Теория вероятности: формулы и тренировочные упражнения в рамках подготовки к ЕГЭ

Теория вероятности, формулы и примеры решения задач

В рамках подготовки к ЕГЭ по математике (профильный уровень)

События, которые происходят реально или в нашем воображении, можно разделить на 3 группы. Это:

• достоверные события, которые обязательно произойдут,
• невозможные события;
• случайные события.

Теория вероятностей изучает случайные события, т.е. события, которые могут произойти или не произойти.

На этом уроке мы рассмотрим в кратком виде теорию вероятности формулы и примеры решения задач по теории вероятности, которые будут в 4 задании ЕГЭ по математике (профильный уровень).

Классическая формула вероятности

Вероятность события равна отношению числа благоприятных исходов к числу всевозможных исходов.

Р(А)= , где m – количество (число)

благоприятных исходов,

n – общее количество (число)

возможных исходов

Задачи по теории вероятностей, которые встречаются на ЕГЭ по математике, в основном связаны с классической вероятностью. Такие задачи могут быть очень простыми.

Легко вычислить число благоприятных исходов, а прямо в условии написано число всех исходов.

Пример задачи из ЕГЭ по математике

по определению вероятности

На столе лежат 20 пирожков — 5 с капустой, 7 с яблоками и 8 с рисом. Марина хочет взять пирожок. Какова вероятность, что она возьмет пирожок с рисом?

Решение.

Всего равновероятных элементарных исходов 20, то есть Марина может взять любой из 20 пирожков. Но нам нужно оценить вероятность того, что Марина возьмет пирожок с рисом, то есть  Р(А), где А — это выбор пирожка с рисом. Значит у нас количество благоприятных исходов (выборов пирожков с рисом) всего 8. Тогда вероятность будет найдена как отнощение количества пирожков с рисом к общему количеству всех пирожков. Т.е., 8 разделить на 20.

   Ответ: 0,4

Независимые, несовместные, противоположные и произвольные события

Независимые события

Определение

События А и В называется независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Теорема

Для независимых событий А и В вероятность произведения этих событий равна произведению их вероятностей, т.е. в этом случае 

Р(АВ) = Р(А)·Р(В)

Пример задачи на независимые события

Если гроссмейстер А играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б с вероятностью 0,52. Если А играет черными, то А выигрывает у Б с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А и Б играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А выиграет оба раза.

Решение.

Возможность выиграть первую и вторую партию не зависят друг от друга. Сказано, что гроссмейстер должен выиграть оба раза. То есть, выиграть первый раз и при этом выиграть во второй раз. Первый раз гроссмейстер играет белыми, во второй раз – черными. Таким образом, искомая вероятность: 0,52*0,3=0,156.

Ответ: 0,156

Противоположные события

Определение

Событие B состоит в том, что событие А не произошло, т.е. событие B является противоположным к событию А. Вероятность противоположного события равна единице минус вероятность прямого события, т.е. 

Р(В) = 1 – Р(А).

Пример задачи, где используется противоположное событие

В магазине стоят два платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Что означает выражение «хотя бы один» (в данном случае из двух?

Решение.

Найдем вероятность того, что неисправны оба автомата. Эти события независимые, значит, вероятность будет равна произведению вероятностей этих событий: 0,05*0,05. Значит, вероятность того, что исправны оба автомата или какой-то из них будет равна 1 – 0,0025 = 0,9975.

Ответ: 0,9975.

Несовместные события

Определение

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

Теорема

Сумма двух несовместных событий  есть сумма  вероятностей этих событий:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)

Пример задачи на несовместные события

На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Тригонометрия», равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Внешние углы», равна 0,15. Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Решение.

Нам даны два несовместных события. То есть, либо вопрос будет относиться к теме «Тригонометрия», либо к теме «Внешние углы». По теореме вероятности вероятность несовместных событий равна сумме вероятностей каждого события, мы должны найти сумму вероятностей этих событий, то есть:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = 0,2 + 0,15 = 0,35

Ответ: 0,35.

Пример задачи, где используются независимые и несовместные события

Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнется.

Решение.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер (1 из 4) и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер (1 из 6) и промахнется из него. Вероятность промахнуться из пристрелянного револьвера равна 0,1.

Вероятность промахнуться из непристрелянного револьвера равна 0,8.

Вероятность взять пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,4 * 0,1 = 0,04.

Вероятность взять не пристрелянный пистолет и при этом промахнуться из него равна 0,6 * 0,8 = 0,48.

Эти события несовместны, значит, искомая вероятность равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Произвольные (совместные) события

Определение

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Теорема

Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события, т.е. 

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Пример задачи на произвольные события

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события.

Пусть А – «кофе закончится в первом автомате», В – «кофе закончится во втором автомате».

Обратите внимание, что события А и В не являются независимыми. Если бы они были независимые, то вероятность того, что «кофе закончился в обоих автоматах» была бы равна 0,3∙0,3 = 0,09.

Тогда Р(А ∙ В) ― «кофе закончится в обоих автоматах», Р(А+В) – «кофе закончится хотя бы в одном».

По условию Р(А) = Р (В) = 0,3 Р(А∙В) = 0,12 (что не равно 0,09).

Таким образом, события A и B совместные, а значит, применяем формулу:

Р(А + В) = Р(А) + Р (В) – Р(А∙В) = 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48. Т.об., мы получили вероятность того, что «кофе закончится хотя бы в одном автомате».

Выражению – «кофе закончится хотя бы в одном» соответствуют три события из четырех возможных:

НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

НЕ ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

ЗАКОНЧИЛСЯ В ПЕРВОМ ― ЗАКОНЧИЛСЯ ВО ВТОРОМ

Значит, событие «кофе останется в обоих автоматах» противоположно событию «кофе закончится хотя бы в одном». И его вероятность равна 1 – 0,48 = 0,52. Ответ: 0,52

Сложная формула вероятности

Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.

Рассмотрим события:

А – «яйцо имеет высшую категорию»;

В1 – «яйцо произведено в первом хозяйстве»;

В2 – «яйцо произведено во втором хозяйстве».

Тогда (А|В1) - «яйцо высшей категории произведено в первом хозяйстве»,

А|В2 – «яйцо высшей категории произведено во втором хозяйстве».

По формуле полной вероятности, вероятность того, что будет куплено яйцо высшей категории, равна:

Р(АВ1) + Р(АВ2) = Р(А|В1)Р(В1)+Р(А|В2)Р(В2) =

= 0,4Р(В1) + 0,2(1-Р(В1)) = 0,4Р(В1) + 0,2 - 0,2Р(В1) = 0,2Р(В1) + 0,2.

Так как по условию эта вероятность равна 0,35, то:

0,2Р(В1) + 0,2 = 0,35,

Р(В1) = (0,35-0,2) : 0,2 = 0,75.

Ответ: 0,75.

Рассмотрим другие решения этой задачи

Пусть х - вероятность того что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из первого хозяйства, тогда (1 – х) - вероятность того, что яйцо купленное у этой агрофирмы окажется из второго хозяйства. По формуле полной вероятности:

0,4х + 0,2(1-х) = 0,35

0,4х + 0,2 – 0,2х = 0,35

0,2х = 0,35 – 0,2

0,2х=0,15

х=0,75.

Ответ: 0,75.

Пусть в первом хозяйстве агрофирма закупает х яиц, в том числе, 0,4х  яиц высшей категории, а во втором хозяйстве — у яиц, в том числе, 0,2у яиц высшей категории. Тем самым, всего агрофирма закупает  (х+у) яиц, в том числе (0,4х+0,2у) яиц высшей категории. По условию, высшую категорию имеют 35% яиц. Составим уравнение:

(0,4х + 0,2у) / (х + у) = 0,35.

Данное уравнение сводится к линейному уравнению первой степени. Выражаем х через у. Получаем: х = 3у.

Следовательно, у первого хозяйства закупают в три раза больше яиц, чем у второго. Поэтому вероятность того, что купленное яйцо окажется из первого хозяйства равна (3у) / (3у+у) = (3у)/(4у) = ¾ = 0,75.

Ответ: 0,75.

Примеры решения задач с монетами

В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды.

В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды.

ОО

ООО РРР

ОР

ООР РОР

РО

ОРР РРО

РР

ОРО РОО

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.

Ответ: 0,375

Ответ: 0,5

Пример решения задач с костями

1

1

2

2

2

3

3

3

3

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

9

9

9

9

10

10

10

11

11

12

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 10 очков. Ответ округлите до сотых.

3/36 приблизительно равно 0,8

Ответ: 0,8.