Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.
Повторение
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
Определение.
a
a
N
S
A
D
F
H
Повторение. По графической иллюстрации к определению, сформулировать словесную формулировку понятия.
2
Повторение
q
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
p ,
a p,
a
q ,
a
a q,
p
Повторение. По графической иллюстрации к определению и записи на языке символов, сформулировать словесную формулировку признака.
3
Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
Н
М
Н
М
Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка М – основание наклонной
Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а
Отрезок МН – проекция наклонной на плоскость
4
Стереометрия
Планиметрия
А
А
а
Н
М
Н
М
Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.
плоскости
Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра
Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра
5
Н а к л о н н а я
Н а к л о н н а я
П
Е
Р
П
Е
Н
Д
И
К
У
Л
Я
Р
Проекция
Проекция
Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли
6
Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости.
II
Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.
7
Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.
a
a II
Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.
8
Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
a
a b
a II
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
9
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
В
А
В
П-Р
Н-Я
Н-Я
С
П-Я
П-Я
M
А
11
С
Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 60 0 . Угол между наклонными 90 0 . Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см.
A
К
60 0
В
60 0
12
Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны 26 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А до плоскости .
A
?
В
С
М
13
Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
А
Н-я
П-Р
П-я
Н
М
a
14
Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.
А
Н-я
П-Р
П-я
Н
М
a
15
Н-я
Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.
№ 148.
К
П-Р
В
П-я
М
А
Л.С. Атанасян №148.
С
TT П
BC A М
BC M К
П-я
Н-я
16
Н-я
Отрезок А D перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, А D = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка А D до прямой ВС.
№ 149 (дом.)
D
П-Р
В
12
П-я
6
N
А
5
Л.С. Атанасян №149.
С
BC AN
BC DN
П-я
Н-я
А N и DN – искомые расстояния
17
П-я
Н-я
В треугольнике угол С прямой, угол А равен 60 0 , A С= 1 2см. DC (АВС). DC = Найдите расстояния:
а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.
D
AB DN
АВ С N
Н-я
П-я
П-Р
CN и DN – искомые расстояния
С
12
А
60 0
Л.С. Атанасян №149.
N
В
18
Н-я
Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =
№ 155.
М
П-Р
А
4
П-я
F
С
Л.С. Атанасян №1 5 5.
В
A В С F
A В MF
П-я
Н-я
М F – искомое расстояние
19
Н-я
т
Один из катетов прямоугольного треугольника равен т , а острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая С D , перпендикулярная к плоскости этого треугольника, С D = n . Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.
n
D
№ 15 6 .
П-Р
А
П-я
С
F
Л.С. Атанасян №1 56 .
В
TT П
A В С F
A В DF
П-я
Н-я
DF – искомое расстояние
20