверхности сферы.

Итог урока

Сегодня вы познакомились с:

  • определением сферы, шара;
  • уравнением сферы;
  • взаимным расположением сферы и плоскости;
  • площадью поверхности сферы.
Заключение На этом наш урок закончен Спасибо за работу

Заключение

На этом наш урок закончен

Спасибо за работу


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей