СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

(Раздел «Уравнения и неравенства»)

ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

Просмотр содержимого документа
«Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений»

РАЦИОНАЛЬНЫЕ И ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ.

(Раздел «Уравнения и неравенства»)


ДЕЯТЕЛЬНОСТНАЯ КАРТА УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ


Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

  • технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

  • информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

  • сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений;

  • владение умением решать задачи на рациональные и иррациональные уравнения и системы уравнений;

2) метапредметные:

  • регулятивные:

  • умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

  • умение рационально распределять рабочее время;

  • умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

  • владение навыками познавательной рефлексии;

  • познавательные:

  • умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

  • умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

  • умение структурировать полученную информацию;

  • умение анализировать и обобщать информацию;

  • коммуникативные:

  • умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

  • умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

  • вербальные: беседа;

  • практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

  • методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.


Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.


Образовательные ресурсы:

Основная литература

  1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

  2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

  1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

  2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

  3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

  4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

  5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

  6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

  7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.


Интернет-ресурсы:

  1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

  2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru


Научно-методические ресурсы:

  1. Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

  2. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

  3. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

  4. Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.


Основные термины и понятия: рациональные уравнения, иррациональные уравнения, рациональные системы уравнения, иррациональные системы уравнения.




ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ


Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о рациональных и иррациональных уравнениях и систем уравнений.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.


  1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

  1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

  1. Что такое рациональное уравнение?

  2. Что такое иррациональное уравнение?

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

  1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений рациональных и иррациональных уравнений и систем уравнений.

Теория

Рациональным уравнением с двумя переменными 𝑥 и 𝑦 называют

уравнение вида  𝑔(𝑥,𝑦)=0, где 𝑔(𝑥,𝑦) — рациональное выражение.

 

Примеры рациональных уравнений с двумя переменными 𝑥 и 𝑦.


Решением уравнения  𝑔(𝑥,𝑦)=0 называют такую пару чисел (𝑥;𝑦),

которая обращает равенство 𝑔(𝑥,𝑦)=0 в верное числовое равенство.

Если поставлена задача найти пары чисел (𝑥;𝑦), которые одновременно удовлетворяют уравнению 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и уравнению 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0, то говорят, что уравнения 𝑔(𝑥,𝑦)=0 и 𝑝(𝑥, 𝑦) = 0 образуют систему уравнений:

 

Пару значений (𝑥;𝑦), которая одновременно является решением и первого, и второго

 уравнений системы, называют решением системы уравнений.

  

Обрати внимание!

Решить систему уравнений — это значит найти все её решения или установить, что решений нет.

Пример:

 

a) Пара чисел (1;1) является решением системы уравнений, т. к.

обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

 

б) Пара чисел (2;8) не является решением системы уравнений, т. к.

только первое уравнение системы обращает в верное числовое равенство.



Уравнения, в которых под знаком корня содержится переменная, называются иррациональными.


Решение иррациональных уравнений обычно сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путём возведения в степень 𝑛 обеих частей уравнения.


При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:
1. если показатель корня — чётное число, то подкоренное выражение и значение корня не должны быть отрицательными;


2. если показатель корня — нечётное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом;


3. при возведении обеих частей уравнения в чётную степень  могут возникать посторонние корни, поэтому при использовании  данного метода необходимо делать проверку или находить область допустимых значений.


  1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Примеры

Среди  рациональных уравнений 

 

 5(𝑡+6)=4𝑡−7 является целым уравнением,

 

а  ,  — дробные рациональные уравнения.


Чтобы решить дробное рациональное уравнение, надо:

 

- перенести все слагаемые из правой части в левую (если необходимо), поменяв знаки на противоположные;
- привести дроби к общему знаменателю;
- заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

- решить получившееся целое уравнение;

- исключить корни, которые обращают в нуль общий знаменатель.

 

Обрати внимание!

Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Пример:

1) решить уравнение   .
Решение. Умножим обе части уравнения на знаменатель и

решим линейное уравнение:

 Ответ: 𝑢=2.


2) Решить уравнение   .
Решение. Дробь обращается в нуль лишь при условиях, что числитель равен нулю,

а знаменатель отличен от нуля. Значит, получаем

Поскольку при 𝑥=−3,5 знаменатель не обращается в нуль, то это значение является корнем уравнения.
Ответ: 𝑥=−3,5.


Пример иррациональных уравнений:

1. решить уравнение  .

Решение:

ОДЗ.

Возведём обе части уравнения в четвёртую степень:

З𝑥−2=16;
3𝑥=16+2;
3𝑥=18;

𝑥=6∈ ОДЗ.

Ответ: 𝑥=6.

 

2. Решить уравнение  .

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:

𝑥²−24=1;

𝑥²=24+1;

𝑥²=25.

Полученное неполное квадратное уравнение имеет два корня: −5 и 5.
Произведём проверку полученных корней, для этого подставим значения переменной 𝑥 в исходное уравнение.

 

Проверка
При   — верно.
При   — верно.
Значит, исходное иррациональное уравнение  имеет два корня.
Ответ: −5 и 5.


3. Решить уравнение  .

Решение: уравнение не имеет корней. Корень чётной степени — неотрицательное число.

Реши уравнение  .

Решение: возведём обе части уравнения в куб:

5𝑥+7=−8;

5𝑥=−8−7;

5𝑥=−15;

𝑥=−3.

Ответ: 𝑥=−3.


  1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

  1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

  2. Что нового вы узнали?

  3. Какая была цель занятия?

  4. Что получилось у вас сегодня?

  5. Что не получилось?

  6. Достигли ли мы поставленной цели?

  7. Инструктирование о выполнении домашнего задания

Изучить [1] гл. 12 занятие 1, 2






Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!