Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и далее подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели. Г. Лейбниц

ГБПОУ « Сунтарский технологический колледж »

Тема урока: РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ МЕТОДОМ КРАМЕРА

Группа: Тракторист-машинист сельскохозяйственного производства

разработала преподаватель математики Трифонова Людмила Александровна

2016 г.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели:

• Дидактическая :
• Научить учащихся решать системы линейных уравнений с помощью определителей;
• Сформировать и практически закрепить знания на практике;
• Обеспечить усвоение учащимися других способов решения систем уравнений различными способами
• Развивающая :
• Отрабатывать навыки решения систем уравнений способом подстановки и графическим способом
• Развивать умения и навыки решения системы линейных уравнений с двумя переменными методам Крамера.

  Воспитательная :

• Формировать у каждого ученика навыки самообучения и самоконтроля.
• Включать каждого ученика в осознанную учебную деятельность, предоставить возможность продвигаться в изучении материала в оптимальном для себя темпе.
• Подвести к выводу понимания важности данного материала для освоения будущей специальности.

Основные этапы урока:

• Организационный момент.
• 1. Актуализация знаний.
• 2. Мотивационная беседа, постановка цели урока.
• 3. Входной контроль. Письменная работа.
• 4. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению новых знаний -рассмотрение возможности практического применения нового материала.
• 5. Изучение нового материала.
• 6. Закрепление нового материала.
• 6.1. Обобщение и систематизация новых знаний (составление таблицы).
• 6.2. Решение задач на закрепление нового материала.
• 7. Подведение итогов урока.
• 8. Домашнее задание.

Фронтальный опрос:

• Что означает решить систему уравнений?
• Какие уравнения с двумя переменными называются линейными?
• Какие способы решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными вам известны?
• Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются однородными и неоднородными?
• Какие системы двух линейных уравнений с двумя переменными называются совместными и несовместными?
• Как графически изображаются решения совместной и несовместной систем двух линейных уравнений с двумя переменными?

Письменная работа:

Решить систему уравнений с двумя переменными

1 команда- методом подстановок

2 команда-

3 команда- графическим методом

методом сложения

Пример решения системы линейных

уравнений с двумя переменными:

Графический метод:

Метод сложения:

Метод подстановки: Из первого уравнения: у = 5 – х Э то выражение поставляем во второе уравнение: х – 2(5- х ) = 2 х – 10 + 2 х = 2 х + 2 х = 2 + 10 3 х = 12 х = 12/3 = 4 у = 5 – х =5 – 4 = 1 ответ: х=4; у=1

Из первого уравнения вычитаем второе уравнение: ( х + у) – ( х – 2у ) = 5 - 2 х + у – х + 2 у = 3 0 + 3 у = 3 у = 3/3 = 1 у подставляем в первое уравнение: х = 5 – у =5 – 1 = 4

ответ: х=4; у=1

Ответ - точка пересечения графиков функций

ответ: х=4; у=1

Решение задания:

3 команда

2 команда

Графический метод:

1 комада Метод подстановки: Из первого уравнения: у = 3 х - 7 Э то выражение поставляем во второе уравнение: х + 2(3 х - 7) = 0 х + 6 х - 14 = 0 х + 6 х = 14 7 х = 14 х = 14/7 = 2 у = 3 х - 7 = 3*2 - 7 = -1 ответ: х = 2; у = -1

Метод сложения:

первое уравнение умножаем на 2 и суммируем со вторым уравнением: (6 х -2у) + ( х + 2у ) =14+0 6 х - 2у + х + 2 у = 14 7х + 0 = 14 х = 14/7 = 2 х подставляем в первое уравнение: 3 * 2 – у = 7 у = 6 – 7 = -1 ответ: х = 2; у = -1

Ответ - точка пересечения графиков функций

ответ: х = 2; у = -1

4. Подготовка студентов к активному и сознательному усвоению новых знаний:

Рассмотрим условие

Где a, b и c – постоянные коэффициенты,

х и у – неизвестные переменные

Что оно означает?

Ответ специалистов разных профессий:

специалист

Система из двух уравнений

Математик

формула

Это система из двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными

Инженер-электрик

это уравнения напряжения или токов в электрической цепи с активными сопротивлениями

инженер-механик

это уравнения равновесия сил для системы рычагов или пружин

инженер-строитель

это уравнения, связывающие силы и деформации в какой-то строительной конструкции

инженер-плановик

Тракторист-машинист

это уравнения для расчета загрузки станков

?

?

Пример задачи для трактористов:

Трактор МТЗ, на сенокосе поля площадью 20 га, расходует солярку на 5литров меньше, чем 4 трактора «Синтай» и на 35 литров больше, чем 2 трактора «Синтай».

Х л – объем расхода солярки трактора МТЗ на сенокосе площадью 20 га земли;

У л – объем расхода солярки трактора «Синтай» на сенокосе такой же площади.

Составить по условию задачи систему уравнений:

5. Изучение нового материала

Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя переменными

Составим основной определитель

Аналогично записываются определители ∆ х и ∆ у :

Д алее находим решение системы с помощью формул:

Эти формулы называются

формулами Крамера

Крамер Габриэль

(31.07.1704 - 1752) швейцарский математик. Родился в Женеве. Был учеником и другом Иоганна Бернулли. Издатель трудов Иоганна и Якова Бернулли, переписки Г. Лейбница с И. Бернулли. Основные труды - по высшей алгебре и аналитической геометрии. Установил и опубликовал (1750г) правила решения систем n линейных уравнений с n неизвестными с буквенными коэффициентами (правило Крамера). В 1742г Крамер обобщил на случай трех неподвижных точек поставленную еще Паппом задачу о вписывании в круг треугольника, стороны которого проходят через три точки, лежащие на одной прямой. В геометрии известен парадокс Крамера. Член Лондонского королевского общества (1749г).

Если определитель системы а или , то система несовместна, т.е. не имеет решений.

Пример.

Выпишем и вычислим определители:

Т.к. , а и , то система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Если определитель системы , то система является неопределенной, т.е. не имеет бесконечное множество решений.

Пример.

Выпишем и вычислим определители:

Т.к. , то система имеет бесконечное множество решений.

Ответ: бесконечное множество решений.

6. Закрепление нового материала.

6.1. Обобщение и систематизация новых знаний.

Исследование множества

∆

решений системы

2х линейных уравнений

Ответ

∆ х ∆ у

Геометрическая

с 2я переменными

в зависимости от

интерпретация

Единственное решение

Нет решений

множества

решений

Бесконечное множество решений

6.2. Решение задач на закрепление нового материала .

Самостоятельно сделать упражнения 162, 163 и 165 по задачнику стр.13 – решить системы уравнений с двумя переменными по методу Крамера.

(задачник для учреждений среднего профессионального образования по математике Лопасовой О.И.)

Самостоятельная работа .

Проверка самостоятельной работы:

162

Ответ: х = 1, у = 1

Проверка самостоятельной работы:

163

Ответ: х = 2,5, у = -0,5

Проверка самостоятельной работы:

165

Ответ: х = 1, у = - 3

Домашнее задание.

• № 164
• № 166
• № 167

С п а с и б о за у р о к

Б ы л о п р и я т н о

с В а м и

р а б о т а т ь!