"Решение иррациональных уравнений"

Решение иррациональных уравнений.

Решение иррациональных уравнений – одна из обязательных тем ЕГЭ. Очень важно перед решением таких уравнений вспомнить свойства корня и его определение.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального уравнения к рациональному путем возведения в степень обеих частей уравнения или введением новой переменной.

При возведении в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой или найти область определения данного уравнения.

Есть уравнения, которые можно решить, исходя из их области определения. Например,

1. - = 2

ОДЗ: Ø

Ответ: корней нет.

В части А и В в ЕГЭ встречаются уравнения, которые решаем:

I. Возведением в степень обеих частей уравнения.

1. = х – 2

1) 0; 2) 5; 3) 0 и 5; 4)Ø.

Ответ: 2).

2. =

1) 1; 2) 2; 3) Ø; 4) 1 и 2.

Ответ: 3)

3.

1) 0; 2) 3; 3) 0 и 3; 4) Ø.

Ответ: х=3.

4. - - = 0

1) ; 2) 2; 3) 2 и ; 4) Ø.

Ответ: 2)

5. - = 3+х²

1) 5; 2) 0,5; 3) Ø; 4) 3.

Ответ: 3).

II. Используя свойство возрастающей функции.

1. + = 6 - ОДЗ

+ + =6. х≥0.

Сумма возрастающих функций есть возрастающая функция, значит, каждое значение функция принимает один раз. Тогда можно воспользоваться методом подбора.

1) 0; 2) Ø; 3) 1; 4) 2.

Ответ: 3).

2. + = 1

1) 1; 2) 3; 3) Ø; 4) 2.

Ответ: 1).

3. =5

1) 2; 2) 1; 3) 4; 4) Ø.

Ответ: 1).

В части С в ЕГЭ встречаются уравнения, которые решаем:

I Введением новой переменной.

1. 2х + 3х + = 33

= y; у ОДЗ

2х + 3х + 9 = у , 2х²+3х+9 0,

у - 9 = 2х + 3х, 2х²+3х+9=0,

у - 9 + у = 33, Д

у +у – 42 = 0, х € (-∞; ∞).

у = 6 у = -7

-7

Ответ: -4,5; 3.

2.

u³-(3-u)²= -3,

u³-9+6u-u²= -3,

u³-u²+6u-6=0,

u²(u-1)+6(u-1)=0,

(u-1)(u²+6)=0,

u-1=0 или u²+6=0

u=1 Ø

=1,

х-2=1

х=3.

Ответ: 3.

1. 2х + 6 - 2

Ответ: -2; 3,5

1. В уравнениях вида

+ 2х =1

лучше вводить вместо х sint или cost.

ОДЗ:

тогда

значит

Так как то

Тогда

Ответ:

Если в уравнении есть то

где или

где

Если в уравнении есть то

где

5.

Пусть Х = tg t , -

Ответ: -

6.

Пусть где

Ответ:

II.Решение уравнений разложением на множители, входящих в него выражений.

или - - 3=0 О.Д.З:

Х=1/2

Ответ: 5.

________

III. Решение уравнений умножением обеих частей уравнения на одно и тоже выражение.

Умножив обе части уравнения на:

получаем:

Возводим обе части уравнения в квадрат и получаем уравнения

Ещё раз обе части уравнения возводим в квадрат и получаем, что

Сделав проверку, видим, что

при Х=6

при Х= -4

Ответ: 6.

Решить уравнение

1) .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если

,

,

,

,

,

,

;

, не удовлетворяет условию ;

, если , то ,

если , то .

Ответ: при ;

при .

2). Решить уравнение: .

Решение: ,

уравнение имеет смысл, если

введем новую переменную , ,

,

,

,

;

, , , , ;

Ответ: при ;

при корней нет.