Задание 14. Вариант 1. Из 10 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 14. Вариант 1. Из 10 вариантов ЕГЭ 2021

В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ равна 2, а боковое ребро SA равно 8. Точка М — середина ребра АВ. Плоскость α перпендикулярна плоскости ABC и содержит точки М и D. Прямая SC пересекает плоскость α в точке К.

а) Докажите, что КМ = KD.

б) Найдите объём пирамиды CDKM.

Решение.

а) Пусть прямые CF и MD пересекаются в точке Н, a SO — высота пирамиды SABCDEF. Поскольку пирамида SABCDEF правильная, центр правильного шестиугольника ABCDEF совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SCF. Следовательно, плоскость SCF перпендикулярна плоскости ABC.

Получаем, что прямая КН, являющаяся прямой пересечения плоскостей SCF и а, перпендикулярна плоскости ABC. Значит, отрезок КН является высотой в треугольнике MKD.

Рассмотрим правильный шестиугольник ABCDEF (рис. 2). Прямые АВ и CF параллельны, а точка О — середина отрезка AD, следовательно, отрезок ОН — средняя линия треугольника ADM и МН = HD. Таким образом, отрезок КН является медианой и высотой в треугольнике MKD, значит, этот треугольник равнобедренный и KM = KD.

б) В пункте а было доказано, что прямая КН перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, отрезок КН является высотой пирамиды CDKM.

Поскольку отрезок ОН является средней линией треугольника ADM, то

В треугольнике SOC имеем:

Пусть точка L — середина отрезка OA. Тогда средняя линия LM треугольника АОВ параллельна прямой ОВ, а значит, и прямой CD. Значит, расстояние от точки М до прямой CD равно расстоянию от точки L до прямой CD и равно 3/4 расстояния h между прямыми AF и CD.

Площадь треугольника CDM равна

Объём пирамиды CDKM равен

Ответ: