Свойства и график корня n степени

10 КЛАСС. УРОК ПО ТЕМЕ

«Свойства и график корня n-ой степени»

НАЧАТЬ

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Корень n–ой сте­пе­ни

Если n - нечетное число, то выражение  имеет смысл при любом  a ;

если n - четное число, то выражение  имеет смысл при  a ≥ 0 .

Корнем n-ой степени из числа  а  называется такое число, n-ая степень которого равна  а .

ДАЛЕЕ

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Область определения и область значений функции

Область определения D(f)   – это все значения, которые может принимать независимая переменная .

Область значений функции E(f)   – это все значения, которые принимает зависимая переменная.

Функция задана аналитически:

Если функция, содержит дробь со знаменателем, в котором есть  x  , то знаменатель дроби не может быть равен нулю. Если функция, содержит корни четной степени с x , то подкоренное выражение должно быть неотрицательно.

Область определения функции, представленной многочленом — это все действительные числа.

Функция задана графически:

Область определения рассматривается, как проекция графика функции на ось Ох

Область значений

рассматривается, как проекция графика функции на ось Оу

E(f) = [k; р] 

ДАЛЕЕ

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Нули функции

– это значения аргумента, при которых функция обращается в нуль.

Чтобы найти нули функции f(x), заданной аналитически, нужно решить уравнение f(x) = 0.

Если же функция f(x) задана графически, то нулями функции будут точки пересечения графика функции с осью Ох

На рисунке нули функции отмечены красными точками

ДАЛЕЕ

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Чётность и нечётность функции

Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство

f(-x) = f(x) .

Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство

f(-x) = - f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат .

График четной

функции

симметричен

относительно

оси ординат.

ДАЛЕЕ

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Монотонность функции

Функция называется возрастающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Функция называется убывающей на некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией , а если убывает, то убывающей функцией . Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция.

ДАЛЕЕ

0 (розовым)и НИЖЕ оси абсцисс для f(x) ДАЛЕЕ " width="640"

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Знакопостоянство функции

Промежутки знакопостоянства - это промежутки, в которых функция принимает значения только одного знака (либо положительные, либо отрицательные)

Как найти интервалы знакопостоянства функции, заданной аналитически?

Алгоритм метода интервалов:

Если функции, задана графически, то

интервалы знакопостоянства :- это интервалы, где график функции

1) Находим область определения функции.

2) Находим нули функции (точки пересечения графика с осью абсцисс).

расположен

3) Чертим числовую прямую и указываем на ней точки разрыва (если они есть), а также нули функции (если они есть). Определяем знаки функции на интервалах, которые входят в область определения.

ВЫШЕ оси абсцисс

для f(x) 0 (розовым)и

НИЖЕ оси абсцисс

для f(x)

ДАЛЕЕ

АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ

Геометрические преобразования графиков функции

ДАЛЕЕ

ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Вс­пом­ним ос­нов­ное опре­де­ле­ние:

Кор­нем n-ой сте­пе­ни из неот­ри­ца­тель­но­го числа  а  при чет­ном n на­зы­ва­ют такое неот­ри­ца­тель­ное число, ко­то­рое при воз­ве­де­нии в степень  n  дает в ре­зуль­та­те число  a . Записывается так:

Тогда как же выглядит график этой функции и каковы ее свойства?

Из опре­де­ле­ния сле­ду­ет важ­ный вывод:

На мно­же­стве зна­че­ний  су­ще­ству­ет функ­ция  при n=2,3,4, …, т. е. при любом на­ту­раль­ном n, не рав­ном еди­ни­це.

ДАЛЕЕ

Функции , их свойства и графики.

0. Монотонность. Если n четно , то y убывает на промежутке (–∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞). Если n нечетное , то y возрастает на всей числовой оси. ДАЛЕЕ " width="640"

ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Вспомним степенную функцию y = x n , где n – натуральный показатель и построим ее график.

Рассмотрим случаи, когда:

n – четное натуральное число и n – нечетное натуральное число .

Область определения. Функция y = x n (n – натуральное число)

определена при всех x, т.е. D(у) – множество R.

Нули функции. Функция обращается в нуль при x = 0.

Знакопостоянство.

Если n четно , то y ≥ 0 при всех x.

Если n нечетное , то y 0 при x 0.

Монотонность.

Если n четно , то y убывает на промежутке (–∞; 0] и возрастает на промежутке [0; +∞).

Если n нечетное , то y возрастает на всей числовой оси.

ДАЛЕЕ

ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Рассмотрим y = x n , при x ∈ [0;  ∞) она монотонна ⟹ функция обратима

Найдем обратную функцию. Для этого из равенства y = x n выразим х: х 

Выполним замену х → у получим y  - обратная функция

График обратной функции y  симметричен графику функции y = x n относительно

прямой у = х

Рассмотрим свойства функции y  для четных и нечетных

показателей корня.

ДАЛЕЕ

0 при всех x ∈ (0; +∞ ). 5. Промежутки монотонности функции: функция возрастает на всей области определения.   6. Четность (нечетность) функции. Функция не является четной и не является нечетной, т.к. область определения функции не симметрична относительно начала координат. 7. Ограниченность функции: функция ограничена снизу и не ограничена сверху. ДАЛЕЕ " width="640"

ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Функция y = , где k ∊ N

1. Область определения функции: D  [0;  ∞).

2. Множество значений функции: E(y)  [0; +∞).

Наибольшее  и  наименьшее значения функции:

При x  0 функция принимает наименьшее значение y  0.

Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции: y  0 при x  0, значение x  0 является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции: y 0 при всех x ∈ (0; +∞ ).

5. Промежутки монотонности функции: функция возрастает на всей области определения.

  6. Четность (нечетность) функции.

Функция не является четной и не является нечетной, т.к. область определения функции не симметрична относительно начала координат.

7. Ограниченность функции: функция ограничена снизу и не ограничена сверху.

ДАЛЕЕ

0 при всех x ∈ (0; +∞ ); y 5. Промежутки монотонности функции: Функция возрастает на всей области определения. 6. Четность (нечетность) функции: функция является нечетной.   Её график симметричен относительно начала координат. 7. Ограниченность функции: Функция не ограничена. 8. График функции: Графики функций y  при n  3, n  5 изображены на рисунке. ДАЛЕЕ " width="640"

ИЗУЧЕНИЕ НОВОЙ ТЕМЫ

Функция y = , где k ∊ N

1. Область определения функции: D(у)  ( − ∞;  ∞).

2. Множество значений функции : E(y)  (−∞; +∞).

Наибольшее  и  наименьшее значения функции:

Наибольшего значения у функции не существует.

3. Нули функции: y  0 при x  0,

значение x  0 является единственным нулем функции.

4. Промежутки знакопостоянства функции:

y 0 при всех x ∈ (0; +∞ ); y

5. Промежутки монотонности функции:

Функция возрастает на всей области определения.

6. Четность (нечетность) функции: функция является нечетной.

Её график симметричен относительно начала координат.

7. Ограниченность функции: Функция не ограничена.

8. График функции: Графики функций y  при n  3, n  5 изображены на рисунке.

ДАЛЕЕ