Тема урока «Вычисление расстояния от точки до плоскости"

Категория: Математика

Просмотр содержимого документа
«Тема урока «Вычисление расстояния от точки до плоскости"»


Тема: «Расстояние от точки до плоскости»


Тип урока: урок повторения, обобщения и систематизации знаний, умений и навыков.


Цели:


дидактическая: обобщить и систематизировать изученный материал по теме: «Расстояние от точки до плоскости»; активизировать работу учащихся на уроке за счёт вовлечения их в различные способы решения задач.

развивающая: развивать логическое мышление учащихся в области математики, сообразительность, умение быстро ориентироваться в изображениях геометрических фигур, умение строить геометрические фигуры по условию задач, тренировать память.

воспитательная: воспитывать внимание; формировать вычислительные навыки, эстетические навыки при оформлении записей и построении чертежей.

Средства наглядности: 1.Переносной компьютер с проектором для демонстрации.

2. Раздаточный материал для решения задач на уроке.

3. Карточки с текстом задания на дом.

Девиз урока: “Слушай внимательно, мысли логически, записывай решения правильно, черти правильно изображения фигур, соответствуя условию задач”.


Доска к началу урока: На доске записаны дата и тема урока: «Вычисление расстояния от точки до плоскости». На обратной стороне доски начерчен чертеж к задаче 1, и записаны ответы на тестовые задания.






Этапы урока и их содержание

Время

Деятельность учителя

Работа класса

  1. Организационный этап.


  1. Постановка целей.

Сегодня на уроке нам предстоит повторить и обобщить ваши теоретические знания, практические умения и навыки по теме «Это «коварное» расстояние» (или «Вычисление расстояния от точки до плоскости»).

Слово «коварный» в словаре русского языка трактуется как «лукавый, хитрый, замышляющий». И нам с вами предстоит выяснить, какое коварство скрыто при вычислении расстояния от точки до плоскости.

III. Повторение и коррекция опорных теоретических знаний.

Давайте вспомним основные теоретические понятия, которые сегодня нам с вами будут необходимы при решении задач.

Демонстрация презентации.

2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.


IV. Применение темы в стандартных ситуациях.

(Решение задач на готовых чертежах)


1.

Дополнительный вопрос: в чем здесь «коварство» расстояния?


2.


3.


V. Оперирование в нестандартных ситуациях. (Решение более сложных задач)

. Стороны треугольника 13, 14, 15 см. Найти расстояние от плоскости треугольника до центра шара, касающегося всех сторон треугольника. Радиус шара 5 см.

Д ано: шар(О,R), R=5см, ∆АВС, АВ=13 см, ВС=14 см, АС=15 см.

Найти: ОМ.



Решение: 1.   Рассмотрим ∆ АВС со сторонами 13, 14, 15 см. Пусть АВ=а, ВС=b, AC=c. Тогда S = - (формула Герона); где p = ; p = = 21(см) S = = 84 (см ) 2.   S АВС = pr , где r – радиус вписанной окружности S = 21r     84 = 21r   r = 4 см. 3.   Пусть ОМ=h, тогда h =R - r   - (т. Пифагора) h =   = 3 (см) ОМ = 3 см.

О твет:  ОМ = 3 см. . В ∆ АВС угол С – прямой, угол А равен α, СВ = a. Точка D не лежит в плоскости АВС, причем DC CA, DC CB.Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если -яр, проведенный из точки D к прямой АВ, образует с плоскостью АВС угол β.

Дано: ∆АВС, С=900,

A=α , СВ = а,

D (АВС), DС CA,

CВ, DM АВ,

(DM, (ABC))=β. Найти: ρ (D,ABC)


Решение: Рассмотрим ∆АВС - прямоугольный. Т. к. А=α В=900-α.

По условию DM АВ СМ АВ (по теореме о трех перпендикулярах) ∆ СМВ – прямоугольный или CM = a*cos α. (1)

По условию DС CA, DС DC (ABC) – по признаку перпендикулярности прямой и плоскости DC CM. Т. о. ∆ DCM – прямоугольный. Значит DC = =CM*tg β. С учетом (1), получаем DC = a ∙ cos α∙ tg β.

Ответ: DC = a ∙ cos α∙ tg β.

 . Найдите расстояние SH от точки S(1,6,-7) до плоскости (АВК), заданной точками А(-1,2,-3), В(5,8,-3), К(-1,8,-6).


Дано: S(1,6,-7) , А(-1,2,-3),

В(5,8,-3), К(-1,8,-6).


Найти: HS.




Решение: Пусть ;

; . Тогда

, (1)

. (2)

Очевидно, .

Уравнения (1) и (2) принимают вид

6(2 - 6n) + 6(4 - 6k) = 0, 6(4 - 6n - 6k) – 3(- 4 + 3k) = 0.

Решив систему этих уравнений, получаем:

k = ; n = .

Ответ: HS = .

VI. Групповая дифференцированная работа. (резерв)

Сильным учащимся предлагается решить следующую задачу:

Даны две параллельные плоскости и множество треугольников, таких, что в каждом треугольнике две вершины принадлежат первой из двух данных плоскостей, а третья вершина — второй. Какую фигуру образует множество всех точек пересечения медиан треугольников?

Решение:

Пусть даны две параллельные плоскости α и β . Из данного множества треугольников выберем произвольный треугольник АВС, в котором вершины А и В принадлежат плоскости α, а вершина С - плоскости β. Пусть М — точка пересечения медиан этого треугольника, а СС1 — одна из медиан. Через точку М проведем прямую КЕ, перпендикулярную данным плоскостям, так что К , Е . Можно доказать, что треугольники КМС1 и ЕМС подобны, причем ЕМ:МК=СМ : МС1 = 2:1. Таким образом, каждая точка искомого множества отстоит от плоскости α на одно и то же расстояние, равное расстояния между плоскостями. Значит, искомое множество есть плоскость, параллельная плоскостям α и β.

Остальные учащиеся работают по карточкам и выполняют небольшие тестовые задания:

1 вариант

2 вариант

1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют разную длину;

б) расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, проведенного из данной точки к данной плоскости;

в) равные наклонные, проведенные к плоскости из одной точки, имеют разные проекции;

г) проекцией точки на плоскость является точка;

д) углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и неперпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

2. Концы отрезка, пересекающего плоскость, находятся соответственно на расстоянии 3см и 2см от нее. Величина угла между данным отрезком и плоскостью равна 300. Найдите длину отрезка.

а) 2см; б) 4см; в) 6см; г) 8см; д) 10см.


1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) Перпендикуляр и наклонная, выходящие из одной точки, имеют равные длины;

б) проекцией прямой на плоскость является точка или прямая;

в) наклонные разной длины, проведенные к плоскости из одной точки, имеют проекции разных длин;

г) прямая, проведенная к плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна к ее проекции;

д) расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

2. Отрезок, длина которого равна 16 см, пересекает плоскость. Его концы находятся соответственно на расстоянии 5 см и 3 см от плоскости. Найдите угол между данным отрезком и плоскостью.

а) 300; б) 450; в) определить нельзя; г) 600; д) 900.

VII. Подведение итогов урока.

Итак, подведем итог нашего урока. Мы повторили необходимую теорию и рассмотрели различные способы решения задач на нахождение расстояния от точки до плоскости. Что же мы сегодня повторили? В чем же состоит коварство этого расстояния?






VIII. Домашнее задание и его инструктаж.

Домашнее задание учащиеся получают на карточках.

Решите задачи:

  1. Из точки А к плоскости α проведены две наклонные АВ и АС, длины которых относятся как 5 : 8. Найти расстояние от точки А до плоскости α, если проекции наклонных соответственно равны 7 см и 32 см.

  2. Стороны прямоугольника АВСD равны 4 см и 8 см. Через сторону АВ этого прямоугольника проведена плоскость. Ортогональная проекция прямоугольника АВСD на эту плоскость – квадрат. Вычислите расстояние от вершины С до этой плоскости.

Дополнительная задача для сильных учащихся:

Даны две параллельные плоскости α и β и множество треугольников, таких, что одна сторона каждого треугольника лежит в плоскости α, а середина другой – в плоскости β. Какую фигуру образует множество вершин этих треугольников, не принадлежащих плоскости α?


1 мин


1 мин








6 мин









































9 мин












































6 мин


























6 мин

























7 мин


























6 мин























































1 мин









2 мин

Организационная


Сообщает тему урока, дату проведения и озвучивает цели урока.









С помощью мультимедийного проектора демонстрирует слайды презентации.


Следит за грамотной формулировкой определений и теорем.


































С помощью проектора демонстрирует чертеж и условие задач, одновременно проговаривая устно.


Следит за правильность рассуждений. При необходимости задает наводящие вопросы.




Следит за правильность рассуждений при решении задачи. При необходимости задает наводящие вопросы.









Следит за правильность рассуждений при решении задачи. При необходимости задает наводящие вопросы.











Читает условие задачи.




Следит за верностью решения и правильностью оформления задачи. Задает вопросы о сечении шара и ортогональной проекции.


Оценивает работу учащегося у доски.











Читает условие задачи.






Следит за верностью решения задачи и правильностью выполнения чертежа.

Одновременно задает вопросы учащимся о синусе, косинусе и тангенсе острого угла прямоугольного треугольника, формулах приведения. Оценивает работу учащегося у доски.







Читает условие задачи.

Задает вопрос: каким способом можно решить эту задачу? (Возможный ответ: векторно-координатным способом). Если учащиеся затрудняются решить данную задачу, то задает наводящие вопросы.



Следит за правильностью оформления задачи, грамотностью рассуждений.

Оценивает работу учащегося у доски.







Демонстрирует условие задачи на экране с помощью проектора и предлагает решить данную задачу сильным учащимся самостоятельно.


Заслушивает (устно) рассуждения и ответ.

Оценивает выступающего учащегося.










Слабым учащимся раздает карточки с тестовыми заданиями, которые тоже решаются самостоятельно.




Проходит по классу и визуально проверяет выполнение задания.


Оценивает учащихся, наиболее быстро выполнивших задания.



















Подводит итог урока.

Заслушивает высказывания нескольких учащихся, включающих следующие слова: «Сегодня мы повторили…, и решали…»

Поясняет домашнее задание, обращая внимание на то, что задание дифференцированное, и за дополнительную правильно решенную задачу оценка будет выставляться в журнал.














Дежурные сообщают об отсутствующих на уроке.

Выполняют записи даты и темы урока в тетрадях.















Учащиеся отвечают на вопросы представленные в презентации.



































Один ученик выходит к доске и решает задачу устно.


Учащиеся с помощью учителя выясняют, что коварство состоит в том, что точка М проектируется в середину отрезка АВ, т. к. АВС- прямоугольный.



Учащиеся решают задачу устно, вспомнив ещё раз теорему о трех перпендикулярах.









Учащиеся решают задачу устно, и выясняют, что основание перпендикуляра SO есть центр описанной и вписанной окружности.









Один учащийся выходит к доске и решает задачу, выполняя грамотные записи (чертеж к задаче, в целях экономии времени, заранее заготовлен на обратной стороне доски). Остальные делают записи решения в своих тетрадях.



















Один учащийся выходит к доске и решает задачу, выполняя грамотные записи.




Остальные делают записи решения в своих тетрадях. Отвечают на вопросы учителя.















Для решения данной задачи к доске приглашается более подготовленный учащийся.


Оформляет решение на доске, отвечает на вопросы учителя.





Класс делает соответствующие записи в тетрадях.











Решают задачу в тетрадях самостоятельно.







Один учащийся озвучивает своё решение.





















Сравнивают свои ответы с ответами, заранее заготовленными на обратной стороне доски.






















Подводят итог урока вместе с учителем.





Получают карточки с текстом домашнего задания.
























Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей