Решение квадратных уравнений

Тема: "Решение квадратных уравнений".

Цели уроков:

1)Образовательные - систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

2) Развивающие - развивать коммуникативные качества личности через коллективный способ обучения ; рассмотреть приём устного решения квадратного уравнения, который не входит в программу средней школы, где коэффициенты – слишком большие числа.

3) Воспитательные - содействовать воспитанию интереса к математике, активности,

мобильности, отношения ответственной зависимости, взаимопомощи, умения общаться.

План урока:

1. Организационный момент.

2. Устная работа + тест

3.Повторение и закрепление материала.

4.Углубление и обобщение знаний, умений, навыков (работа в парах сменного состава).

5.Знакомство с приёмом устного решения некоторых квадратных уравнений.

6.Подведение итогов.

7.Домашнее задание.

Ход урока

1.Организационный момент.

• мотивация необходимости изучения данной темы;

• определение целей и задач урока;

• план организации учебной деятельности.

1.Устная работа + тест ( 1 вариант работает устно, 2 вариант выполняет тест, затем меняются)

1 а) Учитель: «Уравнения какого вида вам предстоит решить, и с помощью каких теоретических сведений вы сделаете это устно?

х²+3х+2=0;

х²-7х-30=0;

х²+5х-14=0;

х²-9х-10=0;

х²-19х+18=0;

х²+8х+7=0;

х²-15х+36=0;

х²+9х+20=0;

х²-10х-11=0;

х²+3х-4=0;

х²-15х+14=0;

х²+3х+2=0;

х²+8х-9=0;

х²-7х+12=0;

х²-5х-14=0;

х²-8х+12=0;

х²-5х-6=0;

х²+7х-8=0;

х²+5х-6=0;

х²+18х+32=0;

х²+5х+6=0;

х²+5х+4=0;

х²-5х+4=0;

х²+5х-14=0;

1 б) Решаем тест

1. Какое уравнение является приведенным?

а) 7х²+3х - 6=0;

б) х²-5х=0;

в) х+9х²-4=0;

г) х² -6х+5=0;

2) Запишите приведенное квадратное уравнение, если его корни х₁=7, х₂=-3

а) х²-7х+3=0;

б) х²-4х-21=0;

в) -3х²+7х-21=0;

г) х²-3х+7=0.

3) Запишите квадратное уравнение, у которого свободный член равен 3, первый коэффициент

равен 1, а второй, равен -9.

а) 3х²+1х-9=0;

б) -9х²+3х+1=0;

в) х²-9х+3=0;

г) 3х²-6х-27=0.

4) Чему равен дискриминант квадратного уравнения

2х²-7х-4=0

а) 25; б) 81; в) 17; г) 116.

1. Впишите вместо пропусков такой коэффициент, чтобы квадратное уравнение не имело корней.

4 х²-6х+….=0

а)1; б) 2; в) 3; г)0.

3.Повторение и закрепление материала.

а) Повторение теоретического материла.

Учитель: «С какими видами квадратных уравнений вы ещё познакомились на предыдущих уроках?»

Учащиеся перечисляют. Затем учитель показывает на экране следующую таблицу:

1. ax² + bx +c = 0; 1)a(x – x₁)(x – x₂) = 0

2. ax² + 2mx +c = 0; 2)

3. x² + px +g = 0; 3)

4. ax² + bx = 0; 4)

5. ax² + c = 0; 5)x₁ + x₂ = –p и x₁ · x₂ = q

Учитель: «Установите связь (покажите стрелками) между каждым квадратным уравнением и способами его решения, указанными на таблице, которые на ваш взгляд, являются наиболее рациональными. Свой выбор нужно обосновать».

Проверка производится с помощью проектора.

б). Закрепление теоретического материала.

На доске:

1. x² + 4x – 12 = 0;

2. 3x² – 75 = 0;

3. x² – 3x - 18 = 0;

4. 2a² – 5a + 2 = 0;

5. 4x² = 7;

6. –4x² – 4x + 15 = 0;

7. 3x² + 6x = 0.

Учитель: «Выберите неполные квадратные уравнения и решите их».

2) 3х² – 75 = 0; 5) 4х² = 7; 7) 3х² + 6х = 0.

Учащиеся самостоятельно решают. После решения называются корни уравнений и комментируют выбранный способ решения.

Учитель: «Выпишите приведённые квадратные уравнения и решите их».

1) х² + 4х – 12 = 0; 3) х²–3х - 18 = 0.

Выбранный способ решения аргументируется.

Учитель: «Как называются оставшиеся в данном списке уравнения?»

Уравнения №4 и №6 анализируются и прорешиваются у доски.

4. Углубление и обобщение знаний, умений и навыков. Работа в парах сменного состава.

Применяя КСО, учитель так организует работу, что обучение учащихся осуществляется путем общения в динамических парах. При этом используются такие формы обучения, как коллективная, групповая и индивидуальная.

Сначала каждый учащийся получает карточку с заданием, выполняет его, а затем учитель проверяет и обсуждает работу с учеником. Если учащийся нуждается в помощи, то учитель может её оказать. Так как учитель освобождается от значительной доли фронтальной работы с классом, то это позволяет ему увеличить время для индивидуальной помощи учащимся. На втором этапе ребята обмениваются карточками и начинают работать в диалогических парах. Выполняя задание, каждый учащийся может теперь получить помощь от своего напарника (если в ней нуждается). Затем состав пар меняется, происходит обмен карточками и т. д. Перед работой в парах сменного состава, учитель оговаривает её продолжительность.

Критерии выставления оценок:

если ученик выполнил задания 1 карточки, то оценка ставится «3»,

2 ---------------------------------------«4»,

3----------------------------------------«5».

Карточки для работы в парах сменного состава.

№1

а) решите уравнение х²+3х+2=0;

б) решите уравнение 4х² -20х+25=0;

в) разложите квадратный трехчлен на

множители -5х²+6х-1.

№2

а) решите уравнение х²-15х+14=0;

б) решите уравнение 4х²+10х-6=0;

в) разложите квадратный трехчлен на

множители -2х²+9х-4.

№3

а) решите уравнение х²+8х+7=0;

б) решите уравнение 3х²-8х+5=0;

в) разложите квадратный трехчлен на

множители -х²+7х+8.

№4

а) решите уравнение х²-19х+18=0;

б) решите уравнение 6х²+7х=-2;

в) разложите квадратный трехчлен на

множители 3х²+5х-2.

№5

а) решите уравнение х²+3х-4=0;

б) решите уравнение 2х²-2=3х;

в) разложите квадратный трехчлен на

множители 4х²-4х+1;

№6

а) решите уравнение х²-10х-11=0;

б) решите уравнение -3х²+8=2х;

в) разложите квадратный трехчлен

на множители 4х²-12х+8=0;

№7

а) решите уравнение х²-9х-10=0;

б) решите уравнение 2х²-4х+3=0;

в)

№8

а) решите уравнение х²+8х-9=0;

б) решите уравнение 0,2х²-10х+125=0;

в)

№9

а) решите уравнение х²+9х+20=0;

б) решите уравнение

в)

№10

а) решите уравнение х²-15х+36=0;

б) решите уравнение -4х²-16х+84=0;

в) = х+7

№11

а) решите уравнение х²+5х-14=0;

б) решите уравнение 3х²+5х-2=0;

в) = 3х+5

№12

а) Решите уравнение х²-7х-30=0;

б) Решите уравнение 15х²-8х+1=0;

в) = х-6

№13

а) решите уравнение х²-10х-39=0;

б) решите уравнение 4х²-12х+9=0;

в) (х- 2)²=3х-8

№14

а) решите уравнение х²+12х-28=0;

б) решите уравнение -5х²-9х+2=0;

в) (х+4)(2х-1)= х(3х+11).

№15

а) решите уравнение х²+12х+35=0;

б) решите уравнение 8х(1+2х)=-1;

в) 5(х+2)²=-6х+44

№16

а) решите уравнение х²-15х+36=0;

б) решите уравнение 0,2х²-10х+125=0 ;

в) = 3х+5

№17

а) решите уравнение х²-3х+5=0;

б) решите уравнение 3х²+4х-1=0;

в) = х-6

№18

а) решите уравнение х²+2х-15=0;

б) решите уравнение 2х²-8х-2=0;

в) = х+7

№19

а) решите уравнение х²-3х-4=0;

б) решите уравнение 25х²-10х+1=0;

в) (х+4)(2х-1)= х(3х+11).

№20

а) решите уравнение х²+8х-15=0;

б) решите уравнение 9х²+12х+4=0;

в) (х- 2)²=3х-8

5.Знакомство с приёмом устного решения квадратных уравнений.

Учитель: тем учащимся, которые выполнили задания по карточкам на оценку «5», сейчас будет предложена «хитренькая» табличка, по которой вы самостоятельно научитесь устно решать квадратные уравнения, например, такое уравнение: 1999х² - 1997х - 2 = 0 и поделитесь своими знаниями с остальными ребятами на следующем уроке.

Набор табличек оформлен следующим образом:

Теорема Виета находит широкое применение и в уравнениях вида ах² + вх + с = 0.

Использование некоторых свойств даёт значительные преимущества для быстрого получения ответа при решении квадратных уравнений.

Рассмотрим эти свойства:

1)Если a + в +с = 0, то х₁ = 1, х₂ = с/а.

Например: 5х² + 4х – 9 = 0; х₁ =1, х₂ = - 9/5.

2)Если а - в +с = 0, то х₁ = - 1, х₂ = - с/а.

Например: 4х² + 11х + 7 = 0; х₁ = - 1, х₂ = - 7/4.

3)Если а в +с 0, то можно устно решить другое уравнение: х² + вх + ас = 0 и его корни разделить на а.

Например:

а) 2х² – 11х + 5 = 0.

Решаем устно уравнение: х² – 11х + 10 = 0. Его корни 1 и 10, и делим на 2.

Тогда х₁ = , х₂ = 5.

Ответ: ; 5.

в) 6х² –7х – 3 = 0

Решаем устно уравнение: х² – 17х - 18 = 0. Его корни (-2) и 9, и делим на 6.

Тогда х₁ = - , х₂ = .

Ответ: - ; .

Задания даются в двух вариантах, потому что их решают далеко не все учащиеся. Проверяются эти задания учителем тут же на уроке, так как учитель освобождается от значительной доли фронтальной работы с классом (остальные учащиеся работают в это время в парах сменного состава), это позволяет учителю увеличить время для индивидуальной работы с учащимся. За эти задания учащимся ставится дополнительная оценка „5”.

Решите двумя способами уравнения:

I вариант. II вариант.

1) 14х² – 17х + 3 = 0 1) 13х² – 18х + 5 = 0

2) х² – 39х - 40 = 0 2)х² + 23х - 24 = 0

3)100х² – 83х - 18 3= 0 3)100 х² + 97х - 197 = 0

Подведение итогов

Учитель, подводя итоги урока, еще раз обращает внимание на правильность выбора способа решения квадратных уравнений; указывает на наиболее распространенные ошибки; оценивает работу каждого ученика с учетом результатов, отраженных на табло; ставит задачи на следующие уроки.

1. Домашнее задание.

Самостоятельная работа по вариантам (два варианта).

Анализ урока.

Урок достиг поставленных целей, если учащиеся:

1. умеют определять вид квадратного уравнения и выбирать рациональный способ решения;

2. умеют определять, имеет ли квадратное уравнение корни и их количество, не решая само уравнение;

3. могут найти ошибку в своем решении или в решении другого ученика и исправить ее; правильно оценить результаты своей деятельности;

4. могут объяснить и аргументировать свои действия учащимся всего класса;

5. осознают значимость учебного материала урока.

Материалы и оборудование уроков.

1.3.Э.Г. Гельфман, Ю.Ю. Вольфенгаут, И.Э. Гриншпон и др. Квадратные уравнения. 8 класс. Томск 1999.

2..http://www-windows-1251.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_ush/math/kalmyk/games.html

3.http://archiv.1september.ru/mat/2001/42/no42 01.htm