Задания для проведения олимпиады по математике (ПЕРВЫЙ ТУР)

1. Имеются двое песочных часов: на 3 минуты и на 7 минут. Яйцо варится 11 минут. Как отмерить это время при помощи имеющихся часов? (2 балла)

Ответы:

Перевернуть обои часы. Когда пройдет 3 минуты, в семиминутных часах останется 4 минуты. Поставить яйцо в данный момент вариться. Когда 4 минуты закончатся, перевернуть семиминутные часы обратно. Получим 4+7=11.

1. Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л молока? Молоко разрешается выливать обратно в цистерну. (5 баллов)

Ответы:

1) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить в восьмилитровый.

2) Снова налить молоко в пятилитровый бидон и долить восьмилитровый бидон. Тогда в пятилитровом бидоне останется 2л молока.

3) Вылить молоко в цистерну из восьмилитрового бидона.

4) Перелить 2л молока из пятилитрового бидона в восьмилитровый бидон.

5) Налить молоко в пятилитровый бидон и перелить его в восьмилитровый.

В результате в восьмилитровом бидоне получим 2+5=7 (л) молока.

1. Катя и Юра купили лотерейные билеты с номерами: 625517 и 322324, и обнаружили, что в каждом из номеров можно расставить знаки арифметических действий и скобки так, что в каждом случае результат будет равняться 100. Как это можно сделать? (3 балла)

Ответы:

62+55-17 и (3+22) · (3-2)· 4

1. Расшифруйте запись. Одинаковыми буквами обозначены одинаковые цифры, разными буквами– разные цифры. (2 балла)

УДАР

+УДАР

ДРАМА

Ответы:

8126

+8126

16252

1. Из корзины яиц взяли половину всего количества яиц, потом еще половину остатка, затем половину нового остатка и, наконец, половину следующего остатка. В итоге в корзине осталось 10 яиц. Сколько яиц было в корзине первоначально? (3 балла)

Ответы:

 160 яиц.

1. Малыш и Карлсон разделили круглый торт двумя перпендикулярными разрезами на 4 части. Карлсон взял себе одну наименьшую часть и одну наибольшую часть, а остальные две отдал Малышу. Кому торта досталось не меньше половины?

(3 балла)

Ответы:

Проведем два разреза, центрально симметричные уже сделанным. Куски 1, 2, 6, 9 достались Малышу, а симметричные им 7, 8, 4 и 3 – Карлсону, которому отошла еще и середина 5. поэтому Карлсону досталось не менее половины торта.

1. Отгадайте ребус:

- ******* **

*** **8**

-**

**

- ***

***

0

(2 балла)

Ответы:

- 1089708 12

108 90809

- 97

96

- 108

108

0

1. Четыре семьи, дружившие между собой, держат по 10 различных животных. Их питомцы – белки, кролики, хомяки и ежи. Каждая семья держит разное число животных разных видов – от одного до четырех, и в разных семьях разное количество зверушек одного вида. Определите, сколько и каких животных в каждой семье, если известно, что:

   1. у Ивановых, Сидоровых и Петровых ежей не по два;

   2. у Ивановых и Петровых кроликов, а у Кузнецовых кроликов и хомяков не по одному;

   3. в семьях Сидоровых, Петровых и Кузнецовых живут не по три белки;

   4. В семьях Ивановых и Петровых хомяков не по два и не по четыре. (4 балла)

Ответы:

1. Десять машин выпускают одинаковые резиновые мячи массой по 10 г каждый. Одна из машин испортилась и стала выпускать мячи массой по 5 г. Как найти испортившуюся машину с помощью одного взвешивания мячей? (6 баллов)

Ответы:

Возьмем от первой машины один мяч, от второй – два, от третьей – три и т.д., от десятой – десять. Найдем их общую массу. Это взвешивание будет единственным.

Если бы все мячи были массой по 10г, то весы показали бы

10(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=550 (г).

Если первая машина допускает брак, то общая масса станет меньше на 5г, если вторая, то на 10г, и т.д., если десятая, то на 50г. Таким образом, по массе 55 мячей можно узнать, какая машина испортилась.

1. Найти четырехзначное число, которое в 4 раза меньше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке. (8 баллов)

Ответы:

Обозначим искомое число за 1000a+100b+10c+d. По условию задачи имеем:

4(1000a+100b+10c+d)=1000d+100c+10b+a.

Так как левая часть – число четное, то и правая часть – число четное, поэтому a– четная цифра. Тогда a=2, так как в других случаях получим в левой части пятизначное число. Так как 4d оканчивается на 2, то d=8. В итоге имеем:

4(1000·2+100b+10c+8)=1000·8+100c+10b+2.

Тогда 4(10b+c)+3=10c+b или 40b+4c+3=10c+b.

После упрощения получим: 13b+1=2c.

Решением данного уравнения будут: b=1,c=7. Тогда искомое число будет 2178.

Ответ: 2178