Рекомендации для учителей математики по итогам всероссийских проверок

Рекомендации для учителей математики по итогам всероссийских проверок

Учитель математики МБОУ Липицкая СОШ Хохлова Г.Г.

По результатам исследования качества математического образования НИКО в 5-7 классах и по результатам ВПР последних лет могут быть сформулированы следующие рекомендации для учителей математики.

Повышенное внимание к работе с текстом задания

Необходимо уходить от практики «натаскивания» на стандартные формулировки. Наоборот, целесообразно подбирать максимально широкий спектр заданий, акцентируя внимание учеников на деталях текста каждого из них. Например, в вычислительных примерах можно таким образом менять условие:

• вместо «Найти значение выражения» – «Найти удвоенное значение выражения», «Найти число, противоположное значению выражения» и т.д.;

• вместо «Решить уравнение» – «Решить уравнение и записать в ответ сумму корней», «Решить уравнение и записать в ответ корни, увеличенные на 1» и т.д.

В практике работы в школе оправдали себя виды работы, связанные с развитием у учащихся умения оперировать изученными понятиями. Такие задания обычно привлекают внимание учащихся нетрадиционностью, кажущейся простотой их выполнения, а также определённостью действий, которые необходимо выполнить.

Учащимся перефразируют определение понятий или прочитывают на первый взгляд ничем не отличающиеся определения, или исключают всего одно слово из определения, и у них возникает недоумение: зачем приводятся почти одинаковые определения? Что изменилось с исключением слова из суждения? Затем учащиеся начинают сравнивать, соотносить суждения, анализировать слова и словосочетания, то есть производить логические действия. Подобные упражнения целесообразно применять уже на первых уроках изучения геометрии.

Упражнения для устной работы.

1. «Расставьте в следующих забавных равенствах запятые:

а) 32 + 18 = 5; б) 736 – 336 = 4; в) 14 ∙ 5 = 7;

г) 63 – 27 = 603; д) 3 + 108 = 408; е) 12 ∙ 50 = 60».

Это типичное задание с развивающими функциями. Сама постановка задачи активизирует мыслительные процессы учащихся, побуждая их решить две проблемы:

1) ответить на естественным образом возникающий вопрос: «Почему равенства «забавные»?»

2) выполнить требование, то есть восстановить равенства.

Путь решения подсказан: «расставьте запятые», поэтому ученики могут подойти к решению задачи, как к обычной головоломке, то есть будут действовать с опорой на интуицию, методом проб и ошибок.

После того, как учащиеся методом проб и ошибок, решили задачу, необходимо выяснить, как было получено решение, то есть добиться от учеников озвучивания хода решения. Например: «в левой части равенства а) – сумма двузначных чисел, а в правой – однозначное число 5, значит именно в левую часть нужно внести изменение, а именно отделить целую часть запятой от дробной в двух слагаемых: 3,2 + 1,8 = 5».

Далее, можно применить подобные рассуждения к обоснованию результата заданий б), г), д). Таким образом, формируется потребность в установлении общих способов решения – основа алгоритмического мышления.

При попытке решить, используя приведённые выше рассуждения, задания в) и е), ученики обнаруживают их недейственность, а значит, и непригодность. Чтобы установить способ рассуждений, достаточно вспомнить правило умножения десятичных дробей: «При умножении десятичных дробей сначала надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе».

Общий способ рассуждения для заданий в) и е) будет таким:

1) умножим числа, стоящие в левой части равенства

2) сравним результат с правой частью (7 в 10 раз меньше, чем 70);

3) в соответствии с пунктом 2) изменим какой-либо множитель в левой части .

Полученное алгоритмическое предписание позволяет получить два варианта «восстановить» равенство е): из которых выбирается наиболее «эстетичное»:

Таким образом, формируется и развивается продуктивность и рациональность, а также гибкость и полнота мышления в целом.

2. Даны две суммы. Найдите сумму этих сумм:

7,82 + 5,64 + 3,47 + 1,23 1,18 + 3,36 + 5,53 + 7,77

Учащиеся приступают, как правило, к выполнению задачи немедленно, даже не прочитав, как следует, требования и не проанализировав условие задачи. Останавливать их не стоит – пусть решают: находят значение первой, а затем второй суммы, и складывают их, то есть трижды используют алгоритм нахождения суммы десятичных дробей.

После этого учеников просят еще раз прочитать требование задачи, а затем вспомнить свойства суммы – переместительный и сочетательный законы сложения. После этого, дается задание решить эту задачу устно, используя законы сложения. При этом можно использовать эвристический приём: записать выражение «столбиком».

7,82 + 5,64 + 3,47 + 1,23

1,18 + 3,36 + 5,53 + 7,77

В результате ученики считают:

.

Подвести итог устной работе поможет важное знание: прежде чем применять какой-либо алгоритм, убедись, что он наиболее рациональный, для чего проанализируй текст задачи.

Развитие навыков проведения логических рассуждений

Важно регулярно проводить рассуждения при выполнении заданий в разных темах, чтобы у обучающихся формировалось представление о том, какими вообще могут быть доказательные рассуждения. Для этого может быть организована фронтальная работа в классе, включающая решение как стандартных, так и нестандартных заданий. Особое место на уроках математики должно занимать обоснование учениками своих доводов, в том числе с помощью примеров или контрпримеров.

Проблема введения элементов логики в обучение математике состоит не в том, чтобы специально и обособленно изучать логику, а в том, чтобы необходимые элементы логики стали неотъемлемой частью преподавания математики, важным вспомогательным инструментом, повышающим его эффективность и влияние на логическое развитие учащихся. Исследования доказали, что кратковременный автономный курс обучения логическим понятиям не даёт заметного эффекта. Такого эффекта можно достичь, только если обучение ведется в течение продолжительного времени, когда эти понятия органически вплетаются в курс математики.

Логические схемы мышления на уроках математики следует формировать постепенно, начиная с первого класса. В младшем и подростковом возрасте основной путь – это решение разнообразных логических задач (задач на истинные и ложные высказывания, о правдолюбцах и лжецах и т. п.) с привлечением минимального, но достаточного числа элементарных логических понятий.

Для развития логического мышления у школьников большое значение также могут иметь задачи «Найти ошибку». С этой целью можно применять расчётные задачи с лишними данными или содержащими неверное умозаключение, которые обычно вызывают затруднения учащихся. Так, например, задача на расчёт средней скорости движения: «Первый поезд расстояние в 240 км проходит со скоростью 80 км/ч, а обратно – со скоростью 40 км/ч. (Следовательно, в среднем он движется со скоростью 60 км/ч). Второй поезд это же расстояние проходит со скоростью 60км/ч. Одинаковое ли время затратят они на пробег туда и обратно?». Многие учащиеся не смогут сразу отбросить ошибку, изначально заложенную в тексте задачи – «следовательно, в среднем он движется со скоростью 60 км/ч».

Развитие и поддержание вычислительных навыков

Время от времени весьма полезно проводить вычислительные тесты. Такие тесты помогают научить детей считать быстрее и качественнее. Подобные тесты также хорошо сочетаются с перекрёстной проверкой, когда ученики сами проверяют друг друга. Таким образом, повышается и навык поиска ошибок.

Целесообразно в 6–7 классах чаще давать в примерах для устного счёта примеры с возведением в квадрат (умножение числа на себя) вплоть до 20, чтобы ученики постепенно запоминали их, поскольку эти знания будут востребованы в дальнейшем, особенно в 9 классе.

Обязательно следует показывать ученикам приемы эффективного устного счета и время от времени повторять их, например возведение в квадрат двузначного числа, в том числе и десятичных дробей, оканчивающихся на 5: и т.д.

Действия с конечными десятичными дробями обычно приводят к меньшему числу ошибок, чем действия с обыкновенными дробями или комбинациями обыкновенных и смешанных дробей. Связано это, видимо, с тем, что конечные десятичные дроби как бы являются «по умолчанию» дробями «с общим знаменателем». В самом сложном случае достаточно дописать необходимое количество нулей после запятой, чтобы получить дроби с одним и тем же числом знаков после запятой.

Значительные затруднения у части школьников вызывают задания, в которых встречаются как десятичные, так и обыкновенные дроби. Следует обращать внимание учеников на то, что если знаменатели всех дробей в условии являются степенями двойки и пятёрки или произведением таких степеней, то дроби лучше обратить в конечные десятичные. Если хотя бы один из знаменателей дробей отличен от степеней двойки и пятёрки или произведения таких степеней, то дроби следует обратить в обыкновенные.

Для успешного решения задач на проценты необходимо, чтобы ученик обладал следующими умениями:

• выполнение арифметических действий с целыми числами и дробями;

• округление числа, полученного после деления с остатком;

• перевод процентов в доли и наоборот.

Обратим внимание на то, что все трудности, которые обычно возникают при решении этих задач, связаны с недостаточным пониманием понятия «процент». Необходимо объяснять ученикам, что процент - это сотая часть числа и при решении заданий следует переводить проценты в дробные числа, после чего совершать обратный перевод. Например, если цена товара а увеличилась на 10 или 20 процентов, то для нахождения его новой цены нужно величину а увеличить соответственно на 0,1 или 0,2. В результате чего новая цена составит 1,1а или 1,2а. Если же наоборот, цена упала на 10 или 20 процентов, то для нахождения его новой цены нужно величину а уменьшить соответственно на 0,1 или 0,2 и получить в итоге 0,9а или 0,8а.

Одной из наиболее проблемных тем 6 класса является тема «Положительные и отрицательные числа». Если при умножении и делении правило знаков в основном усваивается учениками, то сложение вызывает большие сложности, особенно при работе со смешанными числами при переходе через единицу и в случае, когда целая часть больше у одного числа, а дробная – у другого, например:

Очень важно подробно разбирать примеры такого типа, отрабатывая и закрепляя алгоритм их выполнения.

Решение заданий на преобразование выражений (7-8 класс) предполагает, как правило, последователь­ное упрощение данных выражений. При этом используются свойства степеней и формулы сокращённого умножения.

Упрощение выражений обычно сводится к приведению подобных членов и сокращению дробей после некоторых предварительных действий, важнейшим из которых является разложение на множители. Последнее, в свою очередь, заклю­чается в выполнении одного или нескольких из следующих четырёх правил:

1) «примени формулу или свойство»;

2) «сгруппируй слага­емые»;

3) «вынеси за скобку»;

4) «добавь и вычти».

Выполнение оценки или прикидки результатов выполнения задания

Например, при решении примера можно, не решая, оценить, что ответ должен получиться отрицательным, причём если ученик не там поставит запятую (получив ответ около 1 или около 100), следует обсудить, что ответ должен быть между –20 и –10.

Часто прикидка позволяет перед точным решением текстовой задачи быстро получить правдоподобное значение. Тогда, даже если потом случится ошибка, её легко будет заметить и исправить.

Пример. «Таксист за месяц проехал 6000 км. Цена бензина 35 рублей 50 копеек за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?»

Решение:

1) Прикидка. Если бы расход был 10 литров, а литр бензина стоил бы ровно 30 рублей, то на 100 км потребовалось бы бензина на 300 рублей, а на 6000 км – в 60 раз больше, то есть 18000 рублей. Точный результат не должен быть далёк от этого.

2) Точное решение. – стоимость бензина на 100 км пробега. Значит, на 6000 км расходы составят Получилось около 18000 рублей. Это правдоподобно.

Регулярное выполнение практико-ориентированных заданий

В сюжетах текстовых заданий следует уделять больше внимания темам, которые близки детям или встретятся в будущем. Например, в задачах на работу детям куда интереснее решать задачи про детей, моющих посуду, чем про тракторы, вспахивающие поле, или трубы, заполняющие бассейн. Также за счет удачного подбора задач можно расширить кругозор учеников.

Практико-ориентированные задачи – это задачи из окружающей действительности, которые тесно связаны с формированием практических навыков, необходимых в повседневной жизни.

Так, для решения простейших задач на вычисление вероятности достаточно уметь находить отношение числа благоприятных для наступления некоторого события исходов к числу всех равновозможных исходов. Иногда это требует опреде­лённых вычислительных навыков, а также действий с отношениями и/или процентами. Для более глубокого усвоения темы могут ока­заться полезными следующие простейшие правила и формулы вычисления вероятностей:

1. Формула вероятности противоположного события

.

1. Формула умножения вероятностей независимых событий: если события A и B независимы, то вероятность наступления обоих этих событий равна .

Пример. «Из крупных животных в заповеднике обитают толь­ко благородные олени, лоси и косули. Найдите веро­ятность того, что случайно встреченное в заповеднике крупное жи­вотное окажется косулей, если из трёх следующих утверждений два истинны, а одно ложно:

1. лоси составляют 33 % крупных животных заповедника;

2. благородные олени составляют 44% крупных животных запо­ведника;

3. косули составляют 77 % крупных животных заповедника».

Решение: предположим, что утверждение 3 истинно. Тогда оба утверждения 1 и 2 ложны, так как общее число животных не может быть больше 100 %. По условию только одно утверждение является ложным. Получили противоречие. Значит, утверждение 3 является ложным, а утверждения 1 и 2 истинны.

Поэтому косули составляют 100% – 33% – 44% = 23% крупных животных заповедника, и, следовательно, искомая вероят­ность равна 0,23.

Ответ: 0,23.

Одной из характеристик практико-ориентированных задач является их нестандартность, то есть в структуре задачи не определены некоторые из её компонентов. Другой особенностью является частое наличие нескольких способов решения задачи (подробно о различных способах решения текстовых задач расскажем в следующей лекции).

Постоянное применение практико-ориентированных задач при обучении математике в школе позволит учащимся закрепить теоретические знания и научит связывать учебный процесс с реальными жизненными условиями, проявлять инициативу и самостоятельность.

Сохранение постоянного внимания к геометрии

При изучении геометрии, особенно до 7 класса, стоит заострить внимание учеников не только и не столько на формулах, вроде суммы углов треугольника или длины окружности, а на различных построениях, комбинациях и конструкциях, т.е. задачах с не самой стандартной формулировкой. Например:

• разбиение фигур на части;

• составление фигур из частей;

• подсчет периметра и площади нестандартных фигур, невыпуклых многоугольников;

• оценка различных числовых характеристик реальных объектов (оценить площадь комнаты, расстояние до предмета и т.д.).

Сенситивным периодом для развития образных компонентов мышления является школьный возраст до 12–13 лет. Исследования психологов показали, что представления о геометрических фигурах находятся в стадии прогрессивного развития до 15 лет. Поэтому образное мышление и его разновидность – пространственное мышление целесообразно наиболее активно развивать в 5– 6-х классах средней школы.

Следует учитывать, что при неверном или недостаточном обучении способность оперировать геометрическими образами, по наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов, может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому обучать детей образно-геометрическим схемам мышления следует с самого начала пребывания в школе.

В этих целях весьма полезны занимательные геометрические задачи (на вычерчивание фигур одним росчерком, на разрезание и конструирование, задачи со спичками и т. д.). Позднее необходимо, как показывают результаты многочисленных экспериментов, проводить целенаправленную работу, положив в основу обучения наглядность, проведение опытов, наблюдение, разрезание, различные виды построений.

Расширять кругозор можно и добавив «нестандартное» в стандартную задачу, например:

• вместо «Найдите площадь прямоугольника со сторонами 6 и 8» – «Найдите площадь квадрата, имеющего тот же периметр, что и прямоугольник со сторонами 6 и 8»;

• вместо «Найдите длину окружности радиуса 40 м» – «Велосипедная трасса представляет собой окружность радиусом 40 м. Какой путь проехал велосипедист, когда он преодолел половину круга?».

Отдельного внимания заслуживают задачи на вычисление по готовому чертежу, изображённому на клетчатой бумаге. В таких задачах данные представлены в виде чертежа на бумаге в клетку, причём размеры клеток одинаковы и заданы условием. Это задачи на вычисление углов, расстояний, площадей, связанные со всеми изучаемыми в школьном курсе фигурами. Клетки в таких задачах по сути выполняют роль линейки: посчитав «по клеточкам» необходимые длины и используя известные геометрические факты и свойства, можно довольно быстро получить ответ на вопрос задачи.

К этим задачам вплотную примыкают задания на вычисление элементов плоских фигур по готовому чертежу, на котором указаны координаты некоторых точек фигуры (например, вершин треугольника или четырёхугольника), позволяющие после выполнения несложных вычислений ответить на вопрос задачи. При этом, как правило, не требуется применения дополнительных формул метода координат.

B некоторых случаях подобные задачи можно решить, разбив данную фигуру на прямоугольные треугольники и квадраты, площади которых легко вычислить.

Если четырёхугольник не является выпуклым или если угол между его диагоналями отличен от прямого, но вершины четырёхугольника являются линиями сетки, можно дополнить его до прямоугольника, проведя через его вершины прямые по линиям сетки. После этого из площади полученного прямоугольника нужно вычесть площади дополняющих фигур, которыми будут прямоугольные треугольники и квадраты. Эту же идею можно использовать и при вычислении площадей треугольников с вершинами в узлах сетки, если стороны треугольника не лежат на линиях сетки.

Развитие и поддержание интереса к предмету

В концепции развития математического образования в РФ, принятой в 2013 году, одной из главных нерешённых проблем школьного образования является недостаточная мотивации обучающихся к изучению математики. При отсутствии мотивации процесс обучения превращается в тяжелую повинность, трудную и малопривлекательную деятельность. По мнению многих педагогов, детей можно усадить за парты, добиться идеальной дисциплины, но без интереса к обучению, без внутренней мотивации учебный процесс не имеет успеха.

Поддержанию интереса к предмету может способствовать, например, проведение части урока в игровой, развлекательной форме. Наблюдения за деятельностью учащихся свидетельствуют также о том, что частое применение практико-ориентированных задач обеспечивает повышение интереса учащихся к учебной деятельности, формирование положительной мотивации на уроках.

В последнее время набирает популярность проектная деятельность в школе. Проектная работа, включающая в себя связь с математикой, способствует поддержанию интереса к предмету и изучению материала, выходящего за рамки школьной программы, а также реализует творческий потенциал учащихся. Как показывают практика и исследования многих учёных, деятельность практического характера вызывает у обучающихся наибольший интерес. Детям нравится работать с тем математическим материалом, который они могут перенести в реальную жизнь, который может найти непосредственное практическое применение.

Литература:

1. Аналитические материалы по результатам проведения Национального исследования качества математического образования в 5-7 классах.

2. И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. Математика для не любителей.

3. Н.В. Соларёва. Практико-ориентированные задания как средство повышения мотивации школьников на уроках математики. Выпускная квалификационная работа.

4. С.В. Лебедева. Методика обучения и воспитания (математика). Учебно-методическое пособие.

5