Системы счисления. Типовое решение задания 16 ЕГЭ

Системы счисления. Разбор типового задания ЕГЭ 16

Разработка урока учителя МОУ лицей № 42

Бойко Веры Владимировны

2018

Тематические блоки и тренинг по заданиям

Раздел

Теория

Системы счисления

Практика

Позиционные системы счисления: основание, базис, цифры. Правила перевода из P-ичной системы счисления в десятичную систему счисления и обратно. Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления и обратно. Хранение отрицательных чисел в компьютере. Алгоритм получение дополнительного кода числа. Правила выполнения арифметических действий в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления

Информация и ее кодирование

№ 1, 16

Кодирование текстовой информации. Понятие кодировки текста. Структура кодировок текста. Алфавитный и вероятностный подход к измерению количества информации. Мощность алфавита. Формула Шеннона. Принципы кодирования чисел в позиционных системах счисления. Определение скорости передачи информации при заданной пропускной способности канала. Единицы измерения информации. Связь между единицами информации. Равномерное и неравномерное кодирование. Правило Фано. Растровое и векторное графическое изображение. Разрешение изображения. Глубина цвета. Палитра. Кодирование цвета в моделях RGB, CMYK, HSB. Расчет объема памяти, отводимого изображению. Кодирование звука. Расчет объема звукового файла.

№ 5, 10, 13, 9

( слайд из презентации В.Т. Филиппова Модульная модель организации подготовки учащихся к государственной итоговой аттестации в форме ЕГЭ )

Тема урока: Позиционные системы счисления. Разбор задания 16 ЕГЭ

Цель урока .

• Показать общие свойства позиционных систем счисления. Показать применение систем счисления при решении уравнений некоторого типа как одного из возможных вариантов задания 16 в КИМах ЕГЭ.

Задачи урока

• Закрепить представления об позиционных системах счисления;
• Систематизировать имеющиеся представления учащихся о системах счисления;
• Научить применять знания различных систем счисления в конкретных примерах.

перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную:

1. Целая часть числа представляется по степеням основания новой системы счисления.

• Как один из вариантов представления: деление нацело числа и его частных до получения частного меньше снования и запись остатков от деления в обратном порядке.
• Как один из вариантов представления: деление нацело числа и его частных до получения частного меньше снования и запись остатков от деления в обратном порядке.

• Пример: перевести 344,26 в восьмеричную систему счисления:
• Пример: перевести 344,26 в восьмеричную систему счисления:

344: 8=43( остаток 0)

43: 8=5(остаток 3)

5:8=0 (остаток 5)

Запишем остатки в обратном порядке и получим целое число 530 8

перевод чисел из десятичной системы счисления в произвольную :

2) Дробная часть числа умножается на основание новой системы счисления и целая часть произведения является цифрой числа в новой системе счисления.

Затем дробная часть снова умножается на основание новой системы счисления.

Процесс повторяется пока в дробной части не получим 0 или до определенной точности вычисления.

Перевод чисел из произвольной системы счисления в десятичную

• Это представление числа в развернутой форме записи по степеням основания:
• Пример

2 1 0 -1

2А3,4 16 = 2*16 2 +А*16 1 +3*16 0 + 4*16 -1

=2*256+10*16+3+4/16=512+160+3+0,25=675,25 10

Пример

Перевести 344,26 в восьмеричную систему счисления с точностью до 4-х десятичных знаков

Дробная часть 0,26

0,26*8= 2 ,08

0,08*8= 0 ,64

0,64*8= 5 ,12

0,12*8= 0 ,96 можно округлить до 1

Запишем результат 0,26 10 = 0,2051 8 и число 344,26= 530,2051 8

Представление чисел по степеням основания :

Рассмотрим пример в десятичной системе

100 =10 2 - 1 единица и 2 нуля

1000=10 3 - 1 единица и 3 нуля

1 000 000 000= 10 9 -1 единица и 9 нулей

Тогда 10 n = 1 00…0000 - 1 единица и n нулей

Представление чисел по степеням основания:

• Рассмотрим сумму 10 9 + 10 3 :

+ 1 000 000 000 (10 9 - 10 n )

1 000 (10 3 - 10 m )

---------------------

1 000 001 000

• Сколько нулей в сумме ?– 8 ( n -1 нулей)
• Сколько единиц ? - 2 .

Представление чисел по степеням основания :

• Вычтем из суммы единицу:

- 1 000 001 000 (10 9 - 10 n )

1 (10 3 - 10 m )

---------------------

1 000 000 999

• Сколько единиц в числе? 1
• Сколько нулей в числе? 6 (n- m)
• Сколько девяток ? 3 (m)

Представление чисел по степеням основания

Рассмотрим разность этих чисел:

- 1 000 000 000 (10 9 - 10 n )

1 000 (10 3 - 10 m )

---------------------

999 999 000 (10 n -10 m )

т. о. число 10 n -10 m есть :

9999…99 00..00

\ n-m ⁄ \ m /

Представление чисел по степеням основания

Двоичная система счисления.

Она тоже позиционная, поэтому все рассмотренное можно применить и для двоичной системы.

• Число 2 n в двоичной системе записывается как 1 000 …000 2 ( 1 и n нулей – отсутствующие степени основания 2).
• Число 2 n -1 записывается как 1…1 2 ( n единиц - старшая цифра двоичной системы).

Представление чисел по степеням основания

• Число 2 n -2 m представим как 2 m (2 n-m – 1) и это есть (n-m) единиц и m нулей

• Рассмотрим 2 n + 2 n :

2 n + 2 n = 2·2 n = 2 n+1

2 n = 2 n+1 - 2 n

-2 n+1 + 2 n = - 2 n - запомним это выражение.

ВЫВОДЫ для любой позиционной системы счисления:

Число a n в системе счисления с основанием a записывается как 1 и n нулей.

Число a n -1 в системе счисления с основанием a записывается как n старших цифр.

a n -1= ( a-1)…….. ( a-1)

\ n раз /

Число a n -a m = a m (a n-m – 1) в системе счисления с основанием a записывается как (n-m) старших цифр и за ними стоят m нулей.

Пример. Дано арифметическое выражение 4  512 + 8  512 – 2  128 – 250 Сколько цифр 1,0 в двоичной записи это выражения.

Алгоритм решения :

Приведем это выражение к единой системе счисления( двоичной):

2 1024 + 2 1536 -2  128 -2 8 + 2 2 +2 1

Запишем выражение по убыванию степеней:

2 1536 + 2 1024 -2  128 -2 8 + 2 2 +2 1

Старшая степень 2 1536 - 1 и 1536 нулей,

всего 1537 цифр. 

Алгоритм решения :

2 1536 + 2 1024 -2  128 -2 8 + 2 2 +2 1

Представим выражение -2  128 как -2  128 = -2  129 + 2  128

( формулу мы запоминали )

2 1024 - 2  128 -2 8 представим как 2 1024 - 2  129 + 2  128 - 2 8 ,

т.е. 2 пары вида 2 n -2 m - (n-m) старших цифр и m нулей

Подсчитаем общее количество единиц:

2 1536 - 1 единица

2 1024 -2  129 – (1024- 129) = 895 единиц

2  128 - 2 8 - (128-8)= 120 единиц

2 2 – 1 единица

2 1 - 1 единица.

Итого 1018 единиц.

Число имеет 1537 цифр: 1018 единиц и 1537-1018= 519 нулей.

Ответ : 519 нулей

Домашнее задание

• 197) Значение арифметического выражения: 64 115  + 8 305  – 512 записали в системе счисления с основанием 8. Сколько цифр «7» в этой записи?
• 198)​ Значение арифметического выражения: 81 2017  + 9 5223  – 81 записали в системе счисления с основанием 9. Сколько цифр «8» в этой записи?
• 199)​ Значение арифметического выражения: 36 17  + 6 66  – 216 записали в системе счисления с основанием 6. Сколько цифр «5» в этой записи?

Домашнее задание

• 200)​ Значение арифметического выражения: 25 94  + 5 216  – 125 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» в этой записи?
• 201)​ Значение арифметического выражения: 25 56  + 5 138  – 5 записали в системе счисления с основанием 5. Сколько цифр «4» в этой записи?

Используемые источники:

• http://www.kpolyakov.spb.ru