Решение задач с помощью квадратных уравнений

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

1. Организационный момент

- Здравствуйте ребята, присаживайтесь.

Учащиеся рассаживаются, слушают учителя.

2. Актуализация опорных знаний и способов действий

- Итак, начнем. Откройте тетради, запишите число, классная работа. Сегодня мы приступим к изучению новой темы. Для начала ответьте на несколько вопросов.

Учитель задает вопросы ученикам.

- Вспомним, что мы изучили на предыдущих уроках алгебры?

-Какие квадратные уравнения бывают?

-Полные уравнения, в свою очередь, делятся на какие?

-Что вы можете рассказать о приведенном уравнении?

-Что вы знаете о неприведенном уравнении?

-Какие еще квадратные уравнения вы изучили?

-Чему вы научились на предыдущих уроках?

-Можете ли вы решить задачу с помощью уравнения?

-На уроках математики вы учитесь решать задачи, в том числе и при помощи составления уравнения. Уравнения могут получиться самые разные, поэтому важно уметь решать любые уравнения.

-Как вы думаете, о чем пойдёт речь сегодня на уроке?

-Так как сейчас мы изучаем квадратные уравнения, значит, и будем решать задачи с помощью составления квадратных уравнений. Запишите тему урока: «Решение задач с помощью квадратных уравнений».

Записывают в тетради число, классная работа.

Слушают и отвечают на вопросы учителя:

- Мы изучили квадратные уравнения.

- Могут быть полными и неполными.

-На приведенные и неприведенные.

-Приведенным является квадратное уравнение вида , у которого старший коэффициент всегда равен единице.

Такое уравнение можно решать с помощью теоремы Виета и по общим формулам через дискриминант.

Неприведенное уравнение можно привести к приведенному, разделив его на значение старшего коэффициента. Корни в неприведенном уравнении ищутся только по общим формулам.

- Со знаменателем, с неизвестной величиной в знаменателе, биквадратные уравнения.

-Научились решать квадратные уравнения.

-Да.

-О задачах, которые решаются с помощью уравнений.

3. Изучение нового материала

-Решим задачу.

Учитель раздает карточки с задачей №1.

-Полина, прочитай вслух задачу.

Задача 1: Работникам необходимо обнести изгородью огородный участок прямоугольной формы. Одна из его сторон на 10 метров больше другой. Площадь всего участка 1200. Сколько необходимо работникам закупить материала?

-О чем говорится в условии задачи?

-Что нам известно?

-Что нужно найти?

- С чего начнем решение задачи?

-Тогда чему будет равна первая и вторая сторона?

-Какую форму имеет участок?

-Как мы сможем найти необходимое количество материала, которое нужно закупить для изгороди?

-Напомните мне формулу периметра прямоугольника.

-Для того, чтобы вычислить периметр, нам нужно знать, чему равны стороны прямоугольника. Но мы их не знаем. Зато мы знаем площадь данного прямоугольника.

-Как найти площадь в прямоугольнике?

-Если мы перемножим 2 стороны, зная, что одна сторона х, другая (х+10), какое выражение у нас получится?

-Составьте уравнение для решения данной задачи. С помощью этого уравнения мы найдем длины прямоугольного участка и сможем вычислить периметр.

-Запишите в тетрадь: Задача №1. Полина, пойдём к доске. Запиши и проговори каждое действие, составь уравнение и реши его. Все остальные решают у себя в тетрадях.

Учитель вызывает ученика к доске.

-Все согласны с решением?

-У нас получились 2 корня. Полина, напомни мне, что мы ищем в данном случае?

-Скажи, а длина может быть числом отрицательным?

-Значит - посторонний корень. Запишите это.

-Осталось сделать проверку. Подставляем в первоначальное уравнение.

-Теперь, когда мы знаем длину одной стороны, мы можем найти длину другой стороны и вычислить периметр. Вычисляйте.

-Запишите ответ.

-Полина, садись.

Слушают учителя, отвечают на вопросы

записывают решение в тетрадь.

Один ученик читает задачу вслух.

-Об огородном участке прямоугольной формы.

-Что одна из сторон больше другой на 10 метров и, что площадь всего участка равна 1200.

-Нужно найти, сколько работникам необходимо закупить материала.

-Введем переменную x для обозначения одной из сторон.

- Первая сторона равна х метров, вторая сторона равна (х+10) метров.

-Прямоугольную.

-Нужно найти периметр прямоугольного участка.

- P=2*(a+b)

-Перемножив 2 стороны.

-Получится х*(х+10).

- Уравнение: х*(х+10)=1200

Записывают в тетради.

Полина выходит к доске. Записывает:

-Пусть х (м) – длина одной стороны, тогда (х+10) м – длина другой стороны. Площадь равна 1200 .

Составим уравнение:

х*(х+10)=1200

Раскроем скобки и перенесем все влево:

Так как уравнение приведенное, мы можем найти корни по теореме Виета:

Отсюда .

Класс отвечает:

-Да.

Полина отвечает:

-Мы ищем длины сторон прямоугольного участка.

-Нет.

Ученики записывают в тетради. Полина на доске.

- посторонний корень.

-Проверка:

х*(х+10)=1200

30*(10+30)=1200

30*40=1200

1200=1200

Значит х=30(м)-длина наименьшей стороны.

Ученики записывают в тетради. Полина на доске.

(х+10)=30+10=40(м)-длина наибольшей стороны.

Р=2*(30+40)

Р=140 м

Ответ: 140 метров материала необходимо закупить для обнесения огородного участка изгородью.

4. Первичное применение нового материала

-Для закрепления данной темы обратимся к учебнику. Решаем № 476.

№476.Найти два последовательных натуральных числа, произведение которых равно: 1)156; 2)210.

Учитель вызывает желающих. Если их нет, сам выбирает, кому выйти к доске.

-По окончании решения, не забывайте делать проверку.

-Следующий №478.

№478. Периметр прямоугольника равен 1 м, а площадь равна 4 Найдите его стороны.

Учитель вызывает желающих. Если их нет, сам выбирает, кому выйти к доске.

-Для того, чтобы решить эту задачу, нужно решить систему из этих двух уравнений. Затем выразить из одного уравнения любую величину и подставить в другое уравнение.

Если ученик затрудняется в решении, учитель просит класс подсказать стоящему у доски.

-Не забывайте сделать проверку.

Ученики поднимают руку, желающие выходят к доске.

Решают у доски по очереди:

Ученики поднимают руку, желающие выходят к доске.

Решение у доски:

Пусть а и b –стороны прямоугольника.

Р=2(а+b);

S=a*b
Выразим 4=0,04

Получим два уравнения:

2(а+b)=1;

a*b=0,04.

5. Постановка домашнего задания

-Наш урок подошел к концу. Запишите домашнее задание.

Учитель записывает домашнее задание на доске.

П 31. Стр 133.

№ 477: Найти два последовательных нечетных натуральных числа, если их произведение равно: а)255; б)399.

№ 479: Сад савхоза площадью 2,45 га обнесен изгородью длиной 630 м. Найти длину и ширину сада, если он имеет прямоугольную форму.

Записывают домашнее задание.

6. Подведение итогов урока

- Подводя итоги урока, ответьте на следующие вопросы.

- Чему мы учились на сегодняшнем уроке?

- В чем особенность решения квадратного уравнения по задаче?

- На этом наш урок окончен. На следующем уроке мы закрепим полученные знания. Ученики, которые выходили к доске, подойдите ко мне с дневниками.

До свидания!

Учитель прощается с учениками, выставляет оценки.

Учащиеся отвечают на вопросы:

-Мы учились решать задачи с помощью квадратных уравнений.

-В задаче часто бывают посторонние корни. Для этого существует проверка.

Прощаются с учителем. Подходят для выставления оценок.