СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Проектная работа "Всегда ли дважды два - четыре?"

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данная работа была представлена учащейся 8 класса на ШНПК.

Просмотр содержимого документа
«Проектная работа "Всегда ли дважды два - четыре?"»

            ВСЕГДА ЛИ ДВАЖДЫ ДВА - ЧЕТЫРЕ ?      Выполнила: ученица 8А класса  МБОУ СОШ №82  Нестеренко Вероника  Руководитель: учитель математики  Пагина Дина Сергеевна Владивосток, 2017

ВСЕГДА ЛИ ДВАЖДЫ ДВА - ЧЕТЫРЕ ?

Выполнила: ученица 8А класса

МБОУ СОШ №82

Нестеренко Вероника

Руководитель: учитель математики

Пагина Дина Сергеевна

Владивосток, 2017

            ВСЕГДА ЛИ ДВАЖДЫ ДВА - ЧЕТЫРЕ ? Актуальность темы  Вопрос «Всегда ли дважды два – четыре?», пожалуй, часто возникает в головах у многих людей, но ответить на него может не каждый..  Ещё с начальной школы учитель постоянно нам твердил: «Дети, запомните: дважды два будет четыре!» и мы все дружно зубрили таблицу умножения, начиная с данной фразы…  А тем, кто знал песню Эдуарда Хиля с одноимённым названием действия, даже и учить это не пришлось. Так в действительности дважды два – четыре,  или же может быть иначе?

ВСЕГДА ЛИ ДВАЖДЫ ДВА - ЧЕТЫРЕ ?

Актуальность темы

Вопрос «Всегда ли дважды два – четыре?», пожалуй, часто возникает в головах у многих людей, но ответить на него может не каждый..

Ещё с начальной школы учитель постоянно нам твердил: «Дети, запомните: дважды два будет четыре!» и мы все дружно зубрили таблицу умножения, начиная с данной фразы…

А тем, кто знал песню Эдуарда Хиля с одноимённым названием действия, даже и учить это не пришлось.

Так в действительности дважды два – четыре,

или же может быть иначе?

               Цель работы : на основе изученной научной литературы, используя математические вычисления и доказательства ответить на вопрос «Всегда ли дважды два – четыре?» Задачи : изучить научную литературу, связанную с системами счета; изучить аксиомы Пеано с целью использования их для доказательства интересующего вопроса; - провести несложные опыты для выяснения интересующего факта; - проанализировать полученные результаты; - развивать вычислительные навыки, логику, мышление, навыки исследовательской работы; - совершенствовать познавательную деятельность.

Цель работы : на основе изученной научной литературы, используя математические вычисления и доказательства ответить на вопрос «Всегда ли дважды два – четыре?»

Задачи :

  • изучить научную литературу, связанную с системами счета;
  • изучить аксиомы Пеано с целью использования их для доказательства интересующего вопроса;

- провести несложные опыты для выяснения интересующего факта;

- проанализировать полученные результаты;

- развивать вычислительные навыки, логику, мышление, навыки исследовательской работы;

- совершенствовать познавательную деятельность.

ВСЕГДА ЛИ ДВАЖДЫ ДВА - ЧЕТЫРЕ ? Оказывается, что рассматривая выражение «Дважды два - четыре», скажем так, «глубже», можно прийти к выводу, что ответ данного выражение может принять другой исход и привычное «дважды два - четыре» будет уже звучать по-другому.  И так, давайте же проследим алгоритм действий, приводящий данное выражение к другому ответу.

ВСЕГДА ЛИ ДВАЖДЫ ДВА - ЧЕТЫРЕ ?

Оказывается, что рассматривая выражение «Дважды два - четыре», скажем так, «глубже», можно прийти к выводу, что ответ данного выражение может принять другой исход и привычное «дважды два - четыре» будет уже звучать по-другому.

И так, давайте же проследим алгоритм действий, приводящий данное выражение к другому ответу.

2 х 2 = 5: Доказательство первое Возьмем тождество  -20 = -20 Представим его как 16 — 36 = 25 — 45 Прибавим к обеим частям 81/4:  16 — 36 + 81/4 = 25 — 45 + 81/4: В левой части полный квадрат разности чисел 4 и 9/2 В правой части полный квадрат разности чисел 5 и 9/2  (4 — 9/2)² = (5 — 9/2)² Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:   4— 9/2 = 5 — 9/2  4 = 5, получаем 2 х 2 = 5

2 х 2 = 5: Доказательство первое

  • Возьмем тождество -20 = -20
  • Представим его как 16 — 36 = 25 — 45
  • Прибавим к обеим частям 81/4:

16 — 36 + 81/4 = 25 — 45 + 81/4:

  • В левой части полный квадрат разности чисел 4 и 9/2
  • В правой части полный квадрат разности чисел 5 и 9/2

(4 — 9/2)² = (5 — 9/2)²

  • Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

4— 9/2 = 5 — 9/2

  • 4 = 5, получаем 2 х 2 = 5

2 х 2 = 5: Доказательство второе Второй тип доказательства выглядит довольно просто: Все мы знаем, что 2*2=4, и чтобы нам доказать выражение 2*2=5 нам нужно доказать, что 4=5!  4:4=5:5, получаем верное равенство 1=1,  выносим 4 и 5 за скобки, как общие множители  4*(1:1)=5*(1:1)  сокращая на 1:1 получается, что 4=5, т.е. 2*2=5  

2 х 2 = 5: Доказательство второе

Второй тип доказательства выглядит довольно просто:

Все мы знаем, что 2*2=4, и чтобы нам доказать выражение 2*2=5 нам нужно доказать, что 4=5! 4:4=5:5, получаем верное равенство 1=1, выносим 4 и 5 за скобки, как общие множители 4*(1:1)=5*(1:1) сокращая на 1:1 получается,

что 4=5,

т.е. 2*2=5

 

Дважды два – четыре  Многие интересующиеся этой темой в основном ищут доказательство возможной теоремы «дважды два – пять», но мало кто интересовался доказательством выражения «дважды два – четыре». Да и зачем вдаваться в подробности? – есть и пускай будет. Но на самом деле, доказать довольно простое действие не так уж то и просто… Давайте посмотрим доказательство теоремы «дважды два – четыре» а также и «два плюс два – четыре».

Дважды два – четыре

Многие интересующиеся этой темой в основном ищут доказательство возможной теоремы «дважды два – пять», но мало кто интересовался доказательством выражения «дважды два – четыре». Да и зачем вдаваться в подробности? – есть и пускай будет. Но на самом деле, доказать довольно простое действие не так уж то и просто… Давайте посмотрим доказательство теоремы «дважды два – четыре» а также и «два плюс два – четыре».

Аксиомы Пеано  Здесь представлен ряд некоторых аксиом, которые нам пригодятся при доказательстве теоремы. Их называют  аксиомами Пеано  по имени итальянского математика Джузеппе Пеано.  (А1) 1 есть натуральное число.  (А2) Для любого натурального числа n имеется натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом,  следующим  за n.

Аксиомы Пеано

Здесь представлен ряд некоторых аксиом, которые нам пригодятся при доказательстве теоремы. Их называют  аксиомами Пеано  по имени итальянского математика Джузеппе Пеано. (А1) 1 есть натуральное число. (А2) Для любого натурального числа n имеется натуральное число, обозначаемое n' и называемое числом,  следующим  за n.

Аксиомы Пеано (А3) Если m'=n' для каких-либо натуральных чисел m и n, то m=n.  (А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1.  (А5) Если число 1 обладает некоторым свойством  P , и для любого числа n, обладающего свойством  P , следующее за ним число n' также обладает свойством  P , то всякое натуральное число обладает свойством  P .

Аксиомы Пеано

(А3) Если m'=n' для каких-либо натуральных чисел m и n, то m=n. (А4) Число 1 не следует ни за каким натуральным числом, т.е. n' никогда не равно 1. (А5) Если число 1 обладает некоторым свойством  P , и для любого числа n, обладающего свойством  P , следующее за ним число n' также обладает свойством  P , то всякое натуральное число обладает свойством  P .

Теорема 2*2 = 4 Мы выпишем цепочку равенств, а затем объясним каждый из переходов: 2*2 = 2*1' = 2*1+2 = 2+2 = 2+1' = (2+1)' = (2')' = 3' = 4 . Здесь было использовано восемь равенств. Отметим, что в процессе доказательства мы сначала пришли к выводу, что 2*2=2+2 и лишь затем к тому, что ответом будет 4. Пользуясь аксиомами Пеано, проанализируем каждое из равенств по-отдельности. Сначала мы использовали определение двойки: 2=1'.

Теорема 2*2 = 4

Мы выпишем цепочку равенств, а затем объясним каждый из переходов: 2*2 = 2*1' = 2*1+2 = 2+2 = 2+1' = (2+1)' = (2')' = 3' = 4 . Здесь было использовано восемь равенств. Отметим, что в процессе доказательства мы сначала пришли к выводу, что 2*2=2+2 и лишь затем к тому, что ответом будет 4.

Пользуясь аксиомами Пеано, проанализируем каждое из равенств по-отдельности. Сначала мы использовали определение двойки: 2=1'.

Теорема 2*2 = 4 Далее мы воспользовались аксиомой, заменяя 2*1 на 2. Теперь мы должны вычислить 2+2. Второе слагаемое по определению равно 1', т.е. нужно выполнить действие 2+1'. Мы получим 2', т.е. 3 в силу определения тройки. Наконец, последний переход основан на использовании определения числа 4. Теорема доказана!

Теорема 2*2 = 4

Далее мы воспользовались аксиомой, заменяя 2*1 на 2. Теперь мы должны вычислить 2+2. Второе слагаемое по определению равно 1', т.е. нужно выполнить действие 2+1'. Мы получим 2', т.е. 3 в силу определения тройки. Наконец, последний переход основан на использовании определения числа 4. Теорема доказана!

Теорема 2*2 = 4  Вот какие

Теорема 2*2 = 4

Вот какие "глубины" скрываются за столь простыми фактами. Ясно, что вся таблица умножения может быть получена таким же образом (т.е. каждое равенство из таблицы умножения − это отдельная теорема). Возникает вопрос: а что же идёт дальше?

 ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 2Х2 ЗАВИСИТ И ОТ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.    Если речь идет об абстрактной математической операции возведения в квадрат второго по счету натурального числа (обозначемого обычно цифрой 2), то, результатом, безусловно, будет четвертое по счету натуральное число (обозначаемое обычно цифрой 4).   Однако, ответ перестает быть таким однозначным, если учесть, что существует множество систем записи чисел. В частности, есть позиционные системы счисления  с разными основаниями.

ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ 2Х2 ЗАВИСИТ И ОТ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ.

Если речь идет об абстрактной математической операции возведения в квадрат второго по счету натурального числа (обозначемого обычно цифрой 2), то, результатом, безусловно, будет четвертое по счету натуральное число (обозначаемое обычно цифрой 4).

  Однако, ответ перестает быть таким однозначным, если учесть, что существует множество систем записи чисел. В частности, есть позиционные системы счисления  с разными основаниями.

Позиционные системы счисления  Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.  Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.  В двоичной системе счисления используется только две цифры — 0 и 1. Поэтому число два имеет запись 10, а число четыре — 100. Поэтому дважды два в двоичной системе равно 100. 

Позиционные системы счисления

Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе. Например, число 01 обозначает единицу, 10 — десять.

В двоичной системе счисления используется только две цифры — 0 и 1. Поэтому число два имеет запись 10, а число четыре — 100.

Поэтому дважды два в двоичной системе равно 100. 

Позиционные системы счисления  В троичной и четверичной системах есть цифра 2, но нет цифры для обозначения четырех. В результате в троичной системе счисления 2×2 = 11 , а в четверичной — 2×2 = 10 .

Позиционные системы счисления

В троичной и четверичной системах есть цифра 2, но нет цифры для обозначения четырех.

В результате в троичной системе счисления 2×2 = 11 , а в четверичной — 2×2 = 10 .

Позиционные системы счисления  Системы счисления, в частности, имеют свойство переводиться из одной в другую. И 10 в четверичной — ровно те самые 4 в десятичной. Только записаны они по-разному. А всё почему? Потому что текстом обычно стараются передать смысл, который от способа записи не меняется. А способ записи автор выбирает, исходя из своих представлений о потенциальном читателе; о том контексте, в котором читатель в регулярном порядке находится и который ему понятен. 

Позиционные системы счисления

Системы счисления, в частности, имеют свойство переводиться из одной в другую. И 10 в четверичной — ровно те самые 4 в десятичной. Только записаны они по-разному. А всё почему? Потому что текстом обычно стараются передать смысл, который от способа записи не меняется. А способ записи автор выбирает, исходя из своих представлений о потенциальном читателе; о том контексте, в котором читатель в регулярном порядке находится и который ему понятен. 

             Эксперимент В опровержения утверждения «Дважды два - четыре» проведем эксперимент: 1. Если капнуть два раза по две капли на пол, покрытый линолеумом, то получится не четыре капли, а множество брызг. 2. Если то же самое действие проделать используя деревянную поверхность, то получится одна лужица.

Эксперимент

В опровержения утверждения «Дважды два - четыре» проведем эксперимент:

1. Если капнуть два раза по две капли на пол, покрытый линолеумом, то получится не четыре капли, а множество брызг.

2. Если то же самое действие проделать используя деревянную поверхность, то получится одна лужица.

Заключение  «Это ясно, как дважды два — четыре»,— говорим мы про очень понятные нам вещи. Но всегда ли дважды два равно четырем? Нет! Все истины верны только при определенных условиях. Как показали приведенные доказательства выше, дважды два – не всегда четыре. Столь привычное нам изречение может быть верно только при десятичной системе счета, которую взяли за основу наши далекие предки, опираясь, как утверждает научная литература, на количество пальцев на двух руках. А будь у людей другое число пальцев, привычное нам «Дважды два - четыре» имело бы иной вид.

Заключение

«Это ясно, как дважды два — четыре»,— говорим мы про очень понятные нам вещи. Но всегда ли дважды два равно четырем? Нет! Все истины верны только при определенных условиях. Как показали приведенные доказательства выше, дважды два – не всегда четыре. Столь привычное нам изречение может быть верно только при десятичной системе счета, которую взяли за основу наши далекие предки, опираясь, как утверждает научная литература, на количество пальцев на двух руках. А будь у людей другое число пальцев, привычное нам «Дважды два - четыре» имело бы иной вид.

             Список используемых источников 1.http://www. bolshoyvopros.ru - «Всегда ли дважды два = 4?» 2.http://www. magicspeedreading.com – «Всегда ли дважды два четыре?» 3.http://www. ppt-online.org›44013 – «Всегда ли дважды два четыре» 4.http://www. multiurok.ru - «Каверзные вопросы»

Список используемых источников

1.http://www. bolshoyvopros.ru - «Всегда ли дважды два = 4?»

2.http://www. magicspeedreading.com – «Всегда ли дважды два четыре?»

3.http://www. ppt-online.org›44013 – «Всегда ли дважды два четыре»

4.http://www. multiurok.ru - «Каверзные вопросы»


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!