Задание 19. Вариант 1. Из 10 вариантов ЕГЭ 2021

Задание 19. Вариант 1. Из 10 вариантов ЕГЭ 2021

На доске было написано несколько различных натуральных чисел. Эти числа разбили на три группы, в каждой из которых оказалось хотя бы одно число. К каждому числу из первой группы приписали справа цифру 3, к каждому числу из второй группы — цифру 7, а числа из третьей группы оставили без изменений.

а) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 8 раз?

б) Могла ли сумма всех этих чисел увеличиться в 17 раз?

в) В какое наибольшее число раз могла увеличиться сумма всех этих чисел?

Решение.

а) Предположим для простоты, что в каждой группе по одному натуральному числу и эти числа различны:

A, B, C

По условию задания к первому числу приписывается 3, ко второму – 7, а третье остается без изменений. Математически это можно записать так:

10A+3, 10B+7, C

Нужно найти такие A, B, C, чтобы сумма увеличилась в 8 раз, то есть, чтобы соблюдалось условие:

Сделаем это методом подбора. Положим первое число A=1, тогда:

Далее, выберем натуральное C такое, чтобы получалось натуральное B. Например, при C=4, B = 8 и имеет три натуральных числа:

1, 8 и 4

Для них выполняется равенство:

б) Предположим, что в 1-й группе оказалось m чисел с их суммой равной A, во второй – n чисел с суммой, равной B, а в третьей числа с суммой C. Тогда условие задания можно записать так:

Откуда

И, например, сумму A можно определить так:

При условии, что  значение A будет меньше m. Следовательно, условие б выполняться не может.

в) Найдем наибольшее k, для которого выполняется равенство:

Выразим это значение, получим:

Выразим это значение, получим:

Отсюда видно, что для максимального k величина C должна быть минимальной (C = 1). Далее, величина 3m растет медленнее, чем 7n, значит, числа из 1-й группы лучше перебросить во вторую. В результате, для максимизации k размер 1-й и 3-й группы следует взять равной 1 – по одному числу. Получаем новое выражение для k:

Отсюда видно, что для максимизации k числитель должен быть максимальным, а знаменатель – минимальным. Следовательно, натуральные числа в группах должны быть:

1, 2, 3, …

то есть, начинаться с 1 и увеличиваться на 1 (т.к. должны быть разными). Значит, сумма A+B+C – это арифметическая прогрессия из n+2 слагаемых:

и

Найдем значение n, при котором k максимально. Так как n меняется дискретно с шагом 1, то производную можно заменить конечной разностью:

Отсюда видно, что знак разности меняется при переходе от n=3 к n=4, следовательно, это и есть точка максимума, при которой:

Ответ: а) да; б) нет; в) 232/21