Решение текстовых задач

Конспект урока по теме «Решение экзаменационных задач по подготовке к ЕГЭ»

Цели урока
1. закрепление и при необходимости коррекция и тренинг алгоритмов и способов решения экзаменационных задач.
2. формирование у учащихся способностей к рефлексии коррекционно-контрольного типа и реализации коррекционной нормы (фиксирование собственных затруднений, выявление их причин, построение и реализация проекта выхода из затруднений).
3. способствовать формированию ответственного отношения к учению, готовности и мобилизации усилий на выполнение заданий; воспитывать культуру учебного труда, навыков самоконтроля и экономного расходования времени; развивать коммуникативные навыки.
Задачи урока
Образовательные Развивающие Воспитательные Здоровье сберегающие
Закрепление навыков решения экзаменационных задач; ликвидировать пробелы в знаниях по теме. Развивать речь учащихся, их память и способность логически мыслить, анализировать полученные знания; развивать внимание и целеустремленность; укреплять интерес к математике. Формировать умение работать в коллективе, осуществлять самоконтроль, прилагать волевые усилия в преодолении трудностей. Профилактика переутомления с помощью смены видов умственной деятельности и подвижности на уроке;
Тип урока
Урок повторения и закрепления знаний по подготовке к ЕГЭ.

Ход урока.

Класс разделен на группы.

1 группа: Составить памятку для ученика сдающего ЕГЭ по математике.

2 группа: решить задние из ЕГЭ

на 3

1. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее с момента запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия.

Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику процесса разогрева двигателя на этом интервале.

В таблице под каждой буквой, соответствующей интервалу времени, укажите номер характеристики процесса.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Ответ: 4132

2. На рисунке изображён график функции, к которому проведены касательные в четырёх точках.

Ниже указаны значения производной в данных точках. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной в ней.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Ответ: 2143

3. На рисунке точками изображено число родившихся мальчиков и девочек за каждый календарный месяц 2013 года в городском роддоме. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — количество родившихся мальчиков и девочек (по отдельности). Для наглядности точки соединены линиями.

Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику рождаемости в этот период.

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Ответ: 2143

на 4

1. Найдите значение выражения 

Ответ: 28

2. Найдите значение выражения 

Ответ: 25

3. Найдите значение выражения 

Ответ: -0,5

4. Найдите значение выражения 

Ответ: 1,5

5. Найдите значение выражения 

Ответ: 1

6. Найдите значение выражения 

на 5

1. Найдите   если   и 

Ответ: -3

2. Найдите   если   и 

Ответ: 5

3. Найдите   если   и 

Ответ: 1

4. Найдите   если   и 

Ответ: -1

5. Найдите   если   и 

Ответ: -0,8

6. Найдите   если   и 

Ответ: -0,6

на 3

1. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 9 с.

Решение. Найдем закон изменения скорости:

При t = 9 c имеем:

 м/с.

Ответ: 60.

2. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени t = 6 с.

Решение. Найдем закон изменения скорости:

 м/с.

Тогда находим:

 м/с.

Ответ: 20.

3. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость в (м/с) в момент времени   с.

Решение. Найдем закон изменения скорости:   м/с. При   имеем:

 м/с.

Ответ: 59.

4. Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?

1. На рисунке изображён график функции y = F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 5). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 4].

Решение.  По определению первообразной на интервале (−3; 5) справедливо равенство

Следовательно, решениями уравнения f(x)=0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) На рисунке точки, в которых  выделены красным и синим цветом. Из них на отрезке [−2;4] лежат 10 точек (синие точки). Таким образом, на отрезке [−2;4] уравнение   имеет 10 решений.

Ответ: 10.

2.

На рисунке изображён график некоторой функции   (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите F(8) − F(2), где F(x) — одна из первообразных функции f(x).

Решение.  Разность значений первообразной в точках 8 и 2 равна площади выделенной на рисунке трапеции   Поэтому

Ответ:7.

3.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Функция   — одна из первообразных функции y = f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках   и 

Имеем:

Приведем другое решение.

Вычисления можно было бы упростить, выделив полный куб:

что позволяет сразу же найти

Приведем ещё одно решение.

Можно было бы найти разность первообразных, используя формулы сокращенного умножения:

Приведем ещё одно решение.

Получим явное выражение для   Поскольку

имеем:

Примечание.

Этот подход можно несколько усовершенствовать. Заметим, что график функции   получен сдвигом графика функции   на   единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции   и отрезком   оси абсцисс. Имеем:

Ответ:6.

4.

На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение. Найдем формулу, задающую функцию   график которой изображён на рисунке.

Следовательно, график функции   получен сдвигом графика функции   на   единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции   и отрезком  оси абсцисс. Имеем:

Ответ: 4.

Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.

5.

На рисунке изображен график некоторой функции   Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл 

1. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

Решение. Решение 1. Вместо суммарного процента будем считать суммарную долю девочек ― очевидно, эти числа отличаются в 100 раз и достигают своего максимума одновременно. Каждая девочка в классе из 22 человек составляет   от общего числа учащихся в этом классе, а в классе из 23 человек ―   от общего числа учащихся. Значит, если поменять местами девочку из большего класса и мальчика из меньшего, суммарный процент девочек вырастет. Таким образом, максимум достигается, когда все подобные перестановки сделаны, то есть, когда меньший класс полностью состоит из девочек, а в большем классе ― 3 девочки и 20 мальчиков.

Решение 2. Пусть в меньший класс распределено х девочек (где  ), тогда в больший класс попало  девочек. Значит, суммарная доля девочек в двух классах равна   и представляет собой линейную функцию с положительным угловым коэффициентом. Значит, эта функция достигает своего наибольшего значения на правом конце промежутка [2; 22], то есть при   Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из девочек, а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков.

Ответ: В одном классе ― 22 девочки, в другом ― 3 девочки и 20 мальчиков.

2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Решение. Пусть на первый объект будет направлено х рабочих, суточная зарплата которых составит   Тогда на второй объект будет направлено   рабочих — суточная заработная плата составит   В день начальник будет должен платить рабочим   у. е.

Рассмотрим функцию   при   Это квадратичная функция, старший коэффициент положителен, следовательно, она имеет наименьшее значение при x₀ = 4,8. Заметим, что точка минимума не является натуральным числом, поэтому исследуемая функция достигает наименьшего значения в точке 4 или в точке 5. Найдем и сравним эти значения:

Тем самым, на множестве натуральных значений аргумента наименьшее значение функции достигается в точке 5. Поэтому необходимо направить 5 рабочих на первый объект, 19 рабочих — на второй объект. Зарплата рабочих составит 461 у. е.

Ответ: 5 рабочих на 1-й объект, 19 рабочих на 2-й объект; 461 у. е.

3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

Решение. Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f(t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

Итак,   У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при   мин. Найдем его:

Таким образом, минимальное расстояние между велосипедистами равно   км, и будет достигнуто через   мин.

Ответ:   мин,   км.

Примечание.

Условие уточнено редакцией Решу ЕГЭ.

4. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

1. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

4. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

1. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом ― 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?

2. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t² у. е. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t² у. е. Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

3. Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние? Считайте, что перекресток не T-образный, обе дороги продолжаются за перекрестком.

4. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?