Задание 14.Вариант 29 из 36 вариантов ЕГЭ

Задание 14.Вариант 29 из 36 вариантов ЕГЭ

 Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причём A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина ВС.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 6, ВС = 8 и SC = 5√2.

Решение.

а) Проекция точки S на плоскость основания конуса — центр О его основания. Так как   и  , угол наклона SM к ABC — это угол SMO. Этот же угол является углом между прямой ОМ и плоскостью SBC. Угол между прямой АВ и SBC такой же, так как прямые ОМ и АВ параллельны.

б) Синусом искомого угла является число

,

где h — расстояние от точки А до плоскости SBC. Расстояние от точки О до плоскости SBC равно h/2 (так как О — середина СА). Это расстояние — высота ОТ прямоугольного треугольника SOM, которая равна  .

поэтому

Следовательно, синус искомого угла равен

Ответ:  .

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ = 6, ВС = 8 и SC = 4√3

Ответ:.