Пробный вариант по математике для подготовки к ОГЭ 2017

Пробный вариант 1 математика 2017.

1. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния   .

Ре­ше­ние.

Най­дем зна­че­ние вы­ра­же­ния:

Ответ: 81.

Ответ: 81

311395

81

Источник: ГИА-2013. Математика. Ди­а­гно­сти­че­ская работа № 2.(5 вар)

2. На ко­ор­ди­нат­ной пря­мой от­ме­че­но число а.

Какое из утвер­жде­ний от­но­си­тель­но этого числа яв­ля­ет­ся вер­ным?

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

1) Из ри­сун­ка видно, что сле­до­ва­тель­но, Тогда утвер­жде­ние 1 верно.

2) До­ба­вим к по­лу­чен­но­му не­ра­вен­ству 5, тогда сле­до­ва­тель­но, утвер­жде­ние 2 не­вер­но.

3) Учтём, что тогда утвер­жде­ние 3 не­вер­но.

4) До­ба­вим к ис­ход­но­му не­ра­вен­ству −7 и по­лу­чим, что а это мень­ше нуля, сле­до­ва­тель­но, утвер­жде­ние 4 не­вер­но.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

311805

1

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 01.10.2013 ва­ри­ант МА90105.

3. Срав­ни­те числа и 10.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)

2)

3)

Ре­ше­ние.

В силу це­поч­ки не­ра­венств

пер­вое число мень­ше вто­ро­го.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 1.

Ответ: 1

314422

1

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

4. Ре­ши­те урав­не­ние  .

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

311443

2,5

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Ва­ри­ант 6

5. На ри­сун­ке изоб­ра­же­ны гра­фи­ки функ­ций вида y = kx + b. Уста­но­ви­те со­от­вет­ствие между зна­ка­ми ко­эф­фи­ци­ен­тов k и b и гра­фи­ка­ми функ­ций.

Гра­фи­ки

Ко­эф­фи­ци­ен­ты

За­пи­ши­те в ответ цифры, рас­по­ло­жив их в по­ряд­ке, со­от­вет­ству­ю­щем бук­вам:

Ре­ше­ние.

Если зна­че­ние функ­ции воз­рас­та­ет с уве­ли­че­ни­ем x, то ко­эф­фи­ци­ент k по­ло­жи­те­лен, если убы­ва­ет — от­ри­ца­те­лен. Зна­че­ние b со­от­вет­ству­ет зна­че­нию функ­ции в точке x = 0, сле­до­ва­тель­но, если гра­фик пе­ре­се­ка­ет ось ор­ди­нат выше оси абс­цисс, то зна­че­ние b по­ло­жи­тель­но, если ниже оси абс­цисс — от­ри­ца­тель­но.

Таким об­ра­зом, ко­эф­фи­ци­ентам со­от­вет­ству­ют сле­ду­ю­щие гра­фи­ки: А — 2, Б — 4, В — 3.

Ответ: 243.

Ответ: 243

341008

243

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 30.09.2014 ва­ри­ант МА90103.

6. Ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия за­да­на усло­ви­ем a_n = 8,2 − 9,3n. Най­ди­те a₆.

Ре­ше­ние.

Под­ста­вим 6 вме­сто ин­дек­са n:

Ответ: -47,6.

Ответ: -47,6

341404

-47,6

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.04.2015 ва­ри­ант МА90704.

7. Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

Ре­ше­ние.

При­ведём в скоб­ках к об­ще­му зна­ме­на­те­лю:

Под­ста­вим зна­че­ние

Ответ: 390.

Ответ: 390

338131

390

8. Ре­ши­те не­ра­вен­ство  .

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1)

2)

3)

4)

Ре­ше­ние.

Решим не­ра­вен­ство:

Пра­виль­ный ответ ука­зан под но­ме­ром 4.

Ответ: 4

341139

4

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2015 ва­ри­ант МА90502.

9. Диа­го­наль  AC  па­рал­ле­ло­грам­ма  ABCD  об­ра­зу­ет с его сто­ро­на­ми углы, рав­ные 45° и 25°. Най­ди­те боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Так как угол А равен 70°, а сумма од­но­сто­рон­них углов па­рал­ле­ло­грам­ма равна 180°, боль­ший угол па­рал­ле­ло­грам­ма равен 110°.

Ответ: 110.

Ответ: 110

311460

110

Источник: ГИА-2013. Математика. Экзамен. Ва­ри­ант 15

10. Точки A и B делят окруж­ность на две дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 9:11. Най­ди­те ве­ли­чи­ну цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на мень­шую из дуг. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Дуги окруж­но­сти от­но­сят­ся как 9:11, что в сумме дает 20 ча­стей. По­это­му длина мень­шей дуги со­став­ля­ет от всей окруж­но­сти, тем самым, она равна  . Так как угол AOB — цен­траль­ный, то он равен той дуге на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся. Таким об­ра­зом, .

Ответ: 162.

Ответ: 162

311483

162

Источник: ГИА-2013. Математика. Тре­ни­ро­воч­ная работа № 4.(1 вар.)

11. Сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния сто­рон на синус угла между ними. Так как угол рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равен 60° и все сто­ро­ны равны 10, имеем:

Ответ: 25.

----------

В от­кры­том банке ир­ра­ци­о­наль­ный ответ.

Ответ: 25

169847

25

12. Най­ди­те тан­генс угла В тре­уголь­ни­ка ABC, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Тан­генс угла в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке — от­но­ше­ние про­ти­во­ле­жа­ще­го ка­те­та к при­ле­жа­ще­му:

Ответ: 3,5.

Ответ: 3,5

314836

3,5

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°.

2) Если один из углов па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°, то про­ти­во­по­лож­ный ему угол равен 120°.

3) Диа­го­на­ли квад­ра­та делят его углы по­по­лам.

4) Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

Если утвер­жде­ний не­сколь­ко, за­пи­ши­те их через точку с за­пя­той в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое из утвер­жде­ний.

1) «Сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°.» — не­вер­но, сумма углов вы­пук­ло­го n — уголь­ни­ка равна (n – 2)·180°.

2) «Если один из углов па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°, то про­ти­во­по­лож­ный ему угол равен 120°.» — не­вер­но, в па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны и про­ти­во­по­лож­ные углы равны.

3) «Диа­го­на­ли квад­ра­та делят его углы по­по­лам.» — верно, Диа­го­на­ли квад­ра­та равны, вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам, делят углы квад­ра­та по­по­лам. Таким об­ра­зом, пря­мо­уголь­ные тре­уголь­ни­ки равны.

4) «Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.» — не­вер­но, если в четырёхуголь­ни­ке две сто­ро­ны равны и па­рал­лель­ны, то этот четырёхуголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм.

Ответ: 3.

Ответ: 3

169924

3

14. Сту­дент­ка Фи­ал­ко­ва вы­ез­жа­ет из Наро-Фо­мин­ска в Моск­ву на за­ня­тия в уни­вер­си­тет. За­ня­тия на­чи­на­ют­ся в 8:30. В таб­ли­це при­ве­де­но рас­пи­са­ние утрен­них элек­тро­по­ез­дов от стан­ции Нара до Ки­ев­ско­го вок­за­ла в Москве.

Путь от вок­за­ла до уни­вер­си­те­та за­ни­ма­ет 40 минут. Ука­жи­те время от­прав­ле­ния от стан­ции Нара са­мо­го позд­не­го из элек­тро­по­ез­дов, ко­то­рые под­хо­дят сту­дент­ке.

В от­ве­те ука­жи­те номер пра­виль­но­го ва­ри­ан­та.

1) 6:17

2) 6:29

3) 6:35

4) 7:05

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку путь от вок­за­ла до места уни­вер­си­те­та­за­ни­ма­ет 40 минут, поезд дол­жен при­быть на вок­зал не позд­нее 07:50. Этому усло­вию удо­вле­тво­ря­ют по­ез­да, от­прав­ля­ю­щи­е­ся в 6:17 и 6:29. Из них самый позд­ний от­прав­ля­ет­ся в 6:29.

Ответ: 2.

Ответ: 2

314202

2

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

15. На гра­фи­ке изоб­ра­же­на за­ви­си­мость ат­мо­сфер­но­го дав­ле­ния (в мил­ли­мет­рах ртут­но­го стол­ба) от вы­со­ты над уров­нем моря (в ки­ло­мет­рах). На какой вы­со­те (в км) летит воз­душ­ный шар, если ба­ро­метр, на­хо­дя­щий­ся в кор­зи­не шара, по­ка­зы­ва­ет дав­ле­ние 540 мил­ли­мет­ров ртут­но­го стол­ба?

Ре­ше­ние.

Цена де­ле­ния гра­фи­ка равна 20. Таким об­ра­зом, по гра­фи­ку видно, что зна­че­нию дав­ле­ния 540 мм рт.ст. со­от­вет­ству­ет вы­со­та 2,5 км.

Ответ:2,5

Ответ: 2,5

311686

2,5

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ГИА—2014 по математике.

16. Рас­сто­я­ние от Солн­ца до Юпи­те­ра равно 779 000 000 км. Сколь­ко вре­ме­ни идёт свет от Солн­ца до Юпи­те­ра? Ско­рость света равна 300 000 км/с. Ответ дайте в ми­ну­тах и округ­ли­те до де­ся­тых.

Ре­ше­ние.

Раз­де­лим рас­сто­я­ние на ско­рость света:

Для того, чтобы по­лу­чить ответ в ми­ну­тах раз­де­лим по­лу­чен­ное число на 60:

Ответ: 43,3.

Ответ: 43,3

318265

43,3

17. Какой угол (в гра­ду­сах) опи­сы­ва­ет ми­нут­ная стрел­ка за 10 мин?

Ре­ше­ние.

Ми­нут­ны­ми де­ле­ни­я­ми ци­фер­блат раз­бит на 60 кру­го­вых сек­то­ров. Угол каж­до­го из них равен 360° : 60 = 6°. За 10 минут ми­нут­ная стрел­ка про­хо­дит 10 · 6° = 60°.

Ответ: 60.

Ответ: 60

132759

60

18. На диа­грам­ме пред­став­ле­но рас­пре­де­ле­ние ко­ли­че­ства поль­зо­ва­те­лей не­ко­то­рой со­ци­аль­ной сети по стра­нам мира. Всего в этой со­ци­аль­ной сети 9 млн поль­зо­ва­те­лей.

Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний не­вер­но?

1) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны.

2) Боль­ше трети поль­зо­ва­те­лей сети — из Укра­и­ны.

3) Поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Шве­ции.

4) Поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше 4 мил­ли­о­нов.

Ре­ше­ние.

Про­ве­рим каж­дое утвер­жде­ние:

1) Из диа­грам­мы видно, что число поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны. Пер­вое утвер­жде­ние верно.

2) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Укра­и­ны мень­ше трети об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Вто­рое утвер­жде­ние не­вер­но.

3) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Бе­ла­ру­си боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из "дру­гих стран", а зна­чит, и боль­ше, чем поль­зо­ва­те­лей из Шве­ции. Тре­тье утвер­жде­ние верно.

4) Из диа­грам­мы видно, что поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии при­мер­но две трети от об­ще­го числа поль­зо­ва­те­лей. Всего поль­зо­ва­те­лей 9 млн, зна­чит поль­зо­ва­те­лей из Рос­сии около 6 млн, что боль­ше 4 млн. Четвёртое утвер­жде­ние верно.

Не­вер­ным яв­ля­ет­ся утвер­жде­ние под но­ме­ром 2.

Ответ: 2

315178

2

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

19. Из 1500 карт па­мя­ти, по­сту­пив­ших в про­да­жу, в сред­нем 30 не ра­бо­та­ют. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная в ма­га­зи­не карта ра­бо­та­ет?

Ре­ше­ние.

Ве­ро­ят­ность того, что карта па­мя­ти не ра­бо­та­ет По­это­му ве­ро­ят­ность того, что слу­чай­но вы­бран­ная карта ра­бо­та­ет

Ответ: 0,98.

Ответ: 0,98

333125

0,98

Источник: МИОО: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 17.04.2014 ва­ри­ант МА90605

20. Пе­ри­од ко­ле­ба­ния ма­те­ма­ти­че­ско­го ма­ят­ни­ка T (в се­кун­дах) при­бли­жен­но можно вы­чис­лить по фор­му­ле где — длина нити (в мет­рах). Поль­зу­ясь этой фор­му­лой, най­ди­те длину нити ма­ят­ни­ка (в мет­рах), пе­ри­од ко­ле­ба­ний ко­то­ро­го со­став­ля­ет 3 се­кун­ды.Ре­ше­ние.

Часть 2Вы­ра­зим длину ма­ят­ни­ка:

Под­став­ляя, по­лу­ча­ем:

Ответ: 2,25.

Ответ: 2,25

340597

2,25

Источник: Де­мон­стра­ци­он­ная вер­сия ГИА—2015.

21. Со­кра­ти­те дробь

Ре­ше­ние.

Имеем:

Ответ:

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

22. Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 34 км, вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вышел пе­ше­ход. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 10 км от пунк­та В.

Ре­ше­ние.

Пусть ско­рость пе­ше­хо­да — x км/ч, тогда ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста равна (x + 8) км/ч. Пе­ше­ход прошёл свою часть пути за , а ве­ло­си­пе­дист про­де­лал свой путь за . Эти два вре­ме­ни равны, со­ста­вим урав­не­ние:

Ко­рень −40 не под­хо­дит нам по усло­вию за­да­чи. Ско­рость пе­ше­хо­да равна 4 км/ч, сле­до­ва­тель­но, ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

Источник: Банк за­да­ний ФИПИ

23. По­строй­те гра­фик функ­ции и опре­де­ли­те, при каких зна­че­ни­ях пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку.

Ре­ше­ние.

Пре­об­ра­зу­ем вы­ра­же­ние:

при усло­вии, что

По­стро­им гра­фик:

Пря­мая имеет с гра­фи­ком ровно одну общую точку при и при

Ответ: −2,25; −2.

Источник: СтатГрад: Ди­а­гно­сти­че­ская ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 10.02.2015 ва­ри­ант МА90502.

24. Окруж­ность пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ны AB и AC тре­уголь­ни­ка ABC в точ­ках K и P со­от­вет­ствен­но и про­хо­дит через вер­ши­ны B и C. Най­ди­те длину от­рез­ка KP, если AK = 18, а сто­ро­на AC в 1,2 раза боль­ше сто­ро­ны BC.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку четырёхуголь­ник впи­сан в окруж­ность, сумма про­ти­во­по­лож­ных углов равна 180°, сле­до­ва­тель­но, Углы и — смеж­ные, сле­до­ва­тель­но, Из при­ведённых ра­венств, по­лу­ча­ем, что Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки и угол — общий, углы и равны, сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки по­доб­ны, от­ку­да Ис­поль­зуя ра­вен­ство найдём

Ответ: 15.

25. Вер­ши­ны тре­уголь­ни­ка делят опи­сан­ную около него окруж­ность на три дуги, длины ко­то­рых от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, если мень­шая из сто­рон равна 19.

Ре­ше­ние.

Пусть длины дуг AB, BC и AC от­но­сят­ся как 3 : 5 : 10, тогда наи­мень­шая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка ABC — сто­ро­на AB = 19. По свой­ству впи­сан­но­го угла

Из тео­ре­мы си­ну­сов на­хо­дим, что ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Ответ: 19.

Источник: СтатГрад: Тре­ни­ро­воч­ная ра­бо­та по ма­те­ма­ти­ке 07.05.2015 ва­ри­ант МА90902.

26. На ри­сун­ке изоб­ражён ко­ло­дец с «жу­равлём». Ко­рот­кое плечо имеет длину 2 м, а длин­ное плечо — 6 м. На сколь­ко мет­ров опу­стит­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го под­ни­мет­ся на 1,5 м?