РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.
(Раздел «Уравнения и неравенства»)
ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения
Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11
Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика
Тема учебного занятия: Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений.
Тип урока: урок «открытия» новых знаний
Вид урока: лекция-беседа
Средства обучения:
технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;
информационно-коммуникационные: электронная презентация.
Цели урока:
методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;
образовательная: создание условий для овладения знаниями о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;
развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;
воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.
Прогнозируемые результаты:
1) предметные:
сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;
владение умением решать задачи на рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений;
2) метапредметные:
умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;
умение рационально распределять рабочее время;
умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;
владение навыками познавательной рефлексии;
умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;
умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;
умение структурировать полученную информацию;
умение анализировать и обобщать информацию;
умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;
умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.
Образовательные технологии: традиционное обучение.
Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.
Методы обучения и контроля:
вербальные: беседа;
практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.
методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.
Нормативный документ
Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.
Образовательные ресурсы:
Основная литература
Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.
Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.
Дополнительная литература
Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.
Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.
Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.
Интернет-ресурсы:
Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru
Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru
Научно-методические ресурсы:
Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.
Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.
Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.
Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.
Основные термины и понятия: рациональные уравнения, иррациональные уравнения, рациональные системы уравнения, иррациональные системы уравнения.
ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ
Содержание учебного материала:
1) Сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений.
2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.
Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)
Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.
Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)
Преподаватель задает вопросы студентам:
Что такое рациональное уравнение?
Что такое иррациональное уравнение?
Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.
Формулирование темы и целей учебного занятия.
Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)
Алгоритм работы над «открытием» нового знания:
Формулирование преподавателем определений рациональных и иррациональных уравнений и систем уравнений.
Теория
Рациональным уравнением с двумя переменными 𝑥 и 𝑦 называют
уравнение вида 𝑔(𝑥,𝑦)=0, где 𝑔(𝑥,𝑦) — рациональное выражение.
Примеры рациональных уравнений с двумя переменными 𝑥 и 𝑦.
Решением уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 называют такую пару чисел (𝑥;𝑦),
которая обращает равенство 𝑔(𝑥,𝑦)=0 в верное числовое равенство.
Если поставлена задача найти пары чисел (𝑥;𝑦), которые одновременно удовлетворяют уравнению 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и уравнению 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0, то говорят, что уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0 образуют систему уравнений:
Пару значений (𝑥;𝑦), которая одновременно является решением и первого, и второго
уравнений системы, называют решением системы уравнений.
Обрати внимание!
Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что решений нет.
Пример:
a) Пара чисел (1;1) является решением системы уравнений, т. к.
обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.
б) Пара чисел (2;8) не является решением системы уравнений, т. к.
только первое уравнение системы обращает в верное числовое равенство.
Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.
Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень 𝑛 обеих частей уравнения.
При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;
2. если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;
3. при возведении обеих частей уравнения в чётную степень могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.
Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)
Примеры
Среди рациональных уравнений
5(𝑡+6)=4𝑡−7 является целым уравнением,
а
,
— дробные рациональные уравнения.
Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:
- перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;
- привести дроби к общему знаменателю;
- заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;
- решить получившееся целое уравнение;
- исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.
Обрати внимание!
Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
Пример:
1) решить уравнение
.
Решение. Умножим обе части уравнения на знаменатель и
решим линейное уравнение:
Ответ: 𝑢=2.
2) Решить уравнение
.
Решение. Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю,
а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем
Поскольку при 𝑥=−3,5 знаменатель не обращается в нуль, то это значение является корнем уравнения.
Ответ: 𝑥=−3,5.
Пример иррациональных уравнений:
1. решить уравнение
.
Решение:
ОДЗ.
Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:
З𝑥−2=16;
3𝑥=16+2;
3𝑥=18;
𝑥=6∈ ОДЗ.
Ответ: 𝑥=6.
2. Решить уравнение
.
Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:
𝑥²−24=1;
𝑥²=24+1;
𝑥²=25.
Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: −5 и 5.
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной 𝑥 в исходное уравнение.
Проверка
При — верно.
При — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение имеет два корня.
Ответ: −5 и 5.
3. Решить уравнение
.
Решение: уравнение не имеет корней. Корень чётной степени — неотрицательное число.
Реши уравнение
.
Решение: возведём обе части уравнения в куб:
5𝑥+7=−8;
5𝑥=−8−7;
5𝑥=−15;
𝑥=−3.
Ответ: 𝑥=−3.
Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)
Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:
Какая была тема сегодняшнего занятия?
Что нового вы узнали?
Какая была цель занятия?
Что получилось у вас сегодня?
Что не получилось?
Достигли ли мы поставленной цели?
Инструктирование о выполнении домашнего задания
Изучить [1] гл. 12 занятие 1, 2