Творческая работа на тему «Треугольник Рело и его применение»

Отдел образования администрации города Енакиево

Муниципальная образовательная организация

«Общеобразовательная школа № 31 города Енакиево»

Конкурс ученических творческих проектов

«Математика вокруг нас»

Номинация: «За страницами учебника»

Творческая работа на тему

«Треугольник Рело и его применение»

Выполнила:

ученица 9 класса

Запотылок Валерия

                                                    (фамилия, имя ученика)

                                Руководитель:

                                                 учитель математики

                                                Рузанова Валентина Кузьминична

                                                (фамилия, имя, отчество учителя)

г. Енакиево, 2018 год

Оглавление

Введение………………………………………………………………………..3 Глава 1. История изобретения треугольника Рело………………………5

1.1.Понятие треугольника Рело……………………………………..5

1.2.История изобретения треугольника Рело………………………5

Глава 2. Основные характеристики и свойства треугольника Рело…..8

2.1. Способы построения треугольника Рело ………………………8

2.2. Геометрические характеристики и свойства треугольника Рело.8

Глава 3. Применение треугольника Рело…………………………………10

Заключение ……………………………………………………………12

Литература…………………………………………………………..…13

Приложение ………………………………………………………...…14

Введение

В этом учебном году мы изучали тему «Правильные многоугольники». Меня заинтересовала эта тема, и я решила её изучить глубже. В поисках информации в Интернете, я познакомилась со следующим фактом, что в 2009 году китайский офицер Гуан Байхуа из Циндао заново изобрел колесо. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник сзади и пятиугольник спереди. Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку.

Задние колеса в этом велосипеде имели необычную форму круглого треугольника. Этот треугольник называется треугольником Рело. Я стала изучать его свойства и области применения, поставила задачу выяснить, как геометрия позволяет этому чуду катиться и иметь удивительно плавный ход.

Цель работы — формирование представления о феномене круглого треугольника

Задачи:

1. Проанализировать различные источники информации по проблеме круглого треугольника.

2. Рассмотреть и изучить геометрические свойства треугольника Рело

3. Выяснить области применения треугольника Рело.

4. Найти объяснение плавности хода модели с «треугольными колесами».

Актуальность: в современном мире, при быстро развивающихся технологиях нельзя обойти стороной фигуру постоянной ширины — треугольник Рёло, позволяющий сократить затраты при производстве, к примеру, при конструировании деталей.

Объект исследования: треугольник Рело, как технический феномен.

Предмет исследования: основные свойства треугольника Рело.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использованы: анализ литературы по теме, сбор и систематизация материалов, анализ и интерпретация полученных данных, эмпирические метод.

Гипотеза: Треугольнику Рело присущи свойства круга и равностороннего треугольника, используемых в его построении, кроме того он обладает собственными свойствами, которые используются в технике.

Глава 1. История изобретения треугольника Рело

1.1.Понятие треугольника Рело.

Рассмотрим правильный треугольник (с равными сторонами). На каждой стороне построим дугу окружности, радиусом, равным длине стороны. Треугольник Рёло́ представляет собой область пересечения трёх равных кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется треугольником Рёло.

Треугольник Рёло является простейшей после круга фигурой постоянной ширины. То есть если к треугольнику Рёло провести пару параллельных опорных прямых, то независимо от выбранного направления расстояние между ними будет постоянным. Это расстояние называется шириной треугольника Рело.

Треугольник Рело постоянно касается обеих прямых. Действительно, одна точка касания всегда расположена в одном из «углов» треугольника Рело, а другая — на противоположной дуге окружности. Значит, ширина всегда равна радиусу окружностей, т. е. длине стороны изначального правильного треугольника. В житейском смысле постоянная ширина кривой означает, что если сделать катки с таким профилем, то книжка будет катиться по ним, не шелохнувшись.

1.2. История изобретения треугольника Рело.

Название фигуры происходит от фамилии немецкого механика Франца Рело. Он первым продемонстрировал постоянство ширины этого треугольника, а также использовал его в своих механизмах.

Рёло (Reuleaux) Франц (30.9.1829, Эшвейлер, Германия, - 20.8.1905, Берлин), немецкий учёный в области теории механизмов и машин. В 1852 окончил политехникум в Карлсруэ, с 1856 профессор Политехнического института в Цюрихе, в 1864-96 профессор Промышленного института (позже - Высшая техническая школа) в Берлине. В 1875 впервые четко сформулировал и изложил основные вопросы структуры и кинематики механизмов, которые ранее содержались в неявной форме в работах П. Л. Чебышева и др. Р. дал определение кинематической пары, кинематической цепи и механизма как кинематической цепи принуждённого движения; предложил способ преобразования механизмов путём изменения стойки и путём изменения конструкций кинематических пар. Связал теорию механизмов и машин с проблемами конструирования, например впервые поставил и пытался решить проблему эстетичности технических объектов. Имея в виду это направление его работ, современники Р. называли его поэтом в технике. Творчество Р. оказало значительное влияние на последующие исследования по теории механизмов. Среди прочих фигур постоянной ширины треугольник Рело выделяется рядом экстремальных свойств — наименьшей площадью, наименьшим возможным углом при вершине, наименьшей симметричностью относительно центра. Треугольник получил распространение в технике — на его основе были созданы кулачковые и грейферные механизмы, роторный двигатель Ванкеля и даже дрели, позволяющие сверлить квадратные отверстия. Рело не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её. В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. (Приложение 1. Рис. 1)

Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. (Приложение 1. Рис. 2)

Треугольник Рело есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции, а также в Мадридском кодексе.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рело, собранными по четыре вокруг полюсов.

Глава 2. Основные характеристики и свойства треугольника Рело.

2.1. Различные способы построения треугольника Рело.

Треугольник Рёло можно построить с помощью одного только циркуля, не прибегая к линейке. Это построение сводится к последовательному проведению трёх равных окружностей. Центр первой выбирается произвольно, центром второй может быть любая точка первой окружности, а центром третьей — любая из двух точек пересечения первых двух окружностей. (Приложение 2. Рис. 1)

На каждой стороне равностороннего треугольника построим дугу окружности с центром в третьей вершине треугольника. Получим треугольник Рёло. Его ширина во всех направлениях одинакова. (Ширина фигуры в данном направлении — это расстояние между её опорными параллельными этому направлению прямыми, то есть параллельными прямыми, между которыми заключена фигура и расстояние между которыми нельзя уменьшить с сохранением этого свойства.) (Приложение 2. рис. 2,3)

2.2. Геометрические характеристики и свойства треугольника Рело

Треугольник Рело обладает следующими геометрическими характеристиками:

• Плоская выпуклая геометрическая фигура.

• Кривая постоянной ширины, данные утверждения проверены опытным путем, вращением трех геометрических фигур между двумя опорными прямыми. (Приложение 3 Рис. 1,2)

• Периметр треугольника Рело совпадает с периметром круга. Формула проверена опытным путем (Приложение 4 Рис. 1,2,3), в математике носит название теоремы Барбье.

• Также как и обычный треугольник, круг, треугольник Рёло является плоской выпуклой геометрической фигурой, которая имеет наименьшую площадь среди фигур постоянной ширины, и может быть вычислена по формуле . Это утверждение носит название теоремы Бляшке — Лебега.

• Обладает осевой и центральной симметрией, имеет три оси симметрии, каждая из которых проходит через вершину треугольника и середину противоположной дуги, а также ось симметрии, перпендикулярную плоскости треугольника и проходящую через его центр.

• Центр треугольника Рело – это точка пересечения всех медиан, биссектрис и высот его правильного треугольника

• Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей равна ширине треугольника Рело. (Приложение 5 рис.1)

• радиус вписанной окружности

• радиус описанной окружности

• треугольник Рёло, как и любую другую фигуру постоянной ширины, можно вписать в квадрат

• Фигура постоянной ширины может вращаться в квадрате со стороной всё время касаясь каждой из сторон.

Таким образом первоначально выдвинутая гипотеза о том, что треугольник Рело будет сочетать в себе свойства круга и равностороннего треугольника, а также характеризуется только ему присущими свойствами, подтверждена в ходе исследования.

Глава 3. Применение треугольника Рело

Применение треугольника Рело основано на его свойствах. Основные сферы применения:

• сверло Уаттса (сверление квадратных отверстий) (Приложение 6. Рис. 1);

• роторно-поршневой двигатель Ванкеля (внутри примерно цилиндрической камеры по сложной траектории движется трёхгранный ротор-поршень – треугольник Рело) (Приложение 7. Рис. 1);

• грейферный механизм в кинопроекторах (используется свойство вращения треугольника Рело в квадрате со стороной ) (Приложение 8. Рис. 1);

• кулачковые механизмы паровых двигателей, швейных машин и часовых механизмов, машинах для дробления породы в шахтах;

• тренажеры для развития различных групп мышц;

• катки для транспортировки тяжелых грузов;

• крышки для люков (свойство постоянной ширины);

• в качестве медиатора.

А также в музыкальных инструментах. Один из минусов баяна это, что при нажатии на клавиши близко стоящие во 2 и 3 ряду они цепляют друг за друга. Если же клавиши сделать в форме треугольника Рёло, и расположить их, как показано на рисунке, то такой проблемы можно избежать. Причем инструмент будет более экстравагантный. 

Рисунок. Клавиши баяна

Еще с XIII века используется свойство симметричности и гармонии в архитектурных сооружениях на основе стрельчатых арок и элементов орнамента .

Форма треугольника Рёло, его свойство симметричности, используется и в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует характерную для готического стиля стрельчатую арку, однако целиком он встречается в готических сооружениях довольно редко. Окна в форме треугольника Рёло использовали еще в VIII веке в церкви Богоматери в Брюгге, а также в шотландской церкви в Аделаиде. Как элемент орнамента он встречается на оконных решётках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив (Приложение 9 рис. 1)

Треугольник Рёло используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю. Например, построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский треугольник» в сечении представляет собой именно эту фигуру.

В научно-фантастическом рассказе Пола Андерсона «Треугольное колесо» экипаж землян совершил аварийную посадку на планете, население которой не использовало колёса, так как всё круглое находилось под религиозным запретом. В сотнях километров от места посадки предыдущая земная экспедиция оставила склад с запасными частями, но перенести оттуда необходимый для корабля двухтонный атомный генератор без каких-либо механизмов было невозможно. В итоге землянам удалось соблюсти табу и перевезти генератор, используя катки с сечением в виде треугольника Рёло.

Заключение

Несколько тысяч лет назад было изобретено колесо, которое произвело переворот в жизни человека. Определяющим свойством, следствием которого стало техническое завоевание мира, стало свойство постоянства ширины. Но, как оказалось, круг – не единственная фигура, которая обладает этим свойством. Вызвавший интерес, треугольник Рело, также принадлежит этому семейству.

Изучив литературу, просмотрев видео материалы, рассмотрев большое количество областей, где только возможно применение треугольника Рёло, мы получили интересный результат. А заключается он в том, что применение данного треугольника в окружающем нас мире, может быть гораздо большем, чем мы могли бы подумать. Мы считаем, что нельзя так беззаботно обходить треугольник Рёло, его можно использовать в различных механизмах.

В своей работе мы не только изучили его свойства, геометрические характеристики, историю изобретения, но и рассмотрели сферы применения этой выпуклой, симметричной фигуры постоянной ширины. Выдвинутая нами гипотеза о свойствах этой фигуры нашла свое подтверждение. Кроме того, мы ответили для себя на ряд вопросов познавательного характера: какие геометрические свойства обеспечивают плавность хода велосипеда с «треугольными» колесами, почему канализационные люки делают круглыми или в форме треугольника Рело.

Не менее познавательной оказалась информация о сферах применения «круглого» треугольника не только в технике, но и в архитектуре, литературе, музыке, медицине, технике, машиностроении.

Так, не учитывая во внимание существование данной фигуры, мы стараемся изобрести что-то новое. А так ли это необходимо? Не всегда. Иногда необходимо лишь углубить свои знания в той или иной области. И ответ окажется очень простым. Знание о треугольнике Рёло, действительно облегчает нашу жизнь.

Таким образом, поставленные мной задачи, реализованы в полном объеме

Литература

1. Велосипед с треугольным колесом// Материал сайта Веломастерская «Две звезды» [Электронный ресурс] -Режим доступа. - URL: http://velostars.ru/news/velosiped-s-treugolnyim-kolesom.html

2. Треугольник Рёло// Материал из Википедии — свободной энциклопедии[Электронный ресурс] -Режим доступа. - URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/

3. Бронштейн, И.Н., Семендяев, К.А., Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов.// – М.:Просвещение,1992.

4. Коксетер, С.М., Грейтцер, С.Л., Новые встречи с геометрией. //– М., Наука, 1978.-223с.

5. Конфорович, А.Г., Некоторые математические задачи//. – Киев, Родная школа, 1981.-189с.

6. Радемахер Г., Тёплиц О. Числа и фигуры - М., Физматгиз, 1962. -263 с.

Сайты в Интернете:

1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%A0%D1%91%D0%BB%D0%BE

2. http://www.popmech.ru/article/5480-kolesa-s-uglami/

3. http://www.etudes.ru/ru/etudes/mazda/

Приложение 1

Рис.1

Рис.2

Приложение 2

Рис.1Рис. 2 Рис.3

Приложение 3

Рис.1

Рис.2

Приложение 4

Рис.1

Рис.2

Рис.3

Приложение 5

рис.1

Приложение 6

Рис.1

Приложение 7

рис.1

Приложение 8

рис.1

Приложение 9

рис.1