Урок по теме “Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия”
Цель урока: ознакомление учащихся с новым видом последовательности – бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Задачи:
формулирование начального представления о пределе числовой последовательности; знакомство с ещё одним способом обращения бесконечных периодических дробей в обыкновенные с помощью формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
развитие интеллектуальных качеств личности школьников такие, как логическое мышление, способность к оценочным действиям, обобщению;
воспитание активности, взаимопомощи, коллективизма, интереса к предмету.
Оборудование: компьютерный класс, проектор, экран.
Тип урока: урок – усвоение новой темы.
Ход урока
I. Орг. момент. Сообщение темы и цели урока.
II. Актуализация знаний учащихся. 1. Проверка домашнего задания.
1) Проверка основных формул, связанных с арифметической и геометрической прогрессиями. Два ученика готовят записи формул у доски.
2) Остальные учащиеся выполняют математический диктант по теме «Формулы суммы».
Задания:
№1. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен 6 (1-й вариант), -20 (2-й вариант), а пятый член -6 (1-й вариант), 20 (2-й вариант).
№2. Найдите сумму первых пяти членов арифметической прогрессии, если её первый член равен -20(1-й вариант), 6 (2-й вариант), а разность равна 10(1-й вариант), -3(2-й вариант).
№3. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если её первый член равен 1(1-й вариант), -1 (2-й вариант), а знаменатель равен -2(1-й вариант), 2(2-й вариант).
По окончании диктанта, выборочно, у двоих учеников работы проверяются на оценку, остальные выполняют самопроверку по готовым решениям, записанным на отворотах доски.
Решения:
Задания
1. Арифметическая прогрессия задана формулой an = 7 – 4n. Найдите a10. (-33)
2. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a4. (4)
3. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите a17. (-35)
4. В арифметической прогрессии a3 = 7 и a5 = 1. Найдите S17. (-187)
5. Для геометрической прогрессии найдите пятый член.
6. Для геометрической прогрессии найдите n-й член.
7. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b4. (4)
8. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите b1 и q.
9. В геометрической прогрессии b3 = 8 и b5 = 2. Найдите S5. (62)
III. Изучение новой темы (демонстрация презентации).
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Нарисуем ещё один квадрат, сторона которого равна половине первого квадрата, затем ещё один, сторона которого – половина второго, потом следующий и т.д. Каждый раз сторона нового квадрата равна половине предыдущего.
В результате, мы получили последовательность сторон квадратов образующих геометрическую прогрессию со знаменателем .
И, что очень важно, чем больше мы будем строить таких квадратов, тем меньше будет сторона квадрата. Например,
Т.е. с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
С помощью этого рисунка можно рассмотреть и ещё одну последовательность.
Например, последовательность площадей квадратов:
. И, опять, если n неограниченно возрастает, то площадь, как угодно близко приближается к нулю.
Рассмотрим ещё один пример. Равносторонний треугольник со стороной равной 1см. Построим следующий треугольник с вершинами в серединах сторон 1-го треугольника, по теореме о средней линии треугольника – сторона 2-го равна половине стороны первого, сторона 3-го – половине стороны 2-го и т.д. Опять получаем последовательность длин сторон треугольников.
при .
Если рассмотреть геометрическую прогрессию с отрицательным знаменателем.
То, опять, с возрастанием номера n члены прогрессии приближаются к нулю.
Обратим внимание на знаменатели этих последовательностей. Везде знаменатели были меньше 1 по модулю.
Можно сделать вывод: геометрическая прогрессия будет бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше 1.
Фронтальная работа.
Определение:
Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы. .
С помощью определения можно решить вопрос о том, является ли геометрическая прогрессия бесконечно убывающей или нет.
Задача
Является ли последовательность бесконечно убывающей геометрической прогрессией, если она заданна формулой:
; .
Решение:
. Найдем q.
; ; ; .
данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.
б) данная последовательность не является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
Рассмотрим квадрат со стороной, равной 1. Разделим его пополам, одну из половинок ещё пополам и т.д. площади всех полученных прямоугольников при этом образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:
Сумма площадей всех полученных таким образом прямоугольников будет равна площади 1-го квадрата и равна 1.
Но в левой части этого равенства – сумма бесконечного числа слагаемых.
Рассмотрим сумму n первых слагаемых.
По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, она равна .
Если n неограниченно возрастает, то
или . Поэтому , т.е. .
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии есть предел последовательности S1, S2, S3, …, Sn, … .
Например, для прогрессии ,
имеем
Так как
Сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно находить по формуле .
III. Осмысление и закрепление (выполнение заданий).
Задача №2. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом 3,вторым 0,3.
Решение:
Задача №3. учебник [1], стр. 160, №433(1)
Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Решение:
Задача №4. Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(5) в виде обыкновенной дроби.
1-й способ. Пусть х=0,(5)= 0,555… /•10 2-й способ. 0,(5)=0,555…=
Задача №5. учебник [1], стр. 162, №445(3) (самостоятельное решение)
Записать бесконечную периодическую десятичную дробь 0,(12) в виде обыкновенной дроби.
Ответ: 0,(12)= 4/33.
IV. Подведение итогов.
С какой последовательностью сегодня познакомились?
Дайте определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
Как доказать, что геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей?
Назовите формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
V. Домашнее задание.