Задание 14. Вариант 3 ЕГЭ из 10 вариантов 2021

Задание 14. Вариант 3 ЕГЭ из 10 вариантов 2021

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро SA равно √21. На рёбрах АВ и SB отмечены точки М и K соответственно, причём AM = 4, SK : KB =1:3.

а) Докажите, что плоскость СКМ перпендикулярна плоскости ABC.

б) Найдите объём пирамиды ВСКМ.

Решение.

а)ПрямыеAP и CM пересекаются в точке O1. SO – высота пирамиды. Так как пирамида правильная, то центр правильного треугольника ABC совпадает с точкой O. Следовательно, SO лежит в плоскости SAP.

Плоскости SAP и KCM пересекаются по прямой KO1, значит,   и .

б) Объем пирамиды KCMB можно вычислить как

Рассмотрим треугольник CMB, в котором MB = 2, CB = 6 и угол между ними 60°, следовательно, его площадь, равна:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором

Из прямоугольного треугольника BMP1, имеем:

а . Тогда:

и

Следовательно:

и

и

Ответ: